Full text of "Traité de cinématique"

See other formats

This is a digital copy of a book that was preserved for générations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project
to make the world's books discoverable online.

It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject
to copyright or whose légal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books
are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that 's often difficult to discover.

Marks, notations and other marginalia présent in the original volume will appear in this file - a reminder of this book' s long journey from the
publisher to a library and finally to y ou.

Usage guidelines

Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we hâve taken steps to
prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying.

We also ask that y ou:

+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use thèse files for
Personal, non-commercial purposes.

+ Refrain from automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's System: If you are conducting research on machine
translation, optical character récognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the
use of public domain materials for thèse purposes and may be able to help.

+ Maintain attribution The Google "watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.

+ Keep it légal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is légal. Do not assume that just
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other
countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any spécifie use of
any spécifie book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner
any where in the world. Copyright infringement liability can be quite severe.

About Google Book Search

Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web

at |http : //books . google . corn/

A propos de ce livre

Ceci est une copie numérique d'un ouvrage conservé depuis des générations dans les rayonnages d'une bibliothèque avant d'être numérisé avec
précaution par Google dans le cadre d'un projet visant à permettre aux internautes de découvrir l'ensemble du patrimoine littéraire mondial en
ligne.

Ce livre étant relativement ancien, il n'est plus protégé par la loi sur les droits d'auteur et appartient à présent au domaine public. L'expression
"appartenir au domaine public" signifie que le livre en question n'a jamais été soumis aux droits d'auteur ou que ses droits légaux sont arrivés à
expiration. Les conditions requises pour qu'un livre tombe dans le domaine public peuvent varier d'un pays à l'autre. Les livres libres de droit sont
autant de liens avec le passé. Ils sont les témoins de la richesse de notre histoire, de notre patrimoine culturel et de la connaissance humaine et sont
trop souvent difficilement accessibles au public.

Les notes de bas de page et autres annotations en marge du texte présentes dans le volume original sont reprises dans ce fichier, comme un souvenir
du long chemin parcouru par l'ouvrage depuis la maison d'édition en passant par la bibliothèque pour finalement se retrouver entre vos mains.

Consignes d'utilisation

Google est fier de travailler en partenariat avec des bibliothèques à la numérisation des ouvrages appartenant au domaine public et de les rendre
ainsi accessibles à tous. Ces livres sont en effet la propriété de tous et de toutes et nous sommes tout simplement les gardiens de ce patrimoine.
Il s'agit toutefois d'un projet coûteux. Par conséquent et en vue de poursuivre la diffusion de ces ressources inépuisables, nous avons pris les
dispositions nécessaires afin de prévenir les éventuels abus auxquels pourraient se livrer des sites marchands tiers, notamment en instaurant des
contraintes techniques relatives aux requêtes automatisées.

Nous vous demandons également de:

+ Ne pas utiliser les fichiers à des fins commerciales Nous avons conçu le programme Google Recherche de Livres à l'usage des particuliers.
Nous vous demandons donc d'utiliser uniquement ces fichiers à des fins personnelles. Ils ne sauraient en effet être employés dans un
quelconque but commercial.

+ Ne pas procéder à des requêtes automatisées N'envoyez aucune requête automatisée quelle qu'elle soit au système Google. Si vous effectuez
des recherches concernant les logiciels de traduction, la reconnaissance optique de caractères ou tout autre domaine nécessitant de disposer
d'importantes quantités de texte, n'hésitez pas à nous contacter. Nous encourageons pour la réalisation de ce type de travaux l'utilisation des
ouvrages et documents appartenant au domaine public et serions heureux de vous être utile.

+ Ne pas supprimer r attribution Le filigrane Google contenu dans chaque fichier est indispensable pour informer les internautes de notre projet
et leur permettre d'accéder à davantage de documents par l'intermédiaire du Programme Google Recherche de Livres. Ne le supprimez en
aucun cas.

+ Rester dans la légalité Quelle que soit l'utilisation que vous comptez faire des fichiers, n'oubliez pas qu'il est de votre responsabilité de
veiller à respecter la loi. Si un ouvrage appartient au domaine public américain, n'en déduisez pas pour autant qu'il en va de même dans
les autres pays. La durée légale des droits d'auteur d'un livre varie d'un pays à l'autre. Nous ne sommes donc pas en mesure de répertorier
les ouvrages dont l'utilisation est autorisée et ceux dont elle ne l'est pas. Ne croyez pas que le simple fait d'afficher un livre sur Google
Recherche de Livres signifie que celui-ci peut être utilisé de quelque façon que ce soit dans le monde entier. La condamnation à laquelle vous
vous exposeriez en cas de violation des droits d'auteur peut être sévère.

À propos du service Google Recherche de Livres

En favorisant la recherche et l'accès à un nombre croissant de livres disponibles dans de nombreuses langues, dont le français, Google souhaite
contribuer à promouvoir la diversité culturelle grâce à Google Recherche de Livres. En effet, le Programme Google Recherche de Livres permet
aux internautes de découvrir le patrimoine littéraire mondial, tout en aidant les auteurs et les éditeurs à élargir leur public. Vous pouvez effectuer

des recherches en ligne dans le texte intégral de cet ouvrage à l'adresse ] ht tp : //books .google . corn

; ^

' \

: ?

^ i
• /

•x

TRAITÉ

CINÉMATIOIIE

J. B. RliLANtiKH.

[»AIUS

i>i:Nun.

UNlUIMt:,

QuQl iloii A»f etiitin» ^ 4ff

; (îAu 1 UN. il' V li.i- \lLs.

I i.i'ffiiAm 1-,

j Q^uml don Au|cuiiliiiii, &f.

IBGI

SÉRIE DE TRAITÉS

SUR LA MÉCANIQUE

SUR LES THÉORIES DE SES PRINCIPALES APPUCATI0N8

ÛART DE UINGÉNIEUR

CINEMATIQUE.

(

P«rtt. -~ Typognphie HsmroYit tr nu» nu du BoateTard. 7.

2 '- )

^ /

TRAITÉ

U£

CINÉMATIQUE

PAR 1

j!-b^mbelanoer.

Professeur à rieote impériale centrale des Arts et HannfiMlures.

Andeii ingénieur en chef des Ponts et Chaossées et aneien professeur de Nécaniiine

aux Koides impériales des Ponts et Oiaussées et Polytechnique.

DUNOD,

lUaAIBK,

Qaal d«fi Aagnstln« , 49.

PARIS

GAUTHIER-VILLARS,

UBIAIUB,

Quai dec Aagattins, 85.

Eugène LACROIX, libraire,

Qnal Malaquale. IS.

1864

Mathematios
3^3

YiA;^

TABLE DES MATIÊBES

SECTION I

NOTIOlfS GÉNÉRALES.

Ghap. I. Du monTemeiit d'un polnl géométrique.

Pages.

^ S 1*'. De l^expresêûm du numtement d'un potnl I

j^i. MouYement. — 9. Temps. Instant. — S. Trajectoire. — • 4. Eqoa-
>» lions du mouYement d'un point dans l'espace.— S. Equation du mou-
^ Yement d'un point suiYsnt sa trajectoire. — 6. Le temps peut être né-
çf\ gatif. — V. Autres moyens d'ei primer le mouYement. y y

ç^L § i. Du mouvement uniforme d*un point -'ÔV^V* • 6

\ 8. Définition, du mouYement uniforme. — O. Unités employéear'pour
"^ exprimer la Yitesse. — i#. Equation générale du mouYement uni-
forme. — fi. Exemple du mouYoment uniforme.

$ d. Du mouvement varié d'un point êur une ligne donnée, . i2

i t. HouYement Yarié. MouYement périodiquement uniforme. — i S. Vi-
tesse. — 14. MouYement uniformément Yarié. — i B. Remarques sur
les équations et les propriétés du mouYement uniformément Yarié. —
i 0. MouYement oscillatoire.

S 4. Détermination graphique de la vitesse 19

iV. Courbe représentatîYC des espaces. — 18. Courbe représentât! Ye
des Yitesses.

$ S. De la vitesse d*un point dont le mouvement est eacprimé

en coordonnées parallèles à trois axes 22

!•. Projection de la Yitesse sur un axe. — tO. Corollaire.— 9 i . Pro-
jection sur un plan, d'un poip( en mou Yement dans l'espace.

4I76I1

YI TÀBLI DBS HATlftEBS.

S 6. De la vUetu d'un point dont U mouvement eet ex-
primé en coordonnées polaires 25

99. Trajectoire pltne. — 99. Trajectoire qaelconqoe dans l'espace.
S 7. Du mouvement d'un point relativement à un système
de comparaison invariable en mouvement. Composi-
tion des vitesses et des chemins élémentaires 90

94. Mouvement relatif. — 9S. Trijectoire relative. — 96. Composi-
tion des mouvements. — 9V. Vitesse relative. — 98. Composition de
deux vitesses. ^ 99. Cas particulier. — 90. Exemples. — 9 1 . Com-
position d'un nombre quelconque de vitesses. — > 99. Remarque sur
la simultanéité des vitesses composantes et de la vitesse résultante. —
99. Projection du polygone des vitesses. — 94. Décomposition des
vitesses. -^ 99. Composition des chemins élémentaires d'un point. —
99. Méthode de Roberval pour le tracé des tangentes aux courbes.

Chap. II. Deai dlvera moairemeats d'un ««rps solide
.on système liiTArisilile.

§ l'^ jÇrénéralités sur le mouvement d*un système invariable 47

91. RelaUpi^d^s vitesses de deux points dont la distance est constante.
^98'.^af«particulier.— 99.L'étudedu mouvement d'un système in-
variable àt réduit à celle du mouvement d'un triangle.

§ 2. Classification des mouvements continus d\n système
invariable. Relation des vitesses entre elles dans chaque
cas 48

40. Divers mouvements continus d*un système invariable.

Mouvement simple de translation 49

4 i . Translation rectiligne ou curviligne.

Mouvement simple de rotation autour d'un axe fixe 49

49. Rotation simple. Déplacement, vitesse, accélération angulaires.

Mouvement quelconque parallèle à un plan fixe 50

49. Roulement cylindrique. ^ 44. Lorsqu'un systbme invariable se ^
déplace parallèlement à un planton peut toujours l'amener d'une de ses
positions successives à une autre quelconque d'entre elles^ soit par une
simple translation, soit par une simple rotation. — 49. Lorsqu'un

TâBUS dis MATifcRBS. VII

Paie».

systëme invariable se transporte paraUëlement à un plan, son mouve-
ment élémentaire à un instant quelconque est une translation ou une
rotation. — 46. Centre instantané et axe instantané de rotation. —
«V. Tout mouvement d*ttn solide parallèlement à un plan est généra-
lement un roulement cylindrique.

Rotation autour d'un point fixe S6

48. Roulement conique. — 49. Lorsqu'un solide se meut autour d'un
point fixe auquel il reste lié, on peut l'amener d'une à une autre de ses
positions par une rotation effective autour d'un axe. — S#. Tout mou-
vement élémentaire d'un solide dont un point est sans vitesse, est une
rotation instantanée autour d'un aA.— Si. Tout mouvement d'un so-
lide autour d'un point fixe est un roulement conique.^ BS. Analogie
du mouvement parallèle à un plan et du mouvement autour d*un axe.

MouvemenJt quelconque eompoié d'une translation el d^une ro-
tation 59

6 S. Première image sensible du mouvement le plus général d'un solide.

Exemples de mouvement parallèle à un plan 60

S 4. Droite mobile sur deux courbes. •— SS. Droite mobile sur deux
cercles. ^ S6. Cas particulier où l'une des directrices est une ligne
droite. — • SV. Epicyclolde et cycloïde. ~ 68. Développante d'une
courbe quelconque. •— S9. Goncbolde.

g 3. Composition des mouvements et généralement des vi-
tesses d^un système invariable 63

6#. Composition des vitesses de translation. — 61. Composition des
vitesses de deux rotations autour d'axes concourants. — 69. Compo-
sition d'un nombre quelconque de rotations concourantes.— 6S. Com-
position des vitesses de deux rotations dont les axes sont parallèles.
•» 64. Cas de deux rotations parallèles, égales et de sens contraires.

— 65. Remarque sur l'instantanéité de l'axe de la rotation résultante
de deux rotations. — 66. Composition d'une rotation et d'une trans-
lation perpendiculaire à l'axe de la rotation. — 6V. Composition ou
réduction à deux mouvements simples, au point de vue des vitesses, d'un
nombre quelconque de mouvements simples composants d'un système
invariable. — 68. Axe central du mouvement d'un corps invariable.
« 69. Autres propriétés de Taxe central du mouvement. —> VO. Se-
conde image sensible du mouvement continu d*un système invariable.

— Vf. Au point de vue des vitesses, le mouvement quelconque d'un

Vni TABLE DBS HATltBRS.

P«fM.

système invariable se décompose en trois translations parallëlesà trois
axes concourants et trois rotations autour de trois axes eoncourant au
même point. — V 9. Cas où les deux systëmes d'axes concourants sont
rectangulaires et se confondent. — VS. Décomposition du chemin
élémentaire décrit par un quelconque des points du système invarlalile
en mouvement. ,

g 4. MowoemefU relatif y gliuement el roulement de deux corps

solides * 81

94. Mouvement Relatif de deux corps solides. — VS. Mouvement relatif
de deux Corps qui se touchent en un point. — f Si Mouvement relatif-
de deux corps qui se touchent en plusieurs points.

GbAP. m. Den moiiTenaeiitsi nlmnltsuiéB de plmiewn
eorps solides liés entre emx dams les nameUiies.

Ordre des matières de ce chapitre 87

VV. Objet du chapitre. — 18. Des machines au point de vue de la
cinématique. —-99. Divers modes de liaison des corps dans les ma-
chines.

S i«'. Liaison de deux corpe solides en contact et assujettis à
tourner autour de deux axes fixes parallèles. Gànèrali-
tés sur ce sujet 89

80. Relation des vitesses de deux corps.^ 81. Remarques.— 8t. Cas
particulier d'une rotation et d'une translation perpendiculaire é l'axe.
— 8 S. Cas particulier de deux translations.

Cas où le rapport des deux rotations est constant. Cylindres

roulants. Engrenages • 94

84. Cylindres roulants ou de friction.— 81^. Engrenages cylindriques
on droits. Engrenage extérieur. Engrenage intérieur.— 8#. Le profil
d'une dent sur une roue est l'enveloppe des diverses positions qu^uife
dent de l'autre roue prend relativement à la première. — 89. Pro-
priété fondamentale. — 88. Premier procédé général pour détermi-
ner les profils de contact des engrenages. — 89. Deuxième procédé.
Courbes épicycloldales. — 90. Remarque.— OA. Glissement de deux
dents d'engrenage. — OS. Profils de. contact pratiques des engre-
nages : {«Engrenages k lanterne ou à fuseaux cylindriques.— OS. Si» En-
grenages à dents épicycloldales.— 94. S» Engrenages à développantes

TABUB DBS MÀTIÈEBg. IX

de cercles. — 05. Généralités sur les dents d'engrenage : nombre,
pas. épaisseor, Jeo» saillie, largeur. » ••. Détails spéciaux sur les
engrenages épleycloldaux. » 99. Détails spéciaux sur les engrenages
à développantes de cercles.

Des engrenages rnUrieurs itl

•8. ProGls à flancs droits des engrenages intérieurs. — ••. Profil
saillant épicycloldal sur la roue intérieure. — lOO. Profils mixtes sur
les deux roues. — tOi. Profils en développantes de cercles de deux
roues dont Tune est intérieure.

Engrenages échelonnés, et engrenages épicyeloîdaux 42i

i09. Engrenages en rangs échelonnés de Ilooke. — i#S. Engrenage

héliçolde, sans glissement, de HoolLcet de White.

Crhnaillère et roue dentée • 127

i#4. Engrenage d'une crémaillère et d'une roue,

S 2. Liaison des deux corps solides en contact et assujettis à
tourner autour de deux axes fixes concourants.

Généralités sur ce sujet • i28

tOS. Relations des vitesses des deux corps.

Cas où le rapport des rotations est constant. Cônes roulants.

Engrenages coniques i29

tOS. Cônes roulants dits cônes de friction. — iOV. Engrenages co-
niques.

g 3. lÀaison de deux corps solides en contact et assujettis

à tourner autour de deux asces non concourants 132

i09. Liaison d'une rotation et d'une translation. Vis et écrou. —
iOO. Rotation et translation oscillatoire.

VU sans fin 4 35

iiO. Liaison de deux rotations dont les axes non concourants sont
rectangulaires, — fit. Relations entre les diverses quantités à con-
sidérer dans une vis sans fin et sa roue. — i 1 1. Cas de réciprocité
de l'engrenage de la vis sans fin, — i i S. Exécution mécanique de la
roue d'une vis sans fin.

Engrenage kyperboloide • . iAA

114. Préliminaires sur ce sujet. — i AS. Vitesses de Tun des deux
corps tournants relativement à l'autre. — t i •. Construction graphi-*

X TÀSLt DBÉI llÀTlkftËd.

qat des feraulas préeédentes.-- i t V. Moavament eontltia de l'ati âes
corps reltUvement à l'intra. HfltferbolOIdM primitifo. — i 19. B<|iifl-

iiont des hyperboles néridiennes des kyperbololdee prlmitift. —
119. Relation en Ire les coordonnées recUngultfres des byperbeleê
et la longueur de l'asymptote. — f tO. Contact des deux hyperb**-
ioldes. — i t i . Cas particulier où les axes de rotation sont rectan-
gulaires. — IB9. Engrenage hyperbololde. — liS» Forme ei exé-
cotion des dents de cet engrenage.

g 4. Etude complémentaire sur la liaùon de deux solides
dont les rotations sont en rapport variable. Cas par ii-
culier d'une rotation et d'une translation variée.

LiSÊÎitm â» éitûx rotatiwis 161

194. Cylindres roulants non circulaires. — i tS. Détermination des
courbes primitives. — 199. Exemptes. Spinales logarithmiques. El-
lipses. Courbes déduites de Tellipse. Quarré dont les angles sont bt'i^dn-
dis. Secteurs circulaires. ~ 199. Engrenages substitués aux courbes
primitives. ~ 198. Boues de Roemer. — i 99. Roue dentée excen-
trique et long pignon de Huigens. — i 90. Engrenage intermittent.

Boulon de manivelle, excentriques^ cames^ et tige guidée ou .
corps tournant 174

t9i. Manivelle ou excentrique circulaire et tige guidée à cadre. —
i9)é. Excentrique triangulaire et lige guidée. — 199. Généralités
sur léè exbeiilH(|Ues meââ&t un cadré i bords parallèles.— 1114. tiame
et tige guidée. — 19 S. Excentriques ou cames à ondes menant une
tige guidée à roulettes. — 199. Bouton» exeentriclue ou cftibe en con-
tact avec un autre corps tournant.

§ 5. Liaison de deux corps solides îDurHûnl», par l'fHtëmé'
diaire d'un troisième Wfjll sbltde Oil fiéxiblë.
1^ Deux solides tournants liés par une bielle i . » » t * » . i8i

199. Propriété générale de cette liaison. -- i 99v Bâlanciëh ft DHdë.
— 199. Règles pratiques applicables aui balànclefs des micblliëA I
vapeur. — fl49. Calcul des coordonnées de la e<lurbe de Wfllt. ^'
14 i. Propriété du panlographe applicable au numéro suitilfit; ^
149. Parallélogramme articulé de Watt.

2° Deux solides tournants liés par un troislllôtii . . • . ; 191

149. Joint brisé ou universel;— 144. Relation dés vllessëâ àli^ukirës
des arbres liés par le Joint filHsé. — 149. Joint d'Oldhàm.

TàBLB des matières. XI

i° t>eùx corps toumanls liés par un corps flexible. . . 194
140. Propriété générale des poulies.— t4V. Poalies ordinaires. —
148. Déplacements simultanés de deux poulies, dont l'une est excen-
trique.

4^ Deiêxûorpê tournante liiê par un Iroûièmê ennum-
vetnent épieyeloïdui.^, i • . . i . • ^ j ; » . < i < i i « i If7

149. Mouvetbént épicycloidal plan. — ISO. Moûvêfiiëfit épicycloldal
spbérique.

SECTION n

APPLICATIONS AUX MACHINES.

Ghap. I. Généralités sur les machines eonsidérées eomme
appareils de communication et transformation de
mouvement.

S l«^ ClasiifUadon des maehines élèmênkdtesé «.1.4 201

iSi. Ancienne classification simplifiée.

§ 2. Moyenè d'nssuter la difëttlon dit fnoutment tOrUltiirt

ou recUligne de certaines pièces des niachiriés fbi

1 S t. Appuis des arbres tournantSi -p- i 5S. Assemblage fixe des roues
sur leurs arbres. — > 1 94. Articulations à cbarniére. — 195. Guides
du mouvement rectiligne.

Gha^. II. Mecttnlsinétt des tMÉLstArmatldlift de riiimiretfleiit.

S l*^ l'« classe. Liaison de deux mouvements circulaires
progressifs.
1*^ genre. Èapport des vitesses constant. Axes pdMtlèUê iOÔ

!&•. Contact immédiat. — 1 (*). Cylindres roulants. — 8. Engrenage
extérieur.— 3. Engrenage intérieur. ^ 4. Engrenage béliçolde.

{*) Les chiffres en caractères maigres indiquent les numéros d'ordre des taUeanx s]mopCl«
«pies, planches IX, X, XI et m.

tu TABLE DBS IUTIÉBB8.

i S9. Ponll« et courroie, corde on chaîne, dans an mène plan moyen.—

S. Courroie non croisée. ^ 6. Courroie croisée.
158. Commonicalion de deux rolalions par l'intermédiaire de bielles.—

7. Deux roues accouplées par deux bielles. — 8. Arbres coudés liés
par trois bielles. — 9. Deux leviers oscillants égaux,
i 59. Communication par un croisillon. — 10. Joint d'Oldham.
i ••. Trains de roues dentées ou de poulies k axes parallèles.— 1 1 . quatre

roues dentées sur trois arbres. — 12. Quatre poulies sur trois arbres.
t8i. 13. Roue intermédiaire. — 14. Poulie intermédiaire.
!• 9. Communication par mouvement épicycloldal plan. — 15. Deux

paires de roues.
i9S. Exemple : Horloge hebdomadaire et lunaire (Fune des roues est

fixe).
194. Exemple de IVmploi de plusieurs mouvements épicycloldaux.
198. 16. Communication par mouvement épicycloldal sphérique.
199. Théorie générale des trains épicycloldaux.

2* genre. Rapport des vUe$te$ cùnslant. Axes concou-
ranU 230

i9V. Contact immédiat. ^ 17. Cônes roulants. — 18. Engrenages co-
niques.

3« genre. Rapport des vilesses eonsknU. Axes non situés
dans un même plan 230

199. Axes rectangulaires, contact immédiat. — 19. Vis sans fin.

199. Angles sous un angle quelconque, contact immédiat. — 20. En-
grenage hyperbololde.

i V9. Axe intermédiaire concourant avec les deux autres. — 21 . Quatre
roues coniques. — 1 91. Axe intermédiaire concourant avec l'un des
axes extrêmes et parallèle à Taulre. — 22. Deux roues dentées coniques
et deux roues cylindriques. — 1 9 1. Deux axes intermédiaire8.->23. Pou-
lies de renvoi. — i V 9. Courroie oblique. -^ 24. Une seule courroie
sans fin sur deux poulies non parallèles.

4* genre. Rapport des vitesses variahle» Axes parallèles 233

194. Contact de deux cames.— 25. Spirale logarithmique. — t V S. En-
grenages divers. — 26. Engrenage elliptique. — 27. Engrenage dérivé
de Vellipse. — 28. Quarrés arrondis. — 29. Engrenage de trois roues
dentées ordinaires, dont Tune est excentrée. — 30. Cônes inverses de
Bœmer. — 31. Secteurs dentés engrenant alternativement. — 32. En-
grenage intermittent.

TÀBUS DES lUTIÈRKS. XIII

Pagw.
i V0. Manivelles. ^3 3. Deux manivelles à boaton et coulisse. —34. Deux

manivelles égales unies par une bielle.
1 9 9f . Communication par un corps flexible. — 35. Fusées. <— 36. Deux

poulies^ Tune excentrique. — 37. Pédale du tourneur.

5« genre. Rapport des vitesses variable. Axes non pa-
rallèles .V 238

flVS. Communication par croisillon. — 38. Joint de Cardan. —
i *¥•. Communication immédiate par engrenage. — 39. Roue dentée
excentrée et long pignon (de Iluigens). — 40. Vis sans fin à inclinaison
variable. ^ 41. Engrenage d'angle intermittent. — i80. Communi-
cation par bielle. — 42. Deux balanciers oscillant simultanément. —
43. Renvois de sonnettes.

S 2. 2* classe. Liaison de detuc mouvements, l'un circulaire.
Vautre rectiligne ou M^tpoîde, avec changements de
sens simultanés.

d*' genre. Translation parallèle au plan de la rotation. 259

181. Communication immédiate. ^ 44. Rouleau menant une tige. —
45. Roue dentée et crémaillëre.*— 46. Balancier à coulisse et tige guidée
à bouton. --47. Balancier à bouton et tige guidée à coulisse. —
i8t. Communication par l'intermédiaire d'un corps flexible. —
48. Treuil. — 49. Treuil double à gorges. — 50. Treuil conique. —
51. Bobine. — 52. Treuil diflérenliel. — 53 et 54. Tambour ou secteur
lié k une tige tangente ou à deux tiges tangentes par des chaînes ou des
laniëres. — 55. Tambour et secteur, et corde passant sur deux poulies
de renvoi. — 56. Archet et foret. — 188. Communication par l'in-
termédiaire d'un corps solide. — 57. Balancier, bielle et tige guidée.
— 58. Balancier à support oscillant et tige guidée. — 59. Balancier à
bride. — 60. Parallélogramme articulé de Watt. — 61. Zigzag.

î,^ genre. Translation parallèle à Vaxe de la rotation. 245

184. Communication immédiate. — 62. Cylindre à rainure et bouton
glissant. — 63. Vis sans fin et crémaillère. — 64. Vis tournant simple-
ment et écrou guidé en translation ^65. Tracé mécanique d'une hé-
lice. — 66. Foret à vis. -> 67. Ecrou tournant simplement et vis en
translation. — 68. Deux vis inverses.— 69. Vis tournant dans un.écrou
fixe. — 188. Gommunicalion par engrenages intermédiaires^— 70.Vii
diiïérentielle. - 71. Machine à aléser.

XIT TàBLB DBS HATltRBS.

$ 3. 5* classe. Liaison de deux mouvements rectUi^nes,. « • « ^9

i 8#. Communication immédiate* — 72. Plan iftcUoéi tiga ynidéa ea
deux tigei fuidéM« l'une à couliaa^ l'aulre à boi||on. ^ |p1. Com-
munication par rintarm^iaira d'un corps aolide.*- 73. Peux Uges gui-
dées^ unies par une bielle. — 188. Communication par corde et pou-
lies simples.— V4. Poulie fixe. Deux poulies Ûxes. — 75. Poulie mobile
ai poulie fixe de renvoi. — i 89. Communication par une corde et an
palan. — 76. Pal^n doqt les deux mouûes ont le même nombre n dç
poulies.— 77. pa)an dont une moufle a une poulie de plus que l'autre,
-~t90. Palans conjugués. — 78. Palans liant deux vitesses dont le
rapport est le produit de deux nombres entiers.— 79. Palans liant deux
vitesses dopt le rapport est fractionnaire.

i9i. Communication par des chaînes. — 80. Balancier ^ deux siççteurs
et deux tiges. — iSt. Communication par un liquide. -» 81. Deux
pistens et un tufau de aonuBunicattoB.

94.4* elasse. Liaison dt deux mouvements circulaires, Vun
progressif, l'autre alternatif,

i*r genre. Axes parallèles,, #».»., ^3

!••. Comniunicalion immédiate. —82. Balancier appuyé sur un ex-
centrique à révolution euliëre. — $3' palancier à bouton <}ui circule
dans une rainure à révolution entière» — 84. |||9n|velle ^ révolution
entière, dOPt le bouton se rneut dans i)f»ç ^oulissp oscillapte.— 3^ M^r^
tinet. y^rf^^U ffonial. — t94. CopinVDiSf^^ioQ par bielle ou par
encjiquetag^, — 86, Manivelle, bielle et p^49|0< ^ 87, Manivelle, bielle
et bîil?iïçier..-^88* g»ceptriqqç çjrcul^ir» Çf Ji^lauçjer.^ 89. MfiniyeUe,
biellf $t j^aliQçier jntermjUen) fiyoç cboç. -^ 9Ç. )(ai)i¥ell9 et h^l^pr
cier ^ fiq9di*i|pl^ oscillation p|r^fir. — $}. MftQlvellf et balancier, et
interinitfepf jBfins c))oc. — f^, ^^vief de LagarQus^e. -r p3. l^viar^
encliqiietiig^ Intermittent. -—94, Encliqpetsge Dp))o. — 95, Palancier
à double crémdiDère guidée. •>^ fm^, ÇommMQJcatlOQ par engrenage

— 96. Bielle à roue dentée circulante dite roue planétaire de Watt. —
§7. Roue f artiellement dentée et pignon alternativement extérieur et
intérieur.

%' genr^. 4xes non parallèles « 36i

196. Gomnunioation immédiate. — 98. Marteau à soulèvement latéral.

— 99. Balancier appuyé sar un exeentrfque conique. ~ 100. Balancier
appuyé sur un filet de vis d'inclinaison variable. — 199. Commani-
catieii paf bi^le. — tOl. Manivelle, balaneler et bielle à jeini brisé.

um ^^ nAT*9XB. ^

I 5. 5« classe. Liaison de deux n^vemefUs, ^'y^n oirçuiaiTe
progressif^ l'ç^utre rectiligne alternatif,

l«r genre. Translation parallèle au plan de la rotaiion. 162

t9S. Communication immédiate par excentrique. — 102. li|anive](Q 0t
tige guidée à coulisse. — 103. Excentrique circulaire et tige guidée k
cadre. — 104. Excentrique non circulaire et tige à cadre. — 105. Ex-
centrique et tige à deux roulettes. ^106. coulisse excentrique et tige
à boutqn* — 107. Excentrique pi t}ge à rpiflelte et à re9j»ort.

i99. Comrpppicatlon immédiate parengrei^ge ou came.— 108. Pigoim
partiellement denté et cadre guidé 4 deuf crémalH^reg. — 109. Pi-
lon et grbre à cames. — 110. Arbre k c^me? et cadre à menUoDets in«
térieurs. — 111. Pignop et cadr/» à denture intérieure conlioue.

tOO. GoiQn^unication par M^Ueou par pneKoril^.— 113 et U3. Manivelle
ou excentrique circulaire, bielle e^ ^jge gui4é«. — 114. lfaDi?eUe>
double bielle et joug guidée lié à iipe jtjge. <— 115. Deux roues deatéei
égales, deux bielles égales et un joug menant use tige. — 116. Mani-
velle toTipant uniformément et ^lancier k eoulisse et à bielle, àani
les courses çppt de duré«9 inégales. — 117. MapivelU el poulie é«

. renvoi.

tOi. Gop)n)HnicatioQ par engreaage iBlarnidiaira. -^ 118. Roim à
mouvement épicycloldal de Lahire. *

2« genre. Translation parallèle à Paxe de la rotation.

sot. Communication immédiate. — 119. Plateau incliné tournant sur
un pivot, et tige à galet. —120. Roue à ondes et tige à galet.— 121. Rai-
nure continue dans un cylindre tournant et cheville glissante.

Ghâp. III. Org^anes serrant à établir, inteprompre on modiller
lesi liaisons du monvement dans les maehlnes.

S !•'. Moyens d^établir ou de faire cesser à volonté une liaison

de mouvement. ' 269

S#S. Embrayage par manchon mobile de deux arbres en prolonge-
ment l'un de l'autre.— 122. Embrayage à dents héliçoïdes. — 123. Em-
brayage à cônes concentriques de friction.— 124. Désembrayage brus-
que. — 125. Embrayage à vis.

•04. Embrayage de deux arbres à roues dentées. — 126. Par manchon
glissant. — 127. Par le glissement en long d'un des deux arbres.

é05. Embrayage par rouleaux ou cônes de friction. — 128. Embrayage

ZTI TÂBVL Dtt MATltaU».

de deux arbres perallëlet. — 129. Embrayage par rouleau de pression
d*oii arbre toarnant et d'une tige guidée. ^ •••. Embrayage des
courroies sans fin. — 130. Par poulie folle. — 131. Par un tendeur.—
132. Par déplacement d'un palier. — tOV. Embrayage par déclics.
— 133. Déclic appliqué ft une poulie. — 134. Déclic appliqué à un
mouton. «

S 2. Moyens de modifier une liaison de mouvement 275

••9. Cbangement de vitesse angulaire par roues dentées et mancbons
d'embrayage. — 135. Axes parallèles. — 136, Axes concourants. —
137. Cas particulier du mécanisme précédent.

•••. Cbangement de vitesse angulaire par le déplacement d'une coar-
roie sans fin sur diverses poulies égales. — 138. Axes parallèles. —
139. Axes concourants. — Si9. Cbangement de vitesse angulaire par
tambours de rayons variables ou par poulies étagées. — 140. Courroie
sans fin sur deux tambours. «^ 141. Deux tambours dont l'un est cy-
lindrique. ^142. Poulies étagées.

9 i i . Rapport variable des vitesses angulaires d'un cône et d'un plateau
circulaire et d'une roulette. -^ 143. Cène et roulette. — 144. Plateau
tournant et roulette. ^919 Cbangement de vitesse par vis sans fin.
— 145. Mouvement hélicoïdal dont la translation change à volonté de
sens.

Noie sur les épieyeloUdes planes. • • 285

fm Dl LA TABU DIS MATlàRIS.

EERATA

AA' et BB'

AB et A'B'

avec

relatif

(effacer ce mot)

OA'

x^im. • • • A..dft|

MMV .M\M.

calculer.

, calculer

A,«,

A>'.

i03

APH'

APM'

414

•.«••••'.«'

A,a...A',a'

-a.A,

— «,A,

a,a=:... — a,A,

A,a=s...— a,A,

120

C'T

148

AB'

156

M'H,

MM',

dernière

M.M'.

M.L'

187

" * COS a

M.L'=../^'"^'
* COS a

% sin P

COS

z sin ^'
COS a

169

angle AGB

angle égal à AGB

176

premiers

premier

179

180

vertical

horizontal

dernière

1 (mots omis)

est uniforme et progressive

190

mMO

m'M'O

Dans la figure 67, manque une

ligne AV perpendiculaire à

AB du côté droit.

AVANT-PROPOS

La Méeaniqudt doot le nom vient du grec mUL^yh , ma-
chine, n'est pas seulement ia science des machines; elle a
plus géqéralement pour objet les lois du mouvement des
eoFps et les relations du mouvement avec les forces qui le
produisent; elle comprend, eu particulier, la connaissance
des conditions de l'équilibre des corps, cesUà-dira de leur
repos en présenoe de plusieurs cause-s de mouvement qui se
combattent.

Suivant une remarque due à Ampèr0 {Esnai sur la phih-
wphiê dês seienees, 1835), il e^t logique et utile de com-
mencer renseignement de la mécanique par celui des pro-
priétés des mouvements des corps étudiés indépendamment
de la mesure des forces qui les produisent; et, comme il Ta
dit iui*méme «. « C'est à la science où ces mouvements ^ont
considérés eu euxrmémes, tels que nous les observousdaus
les corps qui nous environneut, et spécialement dans les
appareils appelée machines, qu'il a donné le noiii de ciné-
matique, de ^vTjiAa, mouvement. »

Te) est le sujet du Traité que je publie, et qui est, pour
m^i dire, uq^ si^iénoe édition myw et »ugm#ptée de la

XX lYÀlfT^ftOPOS.

première partie des feuilles autographiées, rédigées pour
l'usage exclusif des auditeurs du cours de mécanique et
machines que j'ai professé depuis l'année 1851 jusqu'en
1860, à l'Ecole polytechnique.

L'ouvrage est divisé en deux sections.

La première, ayant pour titre Notions générales^ est
purement théorique. Suivant les vues d'Ampère, après les
considérations fondamentales sur les notions de mouvement
et de vitesse, soit absolus, soit relatifs, on s'y occupe des
rapports qui existent entre les vitesses des divers points d'un
système géométrique défini, et d'abord d'un corps solide.
On expose à ce propos la théorie de la composition des mou-
vements, qui sera d'une grande utilité dans l'étude de la
mécanique des forces ou la dynamique. On passe ensuite
au cas de plusieurs corps liés entre eux et à des appuis fixes,
comme le sont les diverses parties d'une machine. On est
ainsi conduit à étudier notamment les questions relatives
aux formes des dents d'engrenages, des cames ou excen-
triques, au mode de liaison des balanciers ou manivelles
par des bielles, aux rapports des vitesses angulaires dans
les systèmes à mouvements épicycloïdaux.

La seconde section, sous le titre Applications aux ma-
chines, passe rapidement en revue la plupart des mécanis-
mes connus pour réaliser ce qu'on appelle communément
les transformations de mouvement, les embrayages, les
modifications de mouvement. Ces divers appareils sont ran-
gés dans l'ordre relatif au genre de service qu'ils l'endent,
au but qu'ils doivent atteindre, et non relatif aux moyens

àTANT-PROPOS. XXI

qu'ils mettent en usage. Leur explication est brève et pres-
que uniquement descriptive, parce que toute la théorie qu'ils
exigent est contenue dans la première section, à laquelle le
lecteur est engagé, par des numéros de renvoi', à recourir
au besoin. Leur classification est rendue plus saisissable, et
la recherche de la solution d'un problème de transforma-
tion est facilitée par une suite de tableaux synoptiques où
les divers mécanismes mentionnés dans la deuxième section
sont figurés par de simples croquis sur une petite échelle.

Quelque nombreux que soient ces mécanismes élémen-
taires, ils sont loin d'offrir une liste complète de toutes les
combinaisons qui sont employées dans l'industrie, surtout
en ce qui regarde les mouvements variés et intermittents.
Des détails plus multipliés sur ce sujet me paraîtraient ap-
partenir à la technologie mécanique, et risqueraient de n'a-
voir plus les caractères de simplicité, de clarté et d'utilité
générale auquel j'aspire pour cet ouvrage..

J'ai à peine besoin d'ajouter que la science de la cinéma-
tique ne peut suffire ni à la bonne conception d*un projet
de machine, ni à la détermination complète des parties
d'une machine bien conçue quant à ses dispositions prin-
cipales. Même abstraction faite de l'énergie du moteur né-
cessaire, l'étude des effets du frottement des corps en con-
tact, de la roideur des corps flexibles, de l'élasticité des
solides, de leur résistance à la rupture ou aux déformations
permanentes est toujours d'une grande utilité, et en certains
cas indispensable. C'est l'union des diverses branches de la
mécanique théorique aux connaissances pratiques acquise^

XiÛ AtÀMt-PROPOS.

par la fréquentation déâ ateliers, qui peiit seule formel* iltl
ingénieur constructeur de machines.

Plusieurs ouvrages publiés avant le mleti tn'ont été fbft
utiles, et je me plais à les citer ici dans Tordre chronologi-
(|ue de leur publication .

1 S08,— Programme ctun coUrs élémentaire des machinée^
à r Ecole polytechnique, par M. Hachette^ et Essai sur là
composition des machines, par MM. Latiz et Bétancourt.
Cet ouvrage m*a fourni Tidée de aies tableaul synoptiques.

... Et 1845 (2«édit. imprimée à Liège). ÎVûeté dé mééa"
nique industrielle^ par M. le général Poncelel, alors dolonél
du génie, membre de l'Institut, elc. La troisième partie,
intitulée Des machines et des moteurs, traite, entre autres
sujets, des (îOnimunicateurâ et modiflcâleuts iustatitslUésdU
lïiouvement et des etigrenages. L'auteur, qui partage aveo
Nsivier riusigne honneUf d'avoir créé dans ûôs écoles d*âp*
plication, celle de rartillèriè et dU génie à Metz, et cîelle dés
ponts et chaussées à Paris, renseignement de la méôafli^ue
appliquée aux machinés et àui constructions, a reproduit
les bases essentielles de Cet enseignement dans le dOUrs de
physique mécanique qu'il à fotîdé àla Faculté des science»
de Paris. On doit regretter qu'il n'ait pas, jusqu'à présent,
livré le texte de ses leçons à la publicité.

1841. — Principes de mécanisme (Principles of meeha*
îiism), par M. R. Willis, Londres. Cet ouvrage joUit d'une
haute réputation méritée, malgré quelques ei*reurs, pai*
d'intéressantes f echerches mathématiques, mais surtout pat*
de nombreux détails descriptifs qui attestent une vaste éru»*

ditldti et litie greiUde côtinâiësàtice des procédés de Tindus-
trle moderne.

4849 et 1861 (2« édlt.) Traité de cinématique, par U. C.
LabouJaye. Cet ouvrage, dont le plan était conçu avant que
l'auteiiù cotitlût celui de M. Willîs, contient, avec des em-
prunts nombreux et presque textuels faits à ce dernier,
comme M. Laboulayè le déclare lui-même, des additions
considérables, tiotamment siif l'borlogerie et les machines
outilè. L^auteur a cru devoir introduire dans son livre des
notions de dynamique sur lés forces, leur mesure, leur tra-
vail et IfeUr équilibre dans lés machines, sur les frottements,
sur les moteurs animés et autres. Celte réunion serait as-
surément nécessaire, si un traité de cinématique devait
être l'unique « guide du mécanicien pour obtenir un mou-
vement voulu. » Mais avec Ampère et Willis, il est bien
permis de penser autrement et de considérer la cinématique
comme ayant des théories propres, indépendantes de la
dynamique et de la connaissance des propriétés physiques
et expérimentales des corps. Du reste, il n'y aura pas né-
cessité, ni même utilité, que les jeunes gens qui se destinent
à la carrière d'ingénieur étudient et possèdent à fond toute
la cinématique avant de s'occuper des autres parties de la
mécanique. A l'Ecole centrale, ces deux genres d'études sont
suivis presque simultanément sous des professeurs diffé-
rents, de même que dans l'enseignement universitaire on
entremêle sagement les études de l'algèbre et de la géomé-
trie, sans prétendreijueces deux parties des mathématiques
se confondent ou soient inséparables.

XlIT ATAHT-fAOFOf.

1850. — Leçons de mécanique pratique. Cinématique^
par M. le général Morin, alors colonel d'artillerie, membre
de riDstitut, etc. Cet ouvrage, destiné aux auditeurs des
cours du Conservatoire des arts et métiers, exige chez les
lecteurs moins de connaissances mathématiques que n*en
suppose le présent traité. Il contient d'ailleurs la description
des diverses machines utilement employées dans l'industrie,
mais dont j'ai cru devoir laisser Tétude à un autre ensei-
gnement, tel que le cours d'établissement et de construction
des machines, qui est spécialement professé à l'Ecole cen-
trale, par M. Ch. Callon, dont les leçons alternent avec
celles du cours de mécanique appliquée qui m'est confié.

CINÉMATIQUE.

PREMIÈRE SECTION

NOTIONS «ÉNÉBAL.BS.

CHAPITRE I.

01) KOVVEMBNT D'UN POINT GBOHiTRIQDE.

§*«

DE L'sXPRKSSIOlf DC «OUrBHENT D^im POINT.

1« ■onvenent. — Le mouvement d'un corps consiste en ce
que oe corps ou ses parties occupent successivement différents
lieux dans Tespace. Nous étudierons d'abord le mouvement d*un
point.

Deux sortes de faits constituent ce mouvement : les déplace-
mmts successifs du point, et les temps pendant lesquels ces dé-
placements s'effectuent.

Les déplacements se constatent et se définissent à l'aide de
points de repère^ d'axes ou de plans de eomparaisout formant des

2 CINÊHATIQCB. SBCT. I, CHÀP. 1.

systèmes géométriques invariables. Si un tel système de com-
paraison est supposé fixe (et rien n'empêche de concevoir cet
état de repos^ quoique nous n'ayons aucun moyen de le vérifier^
parce qu'il n'existe t)0ut-être aucun corps ,lmnàobile dans Tuni-
vers)^ le déplacement qui résulte du changement d'une au
moins des- coordonnées d'un points s'appelle son déplacement
absolu.

Si le système de comparaison a lui>méme changé de position
par rapport à un autre Supposé fixe^ le déplacement du point
dont il s'agit est appelé son déplacement relatif dans le système
de comparaison mobile^

2. Temps. Instant. — La notion simple du temps ou de la
durée nous est acquise par l'expérience, comme nous avons
acquis la notion de retendue. Nous avons l'idée nette de la
continuité du temps, d'un^ durée égale à une autre, du rapport
de deux durées ou temps quelconques ; dès lors les temps sont
des Quantités et par conséquent peuvent entrer dans le calcul.
L'unité de temps qu'on adopte généralement dans les applica-
tions des théories de la mécanique est la seconde (1»), c'est-
à-dire la 86400™» partie du jour moyen solaire, ou de vingt-
quatre heures (*).

Une portion quelconque du temps indéfini est un temps limité;

(*) De même qu'en enseignant les applications usuelles de la géométrie,
oh évite d'ôhirei' dàtié le détdtl des opérations délicates et Compliquées qui
ont Servi & Têiablissement d6 notre système métrique, et d'expliquer le
concours qu'elles ont exigé de coonaissances mathématiques, physiques el
astronomiques, de même il semblerait déplacé, au commencement de ré^^
tude de la mécanique, d'essayer d'exposer les procédés savants et ingénieux
qu'emploient l'astronomie et l'art de l'horlogerie pour résoudre le problème
de la mesUi*é du temps. Todt léfeleûlr admettra^ aa moins provisôiremeàt,
qu'un temps quelconque peut être divisé par la péûsée &A âulabt dé j^ârllèi
qu'on veudAi proportibaieilement à 4e6 nombres donnéBj et exprimé ùu-
mériquementi en prenant la seconde pour unité.

fiQUAtlOKd f)U MOlIVtMÉNt D'tM fOlNT. 3

il a un eomtnetïoëthetïi qui à'sippelle instant initial, et une fin qui
s'appelle inêtùr^ final (*).

5< f p«|éetoire* <— Un point étant en mouvement^ la ligne
droile ou courbe qu'il décrit s'appelle sa trajectoire.

4» Éqi«»ti*ns du mott^emeikt 4'tiii point dans l'^spaee. *^

Pouc définir le oiouvetnent d'un point, il faut exprimer le moyen
de trouver à tout instant la situation dé ce point. A cet effets on
introduit dans Ténoticé le temps écoulé à compter d'une origine
convenue, instant initial, et les coordonnées Variables néces-
saires pour déterminer la situation du mobile. Si, par exemple,
ces coordonnées sotit A, y, «, mesufées sûr trois axes concou-
rants, et qu'on puisse obtenir trois équations distinctes (**),

^, {xy y, «, /) = 0, #, (x, y, z, t) = 0, ^, (x, y, z, t) = 0,

les lettres ^^, §^^ f^ indiquant des fonctions déterminées, et la
lettre t désignant le temps écoulé depuis l'instant initial, c'est-
à-dire choisi ppur origine des iemps^ jusqu'à Pinstant où les
coordonnées du point mobile sont devenues x^ y et z, le mou-
vement du point (x, y^ <l) est rigoureusement défini, car à toute
valeur de t, c'est-à-dire à tout instant cbqisi dans la succession
du temps, répondent trois équations qui déterminent le mobile

(^) Ofi Toii qu(r, dand 16 langage (^féfîis qui convient à ttne science ma-
théiaaiUqiM, le mot imiani a un sefis plus restreifik que dans ie langage or-i
dinaire, où il signifie souxenl uo tem^^s très-court. Eu mécanique, rinstant
n'a pas de durée, de même qu'en géométrie le point n'a pas de longueur.
L'instant n'est pas même un temps intiniment petit, et nous évitons de dire
«rin^lâtlia^. »

(**) Nous 9pf>elott^ équations distinctes un groupé d'équaiions qui doivent
être satisfaites BimuUanément et dont aucune n'est une conséquence néces-
sftîrè deâ atttreâ^. Dêul groupes d'équations sont équivalents lorsque chaéuii
d'eux a les mêmes solutions que Tautre.

4 CniÉHATIQDI. SICT. I» CBAr. I.

par ses coordonnées. Ces trois équations on leurs équivalentes
s'appellent les équations du mouvement du point dans l'espace.
Lorsque, â priori^ ou par les procédés de Félimination, on peut
obtenir une des coordonnées variables exprimée en fonction du
temps^ cette équation définit le mouvement de k projection
du point mobile sur Taxe parallèle à cette variable; ainsi, par
exemple, x = ^ (t) exprime le mouvement de la projection du
point dont il s'agit sur Taxe des x, projection faite à chaque
instant par un plan parallèle à celui des y et des z. Si Pon peut
obtenir deux équations indépendantes de l'une des trois coor-
données, comme

t(x,y,t) = et f. (*,y,l) = 0,

elles expriment le mouvement de la projection sur le plan des
deux autres coordonnées, par exemple le plan des x et y (*)<
Trois équations

X = ç (#), y = ç, (#), « = ?, (#),

qui donnent les trois coordonnées variables du point mobile^ en
fonctions explicites du temps, ramènent Fétude du mouvement
quelconque d'un point dans Fespace à celle de trois mouvements
rectilignes sur les axes coordonnés.

Si par l'élimination du temps / on obtient une équation en
X, y et z, c'est Féquation d'une surface sur laquelle le point se
meut ; si l'on parvient à deux équations en x, y et x, ce sont les
équations de la trajectoire. Si entre ces deux équations on éli-
mine une des coordonnées variables, l'équation # (x, y) =^ 0^

(*) Les projections oot ici une signitication plus générale que dans les
questions ordinaires de la géométrie descriptive. Divers points se projettent,
soit recta ngulairement, soit obliquement, sur un plan par des parallèles à une
droite directrice; ils se projettent sur une droite par des plans parallèles à
un plan directeur.

ÉQUATIONS DU MOUVIMBIIT d'UN POINT. 5

par exemple, qui en résulte, est ceHe de la projection de la tra«
jeetaire sur le plan des deux axes parallèles aux coordonnées
restantes (plan des x et des y), projection faite par des droites
parallèles au troisiènae axe (axe de z).

Ces aperçus généraux, sur lesquek il serait superflu d'insister
en ce moment, suffisent pour faire pressentir l'immense service
que rend aux théories de la mécanique l'expression algébrique
des projections des lieux géométriques suivant l'invention, aussi
admirable que simple, de Descartes.

t(« Équation du ntonvemeikt d'VB point onivant «a trajec-
toire. — Lorsque la trajectoire est connue à prioriy pour défi-
nir le mouvement du point qui la décrit, il suffit d'une seule
équation s z=:(f (t) ou ^ {s, ^) = entre le temps ty et Tare s,
distance curviligne du mobile à une origine prise sur la trajec-
toire. C'est ce qu'on nomme l'équation du mouvement du point
suivant sa trajectoire (*).

6. l.e temps peat être négatif. — Dans toutes ces équa-
. tions, les coordonnées ou distances sont, comme on sait, positives

ou négatives. Il en peut être de même du temps, dont les va-
leurs positives sont des durées qui s'écoulent entre l'instant
choisi pour origine ou instant initial, et des instants postérieurs;
les valeurs négatives sont écoulées depuis des instants anté-
rieurs jusqu'à l'origine des temps positifs.

7. Antres moyens d'exprimer le mouvement. — Dans la
pratique on ne peut pas toujours trouver la fonction exacte qui

(*) Remarquons que dans Téquation « = «p (Q, la distance s peut être
l'espace parcouru pendant le temps t; si Ton a, par exemple, « = at<, cette
équation exprime qu*à Tinstant initial où ^ = , la distance s est nulle
aussi, c'est-à-dire que le point mobile est k l'origine des dislances s;
qu'ensuite il a parcouru, au bout d'une unité de temps, l'espace a; au bout
de deux unités, l'espace 4a; et ainsi de suite. Mais il n'en est pas de même,
eu général, comme on va le voir au numéro 10.

li^ Tespaçe $ia tâfnpa. Qq êiuploie aJor» d«ux moyens pour expri-
mer, au mom approximativemeiH, la loi 4u ipouvement à'm
point 8ur une ligne connue ; 1<^ Qn dresse un tftl)leau à dâux co-
lonnes dans Tune desquelles on écrit les temps I oomplés è
partir d'un instant initial, par exemple ies diverses valeurs de
Yheun marquée par une montre, un chronomètre, et dans l'autre
on inscrit les distances correspondantes « du mobile à une ori^^
gine prise sur la trajectoire ; i"" on construit une eour^ dont
les coordonnées sont proportionnelles, les unes au temps I, las
autres aux distances s. On peut, à cet effet, faire usage, soit de
coordonnées parallèles à deux axes concourants, soit de coor-
données polaires, soit de tout autre moyen d'exprimer la coexis-
tence de deux coordonnées susceptibles de valeurs quelconques.
Nous verrons plus tard (sect. II, chap. vn) Tindication d'appa-
reils qui réalisent utilement ces divers modes de représentation
d'un mouvement.

§2.

D€ MOUVEMENT UmPORMB d'uN POINT.

8. Déflnltioii du moaTement uniforme. — Le mouvemeut
est rectiligne ou curviligne^ selon que sa trajectoire est droite ou
courbe. Dans Tun et l'autre cas, il est uniforme lorsque ce point
parcourt dans un même sens des longueurs égales en des temps
égaux, quelque petits que soient cça temps; d'où il suit que, tant
que ce mouvement subsiçte, des portions quelconques de Ve^^
pace parcouru sont proportionnelles aux temps employés à les
parcourir.

Deux mouvements uniformes se distinguent l'un de l'autre
par la grandeur des espaces parcouras dans un même temps.
De là la notion de la vitesse. Si Ton nomme

E' une certaine portion de l'espace linéaire que parcourt un
point,

Btpnafioif DU HOOVBiiivr eiriiMiiB.

T* le temps ^eoulé pendant qu'elle est parcourue,

E une autre pprtion d'espace, parcourue par le même point,

T le temps écoulé pendant le parcours de cette longueur E,

le mouvement du point considéré est uniforme lorsqu'on a,

quel qua toit E,

P T . E Et

= f^ ce qui équivaut à ~ = -p.

I^ première de cas deux équations exprime Tégalilé de deux
rappprts 011 nombres ab^tr^its indépendants du choix des unitéi^
d^ longueur et de temps* h^ deuxième indique l'égalité de
d#ux quantités dont renonciation numérique vari^ selon )^
àm\ ^ unités, ^lle suppose an moins que les temps T et T'
sont rapportés à une même upjté» d*ailleurs quelconque, car on
ne comprendrait pas, sans cette opération préalable, la significa-

tion des quotients -;, — . D'ailleurs la deuxième équation

«at homogène eoxooie la première, c'est-à-Klire que, si elle est
vériiée pour certaines unités d'espace et de temps, elle le sera
également quand on changera cee unités.

E
Si Ton désigne par a le quotient — , la propriété du mou-
vement voifonne se trouve exprimée par Téquation

— = a ou E = aT,

daa$ laquelle a^ $f^t une constante, t^dis que E et T 9QM d«^
variôblçs.

La quantité a qui, pour un mouvement unitorme déterminé^
dépend du choix de Tunité de temps, est, d'après la dernière
formule, l'espace parcouru dans l'unité de temps, ou au moins
celui qui serait parcouru dans l'unité de temps^, si le mouve-

8 CUIftlIÀTIQUB. SICT. I9 CHAF. I.

ment était suffisamment prolongé en restant toujours uniforme.

Cette quantité a ou - s'appelle Yintensité ou la grandeur

absoltte de la vitene du point dont il s'agit.

Ainsi la vitesse dans le mouvement uniforme est mesurée en
grandeur absolue par F espace parcouru dans t unité de temps, ouj
plus généralement, par le quotient qu'on obtient en divisant un des
espaces parcourus par texpression numérique du temps employé
à parcourir cet espace. Nous donnerons plus loin (13) pour la vi-
tesse une définilion plus générale et plus complète qui a égard
au sens du mouvement et qui comprend les cas où ce mouve-
ment n'est pas uniforme. Dès à présent il est bon de remarquer
et de retenir que dans le mouvement uniforme l'espace parcouru
est égal à la vitesse multipliée par le temps, et que le temps est égal
à [espace parcouru divisé par la vitesse.

9- llBltés employéeB pour exprimer la vitesse. -— L'ex-
pression numérique de la vitesse exige le choix de deux unités,
l'une pour les temps , l'autre pour les longueurs. L'unité de
temps adoptée généralement dans l'application des formules de
la mécanique est, comme nous l'avons dit, la seconde (i'). L'u-
nité de longueur ou d'espace dont nous ferons usage dans les
exemples sera le mètre (1"). On exprime cette double conven-
tion en disant que la vitesse est comptée en mètres par seconde.
Néanmoins on se sert quelquefois d'expressions telles que
cellesr-ci : vitesse de tant de pieds par minute, de tant de lieues
par heure. Un mouvement uniforme étant défini sous une telle
forme, il est aisé d'en conclure la vitesse en mètres par seconde.
Par exemple, la vitesse d'une lieue (de 4 kilomètres) par heure
et celle de iOO pieds anglais par minute reviennent, en mètres
par seconde, l'une à

'4000_ 1
3600 ~ "*" 9'

tQUATIOll DU HOlJVnBlIT uuvouu.

l'autre à

1000,3048

= 0,508 n.

10. ÉqumtioH généimle il« nonveaieBt nnlforme. — On

conçoit que, pour définir le mouvement uniforme d'un point
sur une ligne donnée, ce n'est pas assez de faire connaître la
situation du mobile à un instant déterminé et Yintensité de sa
vitesse; il faut encore exprimer le sens de cette vitesse. Or, il
suffit d'avoir compris Tusage qu'en géométrie analytique on fait
des signes algébriques dans l'expression de la position d'un
point sur une ligne donnée^ pour étendre leur emploi à la dé-
termination du sens de la vitesse, comme nous allons le faire en
résolvant la question suivante :

Problème. Connaissant^ i** la position M^ (**) qu'occupe à un
certain instant un point mobile sur une ligne déterminée Os

(fig. i) ;

â° L'intensité de la vitesse de ce point en mouvement uniforme;

3^ Le sens de ce mouvement, soit de M^ vers s, soit à topposé;
il s'agit d* exprimer la position M du mobile après un certain temps
écoulé depuis Finstant où il se trouvait en M^.

Pour le faire de la manière la plus générale, on nommera

t le temps écoulé à partir de Tinstant où le mobile était en
M^^ instant qui est dit initial^ parce que c'est à lui que com-
mence le temps désigné par t;

s^ la distance du point M^ à un point G, appelé origine des

n Dans ta navigation maritime, i*uniié de vitesse est le nosud. Le nombre
de nœuds que fti$ un navire est égal au nombre de rallies marins qu'il
parcourt en une heure. On sait que le mille marin est le tiers d'une lieue
marine, ou un soixantième de degré terrestre : sa longueur est donc à
peu près de 1859 mètres. Ainsi, un nœud répond à une vitesse de 185S mè-
tres par heure ou 0»,514 par seconde.

(**) Les notations V», «o se Usent : n indice zéro, i indice léro.

40 OWtHATlQini. ncT. I, GBA». I.

distances, et supposé connu sur la ligne Os; cette distance «^
doit être comprise algébriquement, c'est-à-dire que c'est im-
plicitement une longueur a/feetée (Tun signe qui sera -H ou — ,
selon qu'elle sera portée à partir de G dans le sens adopté pour
positif ou dans le sens contraire; le point M^ que détermine la
quantité s^ s'appelîe position initiale du point mobile, et par là
il ne faut pas entendre que le mobile est parti de cette position,
mais il faut entendre qu'il l'occupait au commencement du
temps t;

V la vitesse du mobile, quantité constante, mais positive ou
négative selon que le mobile marche dans le sens positif ou en
sens contraire;

s la distance du mobile à l'origine O après le temps #, dis-
tance dont le signe fera connaître le sens dans lequel elle devra
être portée.

Cela posé, il est facile de voir qu'on aura

5=*,H-r<. (il

Cette équation^ dont on vérifiera aisément l'exactitude pour
toutes les hypothèses possibles relatives aux valeurs et aux
signes des quantités qui y entrent, s'appelle Véquation en termes
finis du mouvement du mobile désigné dans l'énoncé de la ques-
tion dont il s'agit ici. Elle s'applique à un cas quelconque du
mouvement uniforme d^un point, pourvu qu'on donjoe aux con-
stantes s^ et F les valeurs qui cooviennept à ce ca§i et qui ne
sont pas d'ailleurs toujours données explicitement, comme on
va le voir par un exemple.

i i . Bxeniple de moiiiTemeiit uniforme. — Connaissant les
positions du mobile â deux instants donnés, çt sachant d'ailleurs
que son mouvement sur une ligne connue est uniform/e^ trouver
Véquation de ce mouvement.

L'équation cherchée est de la ferme gzst g^^ n, mais les

ÉQUATIO» DU MÙOWnÊMm ORVOm. ii

quantités constantes s^ et v ne sont pas données immédiate-^
ment ; il s'agit de les calculer. A cet effet, on prendra à volonté
l'origine des distances et celle des temps.

s^ et s^ étant les distances, à l'origine O, des deux positions
connues,

t^ et t^ étant les temps écoulés depuis l'instant choisi pour
initial jusqtfà ceux qui correspondent à ces deux positions^

L'équation générale ci-dessus [1] doit être vérifiée quand on
y substitue pour s et t les valeurs simultanées *, et t^, puis
s^ et f j ^ on a donc deux équations pour calculer les constantes
inconnues s^ et F, savoir :

s.^M.^yi, et â, = *,-|-w,
d'où

et l'équation du mouvement dont il s'agit, c'est-à-dire celle qui
donne la position du mobile à chaque instant, est obtenue par
la substitution de ces expressions de v et de s^ dans Téquation
générale [4]. On 4 ainsi

Cette équation peut être mise sous les formes

s — s.

qd'il est d'aiileuts facile d'écrire immédiatement, en considérant
que l'espace s — £,, par exemple, est ps^rcouru dans. la temps
t — t^, avec une vitesse égale à l'espace s^ — *, divisé par le
temps i^ — #, employé à parcourir ce dernier espace.

IS aiIlHâTIQUI. HCr. I, (SAP. I.

§3.

DU MOUTSHBNT TÀUÉ D^UII POIKT SUR UNS UGNIt DONNÉB.
12. HonTenMBt varié. — Henveineiil pérlodiqaement iwl-

fonne. — Lorsque le mouvement d'un point n'est pas uniforme,
il est dit varié. Il est périodiquement uniforme si certains espaces
. successifs égaux sont parcourus suivant la même loi relative-
ment au temps mis à les parcourir, sans que la même condition
soit remplie par les parties de chacun de ces espaces. Tel est, par
exemple, le mouvement d'un point de l'aiguille d'une montre à
secondes. Tel est encore le mouvement annuel du soleil relati-
vement à la terre.

15. vitesae. — Il importe de bien comprendre ce qu'on en-
tend par la vitesse d'un point à un instant déterminé, dans le
mouvement varié.

Soit M ta position de ce point à un certain instant , et soit A^
l'espace positif ou négatif qu'il parcourt ensuite pendant un cer-
tain temps A^ lequel peut être assez petit pour que pendant
tout ce temps le mobile s'éloigne constamment de la position M.
Si l'on divise A^ par l'expression numérique de A^^ le quotient

A«

— de même signe que A«, est l'expression de la vitesse moyenne

avec laquelle l'espace A^ est décrit; et la direction de cette vi-
tesse moyenne est suivant la corde joignant le point M à celui
qu'occupe le mobile à la fin du temps A^.

Or si, dans le calcul, on fait décroître indéfiniment A^, l'espace
A« partant toujours du point M approche sans cesse et autant

qu'on veut de zéro; mais le quotient— tend vers une limite dé-

terminée^ positive ou négative, qui, suivant la notation du calcul

VITESSE DANS U ■OIITEEQDVT TABIÉ. 13

différentiel^ est désignée par -• , en même temps que la di-
rection de la corde approche de se confondre avec la tangente
. en M. Ces deux limites de valeur et de direction constituent la
viietse du mobile à l'instant où il occupe la position M. C'est ce
qu'on énonce d'une manière abrégée, en disant que

La vitesse d'un point en une position déterminée est dirigée sui-
vant la tangente à la trajectoire en ce point et a sa grandeur ex-
primée par l'espace infiniment petite positif ou négatifs qu'il décrit
à partir de cette position, divisé par F expression numérique du
temps infiniment petit employé à décrire cet espace.

Si donc réquation du mouvement est « = ^ (/), et si Ton ap-
pelle V la vitesse à la fin du temps quelconque i, on a» confor-
mément aux notations connues du calcul différentiel,

v = ^ = #'(0,

quantité positive ou négative, selon que le point marche à cet
instant dans le sens positif des «, ou en sens contraire.

Réciproquement, si la vitesse était une fonction connue du
temps, on en conclurait la relation nécessaire entre le déplace-
ment du mobile et le temps écoulé pendant ce déplacement.
En effet, de

v = --=f(l), ontire d* = f(^)«, d'où s^s^= 1 r{t)éi.
di Jo

Nous allons q[>pliquer ces considératims à deux exemples.

§ 14. HonTement ulfennémeni ▼Arié. — Le mouvement
d'un corps tombant librement dans le vide, et le mouvement du
centre d'un corps sphérique homogène abandonné à l'action de
la pesanteur, et roulant sur un plan incliné, appartiennent au
genre le plus simple du mouvement varié; l'expérience constate

que, si Ton compte l'espace parôouru et le temps écoulé à partir
du point et de l'instant où le corps, d'abord en repos, est sirh-
ptometit abandonné à la pesanteor, l'espace Variable déoril *par
on point quelconque du ûotps datis l6 premier cas, et lé centre
de la sphère parallèlement au plan diiiiè le second cos^ ëstpro*
portionnel au quarré du temps» Ce motivenMnt peut donc être
exprimé par la formule

€ = btK

Si l'espace est mesuré à partir d'uti point O quôioonqud de là
droite sur laquelle se meut un point du premier corps ou lé
centre de la sphèi^e^ et si Ton eommenoe à compter te temps à un
instant différent de celui' du dépirt^ rdxpreiftiôn de la distandé x
du point mobile à l'driglnd o^ après le tempri^ est d« la forme

x = x^ + M+bt^ ^

qui convient encore, moyennant des signes convenables donnés
aux constantes x^, a et b, au ea$ où le point mobile dont il s'a-
git, avant 4'étre abandonné, reçoit d'un moteur quelconque \ia
mouvement, soit ascendant soit descendant, suivant la vertjcale
ou suivant la ligne de plus grande pente du plan incliné. .

Il n'est pas question d'expliquer ici pourquoi l'équation ci-
dessus a lieu ; mais, en la regardant comme l'expression d'un fait
expérimental (*), il s'agit de faire mieux comprendre, à l'aide
de cet exemple, ce qu'on entend par la vitesse à un instant dé-
terminé dans le mouvement varié.

On peut y parvenir sans recourir au calcul différentiel. Si l'on
supposé Urté tâleuï* détèrthitlée donnée ht, on A par là formule

ac=ar^ + «l + è|2

(*) On le reconnaît en constatant que les distantes du mobile à un point
fixe O, après des temps en progression arithmétique, forment une série
dont les flifféféfices secdftde^âônf égalée, d*dû il »nil<|tte â^ est uA6 fohetioft
dllMMMiasgr0â«f.

MOUVBIIINT UNlfOMlIttlVT tAlIfi. 15

là valeur oûrrespondante de x, qui fbit connaître la position du
mobile à la fin de ce temps. Soit àt un petit temps écoulé à l&
suite de t, et soit x^ la distanoe du mobile à l'origine des «, à la
fin de 6ei accroisseihent du temps* On a pour déterminer x^
réquation

x, = x,+ a{t-^M)-^b{t+ At)^.

La diflférence jc, -*■ x est l'espace décrit pendant le temps A<
succédant au temps t; son signe, dans chaque cas, indiquerait
le sens du mouvement, et, en divisant cet espace par A/, on au-
rait la vitesse moyenne pendant ce temps. Ainsi,

— = a + ^M + iA/ = vitesse moyenne.

A mesure que A< diminue, cette quantité s'approche indéfi-
niment de <e ^ 2ftr, qui est par conséquent (i3) la vitesse ébev"
étéè à là fin du têrtps t. C'eât ce qui S'écHt ainsi :

On parvient immédiatement à ce résultat par la formule
V = ~-, qui devient v=— , appliquée à l'équation

X z:z x^ + at+ ht*,

suivant les règles les plus simples du calcul différentiel.

On conclut de ce qui précède :

1° Que, dans le mouvement exprimé par x=x^ + at-^-bt^^
la vitesse varie à chaque instant ;

2° Que sa valeur, quand le temps t commence, est a, quantité
positive ou négative , qU*on appelle vitesse initiale et que noUS
désignerons souvent par v^;

16 CDIÉMATIQUE. 8ECT. I, CBAP. I.

3® Que Ja vitesse s^accrott, par unité de temps, de la quantité
S^ positive ou négative, mais constante, qui s'appelle accéléra-
iion constante, et que nous désignerons souvent par la lettre j.

La propriété d'accélération constante a fait nommer le mou-
vement dont il s'agit mouvement uniformément varié. Ce mouve-
ment est donc caractérisé par les trois équations

x=x^ + v^t + ^jfi,

v=v,+jt, } m

dt ~^'

dans lesquelles chaque lettre a une signification dont il importe
de se bien pénétrer^ en se rappelant que x^^ v^ elj sont des con-
stantes positives ou négatives.

15. Remarques sur les équations et les propriétés du
mouvement uniformément varié. — - !<> Des trois équations
ci-dessus, les deux dernières ont été déduites de la première.
Réciproquement, on peut de la dernière conclure les deux au-
tres, sauf les valeurs de v^ et de s^ qui restent arbitraires. En
effet, en intégrant les deux membres de Féquation àv z=:jàt, à
partir de I = 0, on a

v—v^=jt;

puis, en mettant pour v^on expression — dans cette dernière
équation, qui devient^ par la séparation des variables,

dx = v^dt+jtdt,

et en intégrant, on obtient x — x^z=zvj-+- ^j^.
2* L'équation v = v^^ + jt donne, pour une certaine valeur

MOUVBHBNT UNIF01UI&1IBNT VARIÉ. 17

de i, une valeur nulle à la vitesse v. Il faut bien remarquer

qu'en général une vitesse nulle n'est pas toujours la même chose

que le repos. Un point est en repos lorsque, pendant un temps

fini, il occupe constamment la même position. Un point en

mouvement a une vitesse nulle à un instant déterminé lorsque

A*
sa vitesse moyenne -r- pendant le temps ^t qui succède à

cet instant a pour limite zéro, c'est-à-dire devient aussi petite
qu'on veut, à mesure qu'on fait décroître A^.

3« En éliminant/ entre les deux premières des équations [2],
on a

^t ou '-"-"• = li+J!
t 2

c'est-à-dire que, dans le mouvement uniformément varié, la vi-
tesse moyenne pendant un certain temps t^ est la moyenne arithmé-
tique des vitesses prises aux deux instants extrêmes de ce temps,
à"* De la première des équations [2] on tire

^0+75 = — 7-

c'esl-à-dire que, dans le mouvement uniformément varié, la vitesse

d un instant quelconque [fin du temps -r) est la vitesse moyenne

dû mobile pendant un temps dont le milieu est ce même instant,

6<> En éliminant le temps t entre les deux premières équa-
tions [2], on obtient

l(t;2_V)=y(^_^g

de sorte que, dans le mouvement uniformément varié, la moitié de

ii CINÉtlATIQUB. SBGT. I» CHAP. t.

V accroissement du quarré de h vitesse est égak au produit de l'êè*
célération constante par t espace parcouru,

16. Monvement osciUatoire. — On SUppOSe qu'un point M

se meuve uniformément sur une circonférence BAC (fig. i)» «t
que ce point soit à chaque instant projeté rectangulairement
sur un diamètre BC. On demande les équations du mouveme&t
de la projection P.

Soient F la vitesse constante sur la circonférence,
r le rayon OA,
X la distance OP,
t le temps pendant lequel le mobile passe de A en if

et sa projection de G en P,
V la vitesse de la projection P à la fin de ce temps.

On a d'abord

d'où

Ait n

x= r sm AOli, et angle AOM as — - = — ;

. yt

X = r sm — . [IJ

Puis

Il ae — ssrcos— .— as#^«os — . [1]

d/ T r r

On peut éliminer le temps, ce qui donne

La vitesse v est donc proportionnelle à l'ordonnée HP. Elle

-HOUTIMKNT 08CILLAT0MB. i%

eat nulle quand le mobile principal est en B ou en G. Son maxi-
mum est i^et a lieu quand le mobile est en A. Elle devient né-
gative quand il se trouve au-dessous du diamètre BG.

La durée de Tosoillation de B en G ou de G en B est celle du
parcours de la demi-circonférence BAG, par le mobile M ayant

la vitesse constante F; c'est donc -~, (8), ou tt divisé par le

coefficient de l'ordonnée dans l'expression [3] de la vitesse v,

Rkvakqub. Le mouvement oscillatoire que nous venons d'étu-
dier se trouve fréquemment dans les applications de la méca-
nique. Toutes les fois qu'on rencontrera un mouvement dans
lequel la vitesse d'un point soit exprimée par une fonction de la

forme l/^a-+- bx — c* jc^, la distance variable du mobile à

un point fixe de sa trajectoire étant :c, on en conclura, en chan-
geant l'origine des distances,

Que la vitesse peut être représentée par c l/r^ — x'^^

Que le mouvement dont il s'agit est le mouvement oscillatoire
qu'on obtiendrait en imaginant qu'un point se meut uniformé-
ment sur une circonférence dont le rayon est r et en projetant
ce point à chaque inst^t sur un diamètre,

Enfin que la durée de chaque oscillation du mobile est -, ce
qu'on trouverait d'ailleurs par le calcul intégral en posant
— =:c|/r2 — a:'2, d'où dt:=z^—y^= et en inté-

graat depuis x' = — r jusqu'à x* = r.

§*•

DÉTEUINATlOlf GlUraïQim DB UL VITBSSB.

IT. Conrbtt reiirésentative ées «spaoes. — Si le mouve-
ment d'un point sur sa trajectoire est figuré (7) par une courbe

iO CmtMATIQUI. SICT. I, CBAP. I.

dont les coordonnées parallèles à deux axes représentent
(moyennant deux échelles convenues des temps et des espaces)
les unes les temps #, les autres les distances s du mobile à un
point fixe de sa trajectoire, on peut en conclure la vitesse par
un procédé graphique :

i* Dans le cas où le mouvement serait uniforme, au lieu
d'une courbe on aurait une droite ; et la vitesse serait repré-
sentée par la longueur constante positive ou négative dont va-
rierait l'ordonnée variable s pour chaque accroissement positif
de l'abscisse exprimant suivant Téchelie l'unité de temps.

Les lecteurs fer(mt bien de s'exercer à tracer les différentes
positions de la droite représentant un mouvement uniforme^
suivant la diversité des échelles et suivant les signes des quan-
tités s^ et y dans l'équation [i] du numéro 10.

^ Dans un mouvement varié quelconque, rinclinaison de la
courbe représentative, en un point, relativement à Taxe des
temps donne, eu égard aux échelles, la vitesse à l'instant cor-
respondant : cela résulte soit de la définition de la vitesse (13)

soit de l'équation v = — . La vitesse à la fin du temps t

s'obtient en menant^ par le point dont l'abscisse figure ce
temps, une tangente à la courbe représentative^ et en mesurant
à Téchelle des distances l'accroissement que l'ordonnée de
cette tangente prend pour un accroissement de Tabscisse figu-
rant suivant Tautre échelle Tunité de temps.

Suivant que la courbe tourne sa concavité vers les ordon-
nées s positives ou du côté opposé, la vitesse est croissante
dans le premier cas, ou décroissante dans le second, pendant
que le temps croît. A un point d'inflexion répond un maximum
ou un minimum de la vitesse, maximum si à la concavité vers
les s positives succède la convexité, minimum dans le cas con-
traire. A un point où la tangente à la courbe représentative est
parallèle à Taxe des temps l, la vitesse est instantanément
nulle.

DÉTBRIimÀTION GRAPHIQUE DE LA VITESSE. '2i

Si, par exemple, le mouvement d'un point sur sa trajectoire
est uniformément varié (14) et a par conséquent pour équation

sz=s^ + vjt+'rjfiy la courbe dont les coordonnées parai-

lèles à deux axes représentent ce mouvement est une para-
bole (fig. 3) dont Taxe principal est une parallèle aux s. L'or-
donnée à Torigine est la distance initiale s^ ; la tangente au point
dont Tabscisse est nulle ayant pour équation «' = «^ -h vjt^ si
Ton appelle «/ l'ordonnée de cette tangente qui correspond
à 1= 1, et «, l'ordonnée de la parabole correspondante à la

même abscisse ^ = i, on a */ — g^ = v^^ et s^ — s^' = ^j.

18. Courbe représenUitlTe des viteases. — La loi suivant la-
quelle varie la vitesse dans un mouvement quelconque peut être
rendue encore plus sensible par une autre construction graphi-
que. On déterminera, comme on vient de le voir, les valeurs de
la vitesse correspondantes à diverses valeurs du temps. Cela
fait, on construira par points une courbe dont les abscisses
seront, moyennant une certaine échelle, proportionnelles aux
temps t et les ordonnées proportionnelles, moyennant une
autre échelle^ aux vitesses v correspondantes.

Dans le second mode de représentation du mouvement d*un
point, la distance s — s^ (qui sépare la position initiale du mo-
bile de celle qu'il occupe à la fin du temps i) étant (43) l'inté-
grale jvdt est représentée par l'aire comprise entre la

courbe^ l'axe des temps et les deux ordonnées qui4*épondent
Tune à l'origine, l'autre à Pextrémité du temps f, pourvu que
Ton convienne que l'unité de distance est représentée par Taire
d^un parallélogramme qui aurait pour côtés parallèles aux axes
les lignes choisies pour représenter l'unité des temps sur l'axe
des abscisses et Tunité des vitesses portées en ordonnées. Il doit
être entendu que, si entre les deux instants extrêmes la vitesse

32 CIKtMATIQDB. 8BGT. I, GHAP. I.

change de signe, il faut prendre positivement l'aire située au-
dessus de Taxe des temps^ et négativement celle qui se trouve
au-dessous.

Ces considérations géométriques peuvent servir à démontrer
que, lorsque la vitesse est donnée par la formule v:=zv^+j% la
distance du mobile, après le temps <, à sa position initiale, est

1
V + âJ^> ^**®'* ^"® soient les signes de v^ et de j. Nous ne

donnerons pas ici cette démonstration, parce que la proposition
a été établie précédemment (15) par le calcul.

§5.

DB LA VITESSE D^UN POINT DONT LE MOUVEMENT EST EXPRIMA
EN COORDONNIËES PARALLÈLES A TROIS AXES. *

19. Projection de la vitesse sur un axe. — Lorsque la tra-
jectoire d'un point dans l'espace n'est pas immédiatement con-
nue, le moyen le plus simple de définir son mouvement est (5) de
rapporter ce point à trois axes concourants non situés dans un
même plan, et de fournir la possibilité de calculer pour toute
valeur du temps t chacune des trois coordonnées x, y eiz du
mobile.

Projection sur un axe d'un point en mouvement. Cela posé, il
est aisé de vérifier les remarques suivantes :

1° Les expressions de oc, de y et de « en fonction du temps
font connaître le mouvement des projections conjuguées du
mobile sur les axes^ chaque projection étant faite sur un axe
par un plan parallèle aux deux autres ;

^ Les déplacements ^x, Ay, àz de ces projections pendant
le temps àt sont les projections, sur les axes^ de la corde MM^
joignant les deux positions M et M, que le mobile occupe au
commencement et à la fin de ce temps,-

DÉTEimiNATIOlV ANALTT1Q08 W U VITBSSB. S3

Ajc Av As

3* Par conséquent les quotients —, -^, — qui sont les

vitesses moyennes des projections du mobile sont les projec-

IMUli

tîons du quotient -—A, qui, à mesure que A' diminue, finit

par différer aussi peu qu'on veut de la vitesse moyenne du mo-
bile sur sa trajectoire pendant le temps ^t;

A^ Par conséquent, les limites rr» tt» tt > vitesses d«6

dt dt dt

projections du mobile à la fin du temps t, sont les projections de

la droite qui, étant égale à la limite — et dirigée suivant la

tangente à la trajectoire, exprime la vitesse du mobile dans
l'espace. Ainsi :

THÉOBfiHE. La vitesse de la projection, sur un axe^ d*un point
en mouvement dans Fespace, est égale à la projection sur le mime
axe de la vitesse de ce mobile.

, . dJt dv d2

Les vitesses -—, -^7, — sont souvent représentées par

dr dr dt

vx, Vjy vt (prononcez v indice x^ etc.)» notations qui indiquent
tout à la fois les vitesses des projections obliques ou reetangu-
laires du point dont la vitesse est v, et les projections de cette
vitesse. Ces quantités sont positives ou négatives, de mêmes
signes que les accroissements djc, dy^dz^ tandis que v comme d«,
pouvant avoir toutes les directions dans Tespace, n'a point de
signe.

La notation v^ n'a une signification complètement déterminée
qu'autant que Ton connaît la situation angulaire du plan yOs
coordonné avec Taxe Ox.

Lorsqu'il s'agit de projections rectangulaires, on a

Vg = V COS (v, x), Vy = V COS (v, y), Vj = v cos (v, ï).

Exemple. Dans le cas du numéro 16, la vitesse --7 du pomt P

!24 CINÉMATIQUE. SBCT. I, CHAP. i.

est ia projection de la vitesse V du point M , dirigée suivant la
tangente à la circonférence. On a donc immédiatement

do;

— = ^ COS AOM.

20. Corollaire. — La vitesse dun point dans Pespace est la
diagotiale d'un paralUlipipède dont les arêtes contiguës sont égales
et parallèles aux vitesses des projections du mobile sur trois axes
coordonnés»

Dans le cas où ces trois axes sont rectangulaires, on a

V = ^V 4- vyS -)- Vï».

21. Projeetion sur un plan d'nn point en monventent
dans l'espace.— Imaginons que, pendant qu'un point se meut
dans l'espace, on le projette continuellement sur un plan xOy
par des parallèles à Taxe Oz (fig. 4). On a ainsi sur ce plan la
trajectoire de la projection qui est aussi la projection de la tra-
jectoire du mobile. L'arc NN', joignant deux points de cette
projection, est la projection de Tare MM' compris entre les deux
positions correspondantes du mobile sur la trajectoire. Si Ton
suppose ces arcs infiniment petits, l'un est encore la projection
de l'autre ; il en est de même de leurs quotients par l'expres-
sion numérique du temps d^ pendant lequel ils sont parcourus ;
ces quotients sont, Tun la vitesse de la projection suivant la tan-
gente en IV, l'autre la vitesse du mobile suivant la tangente
en M. Donc

Théorème. La vitesse de la projection sur un plan d'un point
en mouvement dans l'espace est en grandeur et en direction la pro-
jection sur le même plan de la vitesse de ce mobile.

Remarque. La vitesse de la projection suivant IVIV', a évidem-
ment les mêmes projections sur les axes Ox et Oy que la vi-
tesse V suivant MM'. Elle est donc la diagonale d'un parallélo-

DÉTERMINATION ANALYTIQUE DE LA YITBSSE.

gramme dont les côtés contigus sont égaux et parallèl(
vitesses vx et vy.

les aux

§6.

DE LA TITE88E D^UN POINT DONT LE HOUYEMENT EST EXPRIMA
EN COORDONNÉES POLAIRES.

22. Trajeetoire plane. — Soient

G (fig. 5) le pôle et CL Taxe polaire auxquels sont rap-
portées les positions successives d'un point mobile ;
M la position qui correspond à la fin du temps t ;
r le rayon vecteur variable CM ;
a Fangle variable MOL.
Deux équations ^ (r, a, f) = et ^^ (r, a, #) =0, ou
plus simplement r = 9 (^) et a = f « (f), définiront com-
plètement le mouvement du mobile dans le plan MOL.

L'équation r = 9 (/) seule fait connaître la loi du mouve-
ment de ce mobile le long d'une droite qui coïncide continuel-
lement avec le rayon vecteur. La vitesse de ce mouvement, qui
est appelée vitesse relative du point mobile sur le rayon vecteur,

et que nous désignerons par i;r, est exprimée par — , quan-

tilé positive ou négative.

L'équation a = 9, (t) seule fait connaître la loi suivant la-
quelle varie la distance angulaire du rayon vecteur à Taxe

polaire OL. La dérivée ~~ est ce que Ton appelle la vitesse
dt

angulaire du rayon vecteur ou du point M autour du pôle O.
On peut se représenter cette quantité comme étant la vitesse li-
néaire du point situé à l'unité de distance du pôle sur le rayon
vecteur; mais on doit remarquer que, pour un mouvement dé-
terminé du rayon vecteur^l'expression de la vitesse angulaire
reste numériquement la môme, quelle que soit Funité de dis-

96 cmlaiATiQDi. 8bct« i, cup. i.

tança ou de longueur; c'est donc un nombre abstrait f"), et eeta
devait être, puisque a est lui-même un simple rapport. Nous dA-

sigherons la vitesse angulaire — par w.

Lorsqu'une droite, telle que OM , tourne uniformément autour
d'un de ses points , c'est-à-dire que les angles qu'elle décrit
sont proportionnels aux temps mis à les décrire, l'usage des
praticiens est de déterminer sa vitesse de rotation par le nombre
de révolutions ou de tourn qu'elle fait par minute. Si n est ce

d«

nombre^ la vitesse angulaire — de la droite est, comme il

est aisé de le voir, — -.

Connaissant »•> t- et — à un certain instant, on en

conclut la vitesse v du mobile à cet instant. Soit M' la position
du mobile è la fin du temps t + df. Menons la droite OM' «t
Tare circulair^r infinin^ent petit MN. Nous aurons le triangle
différentiel rectangle MM'N formé de Tare de trajectoire MM'
ou ^y de IVM' égal à dr et de HIV égal à rda; ainsi

d5 = J/dra + r^da»,

et par suite

i^v^h-m

V = l/^Vr* + »•* W*-

(*) 8i, par exemple, ta Tîtesse angulaire est i, cela vent dire que, dans le
cas où le rayon OH tourne uniformément, son point situé à 1 mètre du
centre fixe parcourt 4 mètres par seconde, tandis que les points situés à
1 décimètre^ à 1 kilomètre, à 1 pied, parcourent 4 décimètres, 4 kilomètres,
4 pieds, ce qui exprime évidemment le même déplacement du rayon indé-
finiment prolongé.

DfiTERMIKATION ANALTTIQOB DB LA flTESSB. %^

Le produit nv est la vitesse d'un point qui, coineidânt svee M,
resterait immobile sur le rayon vecteur, mais serait entraîné »vet
celui-ci. C'est pourquoi on l'appelle vitesse d'entraînement du
point M.

On peut encore calculer l'angle |3 de la courbe Ifll' avec le
prolongement du rayon vecteur. On a

. dr Vf . ^ rdcc rw

^ ds v' ^"^ ds V '

On peut aussi exprimer la distance variable p de l'origine O à
la tangente en M, savoir :

» =r sm fi = r* — = r» — .

"^ d* V

Enfin, il peut être utile de considérer l'aire MfiM décrite
par le rayon vecteur et dont l'accroissement pendant le temps
dt est l'aire MOM ' que nous désignerons par dcù. En négligeant
le triangle MM'N comme infiniment petit par rapport au trian-
gle MON, on a

^ c ., > *w ^ «*« i «
*«=-r»4« d'Où «=4»^«=|r»«..

On obtient le même résultat en écrivant

do> = -»d* = -rada.

La quantité — ^ qui exprime la loi suivant laquelle l'aire o»
df

crott avec le temps, s'appelle la vitesse aréolaire du point M au-
tour de O. Elle peut être constante, et alors les aires décrites

28 CINfiMATIQOB. SBCT. I, CHAP. I.

par le rayon vecleur^ pendant des temps quelconques^ sont pro-
portionnelles à ces temps.

25. Trajeetoire qneleonqne dAns l'espaee. — La position
du point mobile à chaque instant peut être définie par trois
coordonnées polaires :

1<» Le rayon vecteur DM ou r (fig. 6) ;

2<> L'angle mOL ou a que sa projection orthogonale Om sur
un plan fixe, mené par G, fait avec une droite immobile OL de
ce plan ;

3° L'angle MOm ou y que ce même rayon vecteur fait avec
le plan fixe.

Trois équations entre les trois variables r, a, y et le temps t
définiraient le mouvement du mobile. Si elles étaient ramenées
aux formes explicites

la première, seule, ferait connaître le mouvement relatif du mo-
bile suivant le rayon vecteur; la deuxième donnerait le mouve-
ment angulaire de la projection du rayon vecteur sur le plan
ïiyie mOL ; la troisième ferait connaître le mouvement angulaire
du rayon vecteur par rapport à la droite fixe Ose menée par G
perpendiculairement au même plan mGL.

Cherchons la vitesse du mobile à l'instant de son passage en M.
Ce point se projette perpendiculairement en m sur le plan mGL,
et l'on a Gm = r cos y. Soit MM' ou d^ l'arc infiniment petit
que le mobile parcourt pendant le temps d^ Le rayon vecteur
GM' est égal à r +dr; il fait, avec sa projection orthogonale Gm'
sur le plan LGm, l'angle y + dy ; et l'angle m'Gm est exprimé
par da. Projetons rectangulairement M en IV sur le plan M'Gm',
JV en Q sur la droite GM'^ et m en n sur Gm'. Le chemin poly-
gonal MNQM' qui conduit de M en M' est ainsi formé de trois

DÉTBRlIUfÀTIOn AllÀLTTIQOB DE LÀ VITESSE. ^29

côtés, dont chacun est perpendiculaire aux deux autres; il s*agit
de les évaluer. Ou a d'abord

MS := mn = Om.d« = r COS yda*

Ensuite les angles imOb et MON étant infiniment petits, les
projections On et OX ne diffèrent de Om et OM que par des in-
finiment petits du second ordre ; les triangles ObN et OmM peu-
vent donc être considérés comme égaux. Ainsi l'on a

ON = OM =z r; angle NOnir: MOiii = y ;
angle NOQ = dy ; MQ = O^.dy = rdy ;

et par suite

0Q=01V = r, et QM' = OM'— r=:dr.

Il ne reste plus qu'à substituer ces valeurs dans l'expression
de MM'. On obtient

MM'a = MN^ 4. Sq» + Qil'*,

ds^=r* cos« yd««-Hr« d-^ + dr«,

d'où la vitesse cherchée :

.=^=l/.^,(J)V.(S)V(J)!

Rbharqdbs. io On arrive au même résultat par une transfor-
mation auxiliaire des coordonnées du point M. Prenant OL pour

30 cmi]iATiQ0i« fier, i, giap. i.

Taxe des «5 Os pour celui des m et Taxe des y perpendiculaire
à Ox dans le plan mOL, on a

X = Om COS ce =s r COS y COS ic»

y = Om sin a = r cos y sin «,

z = r sin y.

On différentie et substitue dans la formule

^ Si Ton fait y = const = , la trajectoire est plane, et l'on
retrouve ds^ == r^ da* + dr^.

§7.

DU HOCTBVBMT D'UN POINT ftBLÀTiyiMBNT ▲ UN fmftW

DE COMPARAISON INVARIABLE EN MOCTIMINT.
COMPOSITION DES VITESSES ET DES CHEMINS ÉLÉMENTAIRES.

24. Mouvement relatif. — Un point M ayant un mouvement
quelconque dans l'espace, concevons qu'un système de compa-
raison de figure constante, formé, par exemple, des trois arêtes
d'un angle trièdre invariable, se meuve aussi d'une manière
quelconque, et supposons qu'un observateur, entraîné à son
insu dans le mouvement du système de ces axes, les considère
comme fixes. (C'est ce qui nous arrive continuellement dans les
questions de mécanique, où nous faisons abstraction du mouve-
ment de la terre.) Cet observateur attribuera au point M un
mouvement différent de celui que ce mobile possède réellement.
Ce mouvement s'appelle mouvement apparent ou relatifs dans le
système de comparaison .

MOvmifr RStAYtV. 3i

En résumé» le mouvement relatif dtun point dans un système
de comparaison qui est lui-^même en mouvement est le mouvement
absolu qu'aurait ce point si^ te système de comparaison devenant
fixe^ les distances du mobile aux points de ce système étaient aux
instants quelconques qui se succèdent les mêmes qu'elles sont pen*
dont que le système se meut,

25. Trajectoire relative. — Connaissant le mouvement absolu
dun point et le mouvement absolu du système de comparais(mf
trouver la trajectoire du mouvement du point retativement d ee
système et les positions que ce mobile y occupe à des instants
désignés.

SoiptioB «raphiqae. —Soient M,, M,| M,... left poiitiooi
successives du point M, et soient

les positions correspondantes du système de comparaison à la
fin des teiAps t^, f,, #,... 11 suffit de reporter dans Tune des po-
sitions de ce système, la première par exemple, le point M avec
les coordonnées relatives qu'il a successivement. On construit
ainsi la trajectoire relative M,, m,, m^... dont les points
M,, nijj, m^... correspondent aux temps t^, f,, /,...

EiLempie. Le système de comparaison tourne uniformément
autour d'un axe, et le point M a son mouvement rectiligne et
uniforme dans un plan perpendiculaire à Taxe. Prenons ce plan
pour <»Iui de la figure 7. Soit O sa rencontre avec Taxe de
rotation^ Soient M, M\ U!\.. des positions successives et équl-
distantes du mobile. Prenons pour axes du système de compa-
raison Taxe de rotation projeté en O et le rayon Oll qui, à
l'instant initial, passe par la première position considérée du
mobîie. Pendant que oelui^i se transporte en M', en MT..., le
ffiyon d*ab(Mrd en OM ou OA se transporte en OA^ OA^, par^

32 CHIÉMAnQDB. SICT. ly GHAP. I.

courant dans des temps égaux des angles égau^, puisque, par
hypothèse, le système de comparaison tourne uniformément.
Cela posé, pour avoir un point de la trajectoire relative, telle
qu'elle serait pour un observateur qui, entraîné dans ce mouve-
ment de rotation^ considérerait le rayon OA comme fixe, il suffit,
par exemple, de trouver un point m' qui soit situé par rapport
à G A comme M' est situé par rapport à OA'; pour cela, on dé-
crit par le point M' un arc de cercle P W autour de O , puis on
fait pWzzP'M'. De même on décrit par M" Tare P^m", et Ton
fait p'^m'^ = P^'M". Ainsi de suite.

SolntloB analytique dii même problème en ipénéral. — -

Soient jc, y, z, les coordonnées variables en fondions du temps
du point mobile M rapporté à trois axes fixes Ox, Oy, Oc, sup-
posés rectangulaires. Soient a, 6, c les coordonnées variables
relativement à ces axes fixes, d'un point 0', origine mobile d'un
système de comparaison formé de trois axes OV, C'y', O'*', rec-
tangulaires dont les neuf angles avec les trois premiers axes sont
comme les coordonnées a, &, c, des fonctions du temps déduites
des données du problème, c'est-à-dire de la connaissance du
mouvement du système de comparaison. Les coordonnées du
point lH relativement aux axes de ce systènte sont désignées
par x', y', a'. Ce sont les projections rectangulaires sur ces axes
OV, oy , OV de la distance O'M, laquelle ferme le contour po-
lygonal dont les câtés sontjc — a^y — h^z — c. On a donc

y!z=z(x—a) cos (x, x') + (y — h) cos (y, x') + (z— c) cos («, x'),
y' = (* — a) cos (X, y') + {y—h) cos (y, y') + (« — <?) COS (a, y'),
«' = (jc — a) cos (x, z') + (y — ^) cos (y, z') + (z — c) cos (a, «')•

Ces équations, qui sont celles du mouvement relatif, sont les
formules ordinaires de la transformation des coordonnées, avec
cette différence que les coordonnées a, t, c et les neuf angles
indiqués sont variables. En éliminant le temps, on obtiendrait les

COMPOSITION DBS moctouhts. 33

deux équalioQs qui déÉDirûent analytiquement la trajectoire
relative.

Cas particulier où les axeê de comparasion se meuvent parallèle-
ment â eux-mêmes, et d'une manière d'ailleurs quelconque. On
peut les prendre parallèles aux axes fixes. Ici, comme précé-
demment^ la figure M,, m^, m,... de la trajectoire relative
s'obtient en ramenant le système de comparaison de chacune
de ses positions successives à Tune d'elles^ en supposant que
dans ce transport il entraîne avec lui la position relative corres-
pondante du point mobile.

Les équations ci-dessus deviennent simplement

Cas plus particulier où le point observé est immobile, les lignes
du système de comparaison se mouvant parallèlement à elles-
mêmes. On peut supposer le point immobile à Torigine des axes
fixes. Âinsi^ x=:0,y=0,2 = 0, et les équations préeé-
dentés se réduisent à x' := — a, y' = — fe, z' = — c; la tra-
jectoire relative est done, par rapport aux axes mobiles, diamé-
tralement symétrique à celle que décrit dans l'espace l'origiiie
de- ces axes mobiles par rapport aux axes fixes. Si cette dernière
trajectoire est plane, il en est de même de l'autre, et elles sont
superposables par simple rotation de Tune déciles dans leur
plan commun. Si les deux cotirbes^ne sont pas planes et qu^on
en fasse tourner une, de deux angles droits, autour de l'origine
fixe et parallèlement à un plan passant par cette origine, elles
deviennent symétriques par rapport à ce plan.

26. G««ipiMltl«fi des monveaieBta.-- On résoudrait par des
moyens analogues le problème qui consisterait à trouver le mou-
vement absolu d'un point, connaissant et son mouvement relatif
pour un système de comparaison et k mouvement de ce système de
figure invariable. La solution graphique de ce problème se ré-

34 CmiHATIQiU. MGT. i, ClAP. I.

duirait, i« à figurer un nombre suffiiuml de poiifttone absolues
du système de comparaison

o»>,, o>;y>„ o»>;..M

2° à y représenter les positions relatives, aux mêmes instants, du
point mobile dont il s'agit : la ligne joignant les points M,, M,,
M,... ainsi obtenus serait la trajectoire absolue de ce mobile.

La solution analytique serait exprimée par les équations

•

oc = a H- oc' COS (x', x) + %j COS (y', x) + «' COS («', x),
y = & + x' COS (x', y) + y COS (y', y) + «' COS («', y),
2 = c + x' COS (x', a) + y' COS (y', «) + ^ COS (ï', «).

qui supposent,

1^ Que les trois axes fixes auxquels se rapportent les eoor-
données x, y et 2 , définissant la position du mobile à la fin du
temps ty sont rectangulaires;

3« Que les coordonnées a, A et <r de Torigiiie moUle O' du
système de comparaison, et les angles des asea rectaogulwes
O'x^ <yy' et OV avec les exes fixes sont des fonctions du temps
déduites de la loi donnée du mouvement du système de cona-
paraison;

3^ Qu'il en est de même des oMrdonnées jr^ xj et «' Uée$ au
temps, en vertu de la loi donnée du mouveni^eiit relatif du mobile.

Cette question est comprise dans celles qui sont désignées
sous le nom de cmifo^iqn des motmrnnmtf^ et il est d'usage de
dire que le mouvement absolu d'un corps se compose de son
mouvement relatif dans un système de comparaison, et du
mouvement absolu de ce système. On remarquera que, dans
les explications qui précèdent , il s'agit seulement du mottve-
ment d'un point et du mouvement d'un système géométrique
auquel on le rapporte.

▼ITBSdK lELATITK. 35

Après nous être occupés de la trajectoire du mouvement
relatif d'un point, nous allons considérer sa vitesse.

87. vitesse relative* — La vitesse relative, qui est celle du
mouvement relatif, est en général différente en intensité et en
directi<m de la vitesse absolue. Cette considération conduit à la
question auiv^inte ;

Trouver ks relatiom entre la vitesse relative, la vitesse absolue
et le mouvement du système de comparaison.

Soit, à un instant déterminé, A (fig. 8) la position du point
Oiobile^ et soit AV=:v une droite représentant en direction et
en grandeur sa vitasse absolue.

Soit A£ = ve une autre droite représentant de môme la vi-
tesse »vec laquelle le point A, considéré comme point géomé-
trique lié au système de comparaison^ est entratné dans le
mouvement de ce système; cette vitesse est appelée vitesse
dentraUiemeni du mobile à Tinstant de son passage en A, déno-
mination expressive que rappelle la notation Ve; elle diffère en
général de celle d'un autre point pris à volonté et lié au système
de comparaison, sauf le cas où le mouvement de celui-ci est tel
que tous ses points décrivent des courbes égales et parallèies^
et où par conséquent toutes les droites joignant ses points se
déplacent parallèlement à elles-mêmes.

Dans un temps infiniment petit ^t le mobile principal se
transporte en M sur la tangente AV de sa trajectoire, à une
distance AM =vd*, tandis que le point géométrique A, lié au
système de comparaison, est entratné en A' à une distance
AA'=ve*^ Donc, l'observateur qui, emporté avec ce système,
considérerait le point géométrique A comme fixe, pendant son
transport en A', attribuerait au mobile principal un' mouvement
en vertu duquel celui-ci parcourrait un espace infiniment petit,
égal à MM, pendant le temps àt. Donc, si Ton désigne par vr la
vitesse relative de ce mobile à l'instant de son passage en A,
on a A'M = Vfdt. Les côtés du triangle AHA'^ égaux respecti-

36 CINfiHATIQUK. SBGT. 1, CHAP. I. ■

vement à vd#, v^àt et v^&t^ sont donc proportionnels aux vitesses
Vy ve, vr, ce qui détermine Tintensité de ia vitesse relative

Vr = EV.

Quant à sa direction^ c'est la limite des positions de la droite
A'M à mesure qu'on fait décrottre le temps df. C'est donc une
parallèle à EV menée par A.
En achevant le parallélogramme AEVR, on conclut :
Théorème. La vitesse absolue est représentée en grandeur et en
direction par la diagonale d'un parallélogramme dont deux côtés
contigus représentent de même , l'un la vitesse d'entraînement,
l'autre la vitesse relative. En d'autres termes, ia vitesse absolue est
la droite AV qui, partant du mobile, aboutit à l'extrémité d'une
ligne brisée AEV ou ARV, formée de la vitesse d'entraînement et
de la vitesse relative , l'une portée parallèlement à elle-même au
bout de Vautre.

28. Composition de deax Titos8<»s. -* On voit que la vitesse
absolue reste la même , lorsque l'on échange entre Mes la
vitesse d'entraînement et la vitesse relative. C'est pour cela que
ces deux vitesses, dont les grandeurs et les directions contri-
buent géométriquement de la même manière à produire la vi-
tesse absolue, s'appellent les vitesses composantes, ou simplement
les composantes de la vitesse absolue; et cette dernière, consi-
dérée en ses rapports avec les deux autres, s'appelle leur résul-
tante. L'opération par laquelle on trouve la vitesse résultante au
moyen de ses composantes, s'appelle la composition des vitesses.

Remarque. On peut se proposer sur les trois vitesses v, Ve et Vr
et sur les angles qu'elles forment entre elles tous les problèmes
de la trigonométrie rectiligne, et les résoudre, soit par les pro-
cédés graphiques, soit par le calcul.

Si, par exemple, on connaît la vitesse absolue v = AV, la
vitesse d'entraînement t;e = AE, et l'angle qu'elles forment, on
trouve la vitesse relative vr = AR , soit en achevant le triangle
AVE et menant AR parallèle et égal à EV, soit en cpnstruisant

COMPOSITION DE DECX YITESSSS. 37

AR comme diagonale du parallélogramme dont les deux côtés
sont AV, vitesse absolue, et Ae vitesse égale et opposée à la vi-
tesse d'entraînement AE. Pour calculer une des trois vitesses en
fonction des deux autres et de leur angle, on a

V^ =r Ve* ^ Vr* + 2VcVr C08 (Ve, Vf).
Vt^ = !;*-+- Ve* — 2vve COS (v, Ve),
Ve* = V* 4- Vr^ — âvVr COS (v, Vf).

29. Cas particulier. — Lorsque la vitesse d^entratnement
et la vitesse relative coïncident sur une même droite, la vitesse
absolue est égale à leur somme ou à leur différence, selon
qu'elles sont de même sens ou de sens contraires; et dans ce
dernier cas elle a le sens de la plus grande. En d'autres termes,
elle est égale à leur somme algébrique, chaque vitesse ayant le
signe qui convient au sens de sa direction.

50. Exemples. — V Un corps se meut verticalement avec
une vitesse constante u (fig. 9) ; un système invariable se meut
horizontalement et uniformément avec une vitesse u': quelle est,
relativement à ce système , la vitesse v du premier corps ? On
l'obtient en achevant le parallélogramme dont u est la diago<
nale^ et u' un des côtés, ou bien elle est la diagonale du parallé-
logramme dont les côtés sont u et — u',

2» Un cylindre creux ayant un mouvement de rotation connu
autour de son axe projeté en O (fig. 7), on suppose qu'un
point mobile y pénètre en A avec une vitesse absolue repré-
sentée en grandeitr et en direction par AV, tandis que la vitesse
du point A considéré comme appartenant au cylindre est repré<
sentée par la tangente AVe. En achevant le parallélogramme
AVeWr , OU obtient la droite AVr représentant la vitesse rela-
tive avec laquelle le mobile entre au premier instant dans le
cylindre ; sa direction est celle qu'il faudrait donner au premier

38 CintMÀTIQUE. SBCT. I, CHAP. I.

élément d'un tuyau droit ou courbe qui adhérerait au cylindre»
et dans lequel ou voudrait que le mobile s'introduisit sans choc.

51. Composition d'un nombre quelconque de Yitesses« -—

Un point ayant une certaine vitesse relativement à un système
de comparaison, celui-ci peut avoir lui-même un certain mouve-
ment relativement à un autre système également mobile : c'est
ainsi qu'on arrive à considérer une vitesse comme la résultante
d'autant de composantes qu'on veut.

Pour le faire comprendre, posons un exemple de trois vitesses
composantes. Le centre O de la terre (fig. 10) tourne autour du
soleil dans le plan de Técliptique avec une vitesse v'; c'est ce
qui constitue le mouvement annuel du globe. L'axe des pôles OIV,
emporté avec le centre^ se meut parallèlement à lui-même, et si
Ton considère un système de comparaison formé de cet axe
mobile et de l'intersection 0£ des plans de Téquateur et de l'é*
cliplique, laquelle intersection se transporte aussi parallèlement
à elle-même avec la vitesse v' , un point A de la surface de la
terre a, relativement à ce système, un mouvement uniforme de
rotation, ce qui constitue le mouvement diurne du globe. Soit
' v'' la vitesse relative due à cette rotation, vitesse qui dépend de
la latitude du point dont il s'agit. Il s'ensuit que> relativement
au soleil et à l'écliptique, la vitesse te de ce point est la résul-
tante de v\ vitesse d'entraînement, et de v", vitesse relative.

Supposons maintenant qu'un boulet soit lancé, du point dont
nous venons de parler, avec une vitesse apparente v"'. Sa vitesse
absolue v, ou plutôt sa vitesse relativement au soleil et à Téclip-
lique sera la résultante de m, vitesse d'entraînement, et de v''',
vitesse relative. Si Ton connaît les vitesses v\ v'' et v'", on en
conclura aisément V : en construisant une ligne brisée ABGD,
formée de AB, représentant v' en intensité et en direction ; de
B€^ égale et parallèle à iV', et de CD, égale et parallèle à v^^\ on
aura d'abord AG =: te, et ensuite AD, résultante de te, et de v*^^
égaie à v.

COflPOSlTIOK DBS TtTB^SBS. 39

En généralisant ces considérations, on voit ce cpi'il faut en-
tendre par la composition d'un nombre quelconque de viiesses, ou
par une vitesse résultante de plusieurs autres. L'une d'elles étant
prise pour vitesse d'entraînement et une autre pour vitesse re-
lative, on en conclut une vitesse absolue qui , étant prise pour
nouvelle vitesse d'entraînement et combinée avec la troisième
vitesse composante, donne une nouvelle vitesse absolue; eelle-ci,
av'fec une quatrième vitesse composante, donne encore une vi-
tesse absolue qui est la résultante des quatre composantes em<^
ployées ; ainsi de suite. Il est facile de reconnaître d'après cela,
et par suite du numéro 27, la proposition générale que
voici :

TH£0RiHB. La résultante dun nombre quelconque de vitesses
AB, AG^ AD^... AL est en grandeur et en direction une droite
AL^ quif partant de leur origine commune A, aboutit à Vextré^
mité dune ligne brisée ABC,D,.*. L, formée de l'une des vitesses^
pêT exemple AB, et de toutes les autres transportées en BC,,
CjD,^... K|L, parallèlement à eUes-mêmes^ et disposées bout à bout,
en conservant les mêmes longueurs et les mêmes sens. Cette brisée
s'appelle polygone des vitesses.

Par exemple, la vitesse v d'un point dans l'espace est la résul-
tante des vitesses de ses projections coordonnées sur trois axes
concourants; et dans le cas traité au numéro 23, la vitesse v du
point lit dans Tespace est la résultante, i*» de la vitesse relative

-— sur le rayon vecteur OM, 2<^ de la vitesse d'entraînement

JÊM

r cos y — du point considéré comme instantanément fixe en

M sur le plan MOm, pendant que ce plan tourne autour de Oz

avec la vitesse angulaire ~-, et 3* de la vitesse d entraîne-

ment -^r -^. de ce point, considéré comme fixe sur le rayon
dt

40 CINÉKATJQUB. 6BCT. I, CHAP. i.

vecteur OM, pendant que celui-ci se rapproche de O» avec la
vitesse angulaire — ^.

52. Hemartne sur la almoltaBéllé des ▼Itcsscs eomps-
Mantes; et de la vitesse vésultanle. — On dit quelquefois
qu'un point est animé simultanément de plusieurs vitesses ou
possède à la fois plusieurs mouvements. C'est une locution
abrégée qui ne peut être entendue dans le sens rigoureux, car,
à un certain instant, un point n'a réellement qu'un mouvement*
C'est dans la considération des mouvements relatifs qu'on
trouve la véritable interprétation de cette manière de parler.
Ainsi, dans l'exemple du numéro 35, il ne serait pas exact de
dire que ce boulet tourne autour du soleil parallèlement à Té-
cliptique^ en même temps qu'il tourne autour de Taxe des pô-
les, et en même temps encore qu'il quitte son point de <tépart
dans la direction de la bouche à feu. Il aurait le premier mou-
vement s'il était en repos sur la terre et que celle-ci ea mouve-
ment autour du soleil ne tournât pas autour de son axe; il au-
rait le second s'il était immobile sur la terre et que celle-ci
tournât autour de son axe devenu fixe; il aurait le troisième si
la terre était tout à fait immobile.

55. Projection da polyipone des vltessiMi. — On sait que la
propriété caractéristique d'une droite telle que AL, qui ferme
un contour polygonal ABC,D,... L, est que la projection sur un
axe quelconque de cette droite prise dans le sens AL, est égale
à la somme algébrique des projections des côtés pris dans le
sens suivant lequel ils se décrivent à partir de A. Ainsi, F étant
la résultante de plusieurs vitesses v', v", v'" attribuées à un
même point, on a pour un axe Ox et pour un plan directeur,
l'un et l'autre quelconques, la formule

rx= vx'+v/ + v/'-+-... ou Fx = St>x,

DAG0>P06IT10N DBS TITCSSCS. 4i

chaque projection prise avec le signe qui convient à son sens.
Si les projections sont rectangulaires, la formule précédente
devient

V cos (iT, x)= s V cos (v, x) ;

chaque vitesse est positive^ et le cosinus qui la multiplie est
celui de Tangle aigu ou obtus que la direction de la vitesse tait
avee la direction positive de Taxe Ox.

Il s'ensuit que la résultante AL, obtenue par la construction
do polygone des vitesses, ne dépend nullement de Tordre dans
lequel on dispose les composantes, et que par conséquent, dans
la composition de vitesses quelconques, on peut<» sacs rien dian-
. ger à la résultante, prendre celle des composantes qu'on voudra
pour première vitesse d'entraînement^ et mettre à la suite les au-
tres vitesses dans un ordre quelconque.

Si deux vitesses composantes étaient égales et de directions
opposées, elles seraient sans influence sur la résultante, ou^
comme on le dit, elles se détruiraient.

34. Déeoinposltioii des vlteaaes. — - De Téquatiou
on conclut

c'est-à-dire que l'une des vitesses composantes peut s'obtenir
en composant la résultante avec les autres composantes prises
en sens contraires de leurs directions. Par exemple, dans le cas
particulier du numéro 31. la vitesse relative AR est égale à la
résultante de la vitesse absolue AV et d'une vitesse Ae égale et
opposée à la vitesse d'entraînement AE, ce qui est évident à la
simple inspection de la figure.

42 GmtttiTtQDKi ÉttCf . 1^ GHÀP. I.

Il sait de là qu'en général an ne change pas le mounemmtifm
point relativement à un système de comparaison^ si em imprim
par la pensée à celui-ci un second mouvement qui se comlme um
celui qu'il possède, pourvu que l'on compose la vitesse absolue du
point avec une vitesse égale à la nouvelle composante qu'a reçue
sa vitesse d'entraînement. Le cas le plus simple où cette règle
s'applique est celui où l'on réduit à zéro la vitesse d'entraîne-
ment primitive prise négativement.

5K. Composition des ehemlBS élémentaires d'nit pMlni. —

Il arrive souvent qu'au lieu de dire qu'un point a une vitesse t^
dans une certaine direction, ce qui d une signification précise,
on dit qui! parcourt dans un temps d^ un espace infiniment pe-
tit ou chemin élémentaire d^ égal à vàt, ce qui suppose qu'on
fait abstraction de lu, courbure de la trajectoire et de la varia-
tion de la vitesse, comme on peut lé faire quand on n'a pour (^
jet que de èomparer entre elles des( vitesses prises à de certains
instants. A ce point de vue, en nous reportant à la question da
numéro 29, nous remarquerons que le chemin élémentaiW ab-
solu AM ou vdt, peut être considéré comme la diagonale du
parallélogramme dont les côtés contigus sont le chemin AA' ou
vedty dû au mouvement d'entraînement, et le chemin A'M ou
vrd^, dû au mouvement relatif.

En général, quand la vitesse F d'un point se compose de
plusieurs vitesses v\ v", v'"..., on peut exprimer ce fait en disant
que le chemin élémentaire fàt de ce point, pendant le temps àt,
est la droite qui ferme le contour polygonal formé de lignes
égales et parallèles en même sens aux chemins v'dt, v^dt, v'^'dt..,
que le point parcourrait en vertu des vitesses composantes prises
isolément. C'est ce qu'on peut exprimer par la formule suivante,
en supposant dans Tespace un axe de projection Ox et un plan
directeur, l'un et l'autre quelconques :

Fxdl = S lisdi.

«fiTfiODB DB ROiBit AL« . . 43

56. fféthate de Roberral pmuit le iHMé des tmageBitett aux
«ottvbes. — Si une courbe est considérée comme décrite par un
point dont la vitesse loit la résultante de plusieurs autres, il
suffit de connaître les directions et les rapports des vitesses com-
posantes pour en conclure la direction de la tangente. C'est le
principe de la méthode de Roberval, géomètre français du dix-
septième siècle.

Exemples. — I. L'ellipse dont on a un point If (fig. il) et les
deux foyers F et t, étant supposée décrite par une pointe qui
glisse le long du rayon vecteur FM tournant autour de F, soit
MV la vitesse relative suivant le rayon ; la vitesse absolue est
l'hypoténuse inconnue MT du triangle rectangle MVT, dont le
côté VT serait égal à la vitesse d'entratnement du point M, en
vertu de la rotation du rayon vecteur FM. Mais on peut consi-
dérer aussi la courbe comme décrite par une pointe glissant sur
Mf avec la vitesse Mv égale à MV, puisque le second rayon vec-
teur décroît autant que Tautre augmente dans le même temps.
Donc^ l'extrémité de la droite représentant la vitesse absolue de
M est en T^ point de rencontre des deux perpendiculaires VT et
vT aux rayons vecteurs.

Les deux triangles rectangles MVT, MvT étant égaux, il s'en-
suit que la tangente MT à Tellipse est bissectrice de l*ângle vMV
formé par un rayon vecteur et le prolongement de l'autre ; la
normale MN à Peliipse est donc bissectrice d^ Tangle FMff des
deux rayons vecteurs.

II. La même méthode s'appliquerait à la courbe définie par
la condition que, les deux points A et B (Hg. 12) étant fixes>
les deux rayons vecteurs AM et 6M sont dans un rapport con-
stant. La courbe peut être supposée décrite par une pointe tra-
çante qui se meut de M vers A sitr le rayon vecteur AM, avec
une vitesse représentée par la longueur MA, tandis que ce
même rayon vecteur tourne autour de A. Mais la môme courbe
peut être simultanément décrite par une pointe traçante qui se
mouvrait iur le rayon BM avec une vitesse représentée par MB

44 ClNfiHATIQUS. SECT. I, CHAP. I.

(puisque les deux vitesses relatives sur les deux rayons vecteurs
sont proportionnelles aux longueurs de ces rayons, et que l^une
d'elles a été, pour simplifier la figure, représentée par MA). En
raisonnant comme dans l'exemple précédent^ nous voyons que
la vitesse absolue du point décrivant est l'hypoténuse com-
mune des deux triangles rectangles MAT ei MBT; donc, le
point de la tangente est à Tintersection des deux perpendicu-
laires AT et ET f).

m. On trace d'une manière analogue la tangente MT (fig. 13)
à une section conique dont on a un foyer F, une directrice AB
et le point M. Le rapport des distances MX et MF du point M à
la directrice et au foyer étant con&tant^ on voit facilement que
la direction de la vitesse ou de la tangente en M passe en T,
point de rencontre de la directrice AB et de la perpencUculaire
FT, menée par le foyer au rayon vecteur.

REl[ABf^uE. Certains auteurs, en appliquant la méthode de
Roberval à Tellipse, ont cru, par inadvertance, que la vitesse du

{*) On peut être curieux de vérifier que la courbe définie dans rexem-
pie II est une circonférence de cercle, et que la tangente MT est perpendi-
culaire au rayon JHO (fig. 12).

1° Soit BQ perpendiculaire à AB, le point Q étant sur la courbe dont il
s'agit. Menons QO perpendiculaire à AQ et décrivons la circonrérence dont
le centre est O et un rayon OQ. Le point RI quelconque de cette circonfé-
rence satisfait à la propriété énoncée. En effet, les deux triangles rectangles

OO OB

ei semblables QOA et QOB donnent -—— = — -. Or, Oft=0]II; donc,

s= ^— . Donc, les deux triangles MOA et MOB ayant un même angle

OA ORI

compris entre côtés proportionnels, sont semblables. Donc,

Bm OM _ OQ _ Bft
SS"" OA "■ OÂ "" QA'

rapport constant, quelque part que soit le point m sur la circonférence.

à» Démontrons que la droite MT supposée perpendiculaire à OM, et les
droites AT et BT, respectivement perpendiculaires à AJH et à BM, coucou-

M&THODB DM ROBBRVAL. . . 45

point décrivant était la résiritante des deux vitesses relatives
égales MV et Mv, dirigées suivant les deux rayons vecteurs.
Comme ils n'ont tiré da cette supposition fausse qu'une con-
séquence vraie, savoir, que la tangente MT à Tellipse divise
Tangle VMv en deux parties égales, ils ont pu ne pas s'aperce-
voir de leur erreur, qui depuis longtemps a été signalée par
M. Duhamel. Ils l'auraient nécessairement reconnue s'ils avaient
considéré les exemples II et III. Ceci nous donne occasion
d'insister sur ce point : que la saine théorie de la composition
de deux vitesses exige que l'une soit la vitesse relative du point
considéré, dans un système de comparaison de figure invariable
et mobile dans l'espace, et que Tautre soit la vitesse d'entraîne-
ment de ce point hypothéliqueraent attaché au même système
de comparaison.

rent en un même point T. Rapportons ces trois droites aux deux axes rec-
tangulaires Ox et Oy. Soient jl' et y les coordonnées OP et PU du point
n, et posons OAssa, OB= b, et OQ=rr, on remarquant que le triangle
rectangle QOA donne r* = ab,
L*équation de IHT est

«elle de BT

v«-— («-6), m,

«eUe de AT

a "^ x'

y — TT-- («?-«)• PI.

L^élimination de y, soit entre les équations [i] et [S], soit entre [t] et [3],
en égard à la double relation y'^ + x^^ = r* = ab, donne dans les deux
cas ia même valeur a? = a + ^ — â?', ce qui prouve que Tintersection de
BT et de HT coïncide avec celle de AT et de HT.

^usUsÊfoùmaim à mut tH^me. UmAet mr ct^fttst firadkm

CHAPITRE IL

PES B1VSR8 MOUVEMEBiTS p'UM CORPS SWILIDS OU SY^TKBIIK
INVARIABLE.

57. Relation des vitesses de deux p«l9il« 4P«i 1» 4$aitmmtm
est eonstaiite. — Ud système invariable^ que Ton nomme sou-
vent, pour abréger, un solide, est un^nsemble de pottits dent les
distances mutuelles restent les mêmes, quel que soit leur mou-
vement. Une loi générale qui lie entie elles les vitesses de ces
différents points est celle que nous allons signaler.

Seient, à un certain instant, A et A' (flg. 44) les positions de

deux de ces points situés à une distance finie l'un de l'autre et

ayant actuellement les vitesses v et v'. Pendant le temps dt ils

se transportent en B et B\ à des distances infiniment petites, vdt

et v'df,de A et de A'. Projetonajectangulairement la droite BB',

égale à AA'^ sur la direction de cette dernière, en bb^ L'angle

d^ 88' avea AA' étalât infiniment petit, la difiCàrenee entpe les

longueurs W.et hh' est infiaimeat petite par rapport à la plus

grande des distances AA' et BB'. On doit la négliger auprès de

Ab A'b'

celles-ci et poser bb'=z:AA', d'où Ab = AV, ou — == .

^ di dt

Or, ces deux dernières quantités sont les vitesseaides projections

rectangulaires sur AA' des deux points mobiles dont il s'agit.

Ce sont aussi les projectiûna des vitesses v et v' (i9>« Donc,

48 cihématiqub. ncT. i, csap, n.

THÉOKlaiE. Les vitesses de deux points dont la distance est in-
variable ont à chaque instant leurs projmions rectangulaires
égales sur la droite qui^ au même instant^ joint ces deux points.

58. Cas partienller. — Si la droite AA' est normale à la
trajectoire de l'un tles points, la vitesse de ce point a sa projec-
tion nulle sur cette droite, et, quant à Fautre point, il faut de
deux choses l'une : que sa trajectoire soit également perpendi-
culaire à la droite AA', ou que, si elle né Test pas, la vitesse
de ce second point soit actuellement nulle. Exemple : une
droite MM' (tîg. 15) de longueur invariable se meut, Textré-
mité M restant sur la droite AB^ et l'extrémité M' sur AA' per-
pendiculaire à AB : lorsque la t>remière passe en A avec une
vitesse quelconque, la seconde est en A', non en repos, mais
avec une vitesse naile.

59. I^'élaide dn mMvtppent d'un systéate invariable se
réduit à eelle jia monveiiemt d*an triaaoïgle. — Il est facile,
en eSet, de reconnaître que, si Ton assigne à trois pointe qu/ei-
conques non en. ligne droite d'un sjptème invariable un des
mouvements qu'ils peuvent prendre, le mouvement de chacun
des autres points du système est déterminé comme une coasé->
quence de cette hypothèse.

§â.

ciassificàtioiï des houtbhsrts goittinub n'tm ststëhb imrARUBLi.

BELATIONS DES VITESSES BRTRE ELLES DANS CHAQOB dS.

40. Divers mouvements eontinns d'un système Invariable.

— On peut distinguer dans le mouvement d'un solide cinq cas
qu'il est utile d'étudier séparément , savoir :

1° Mouvement simple de translation ;

^ Mouvement simple de rotation autour d'un axe fixe;

MOUVBllSNTS SIMPLES d'cJR fiOUI>£. 49

S^ Mouvement quelconque parallèle à un plan fixe ;

4* Mouvement quelconque de rotation autour d'un point
fixe;

5» Mouvement quelconque composé d'une translation et d'nnp
rotation.

Nous allons les caractériseï; et examiner dans chaque cas la
loi qui lie entre elles les vitesses des différents points du sy-
stème.

MOUVEMENT SIMPLE DE TRANSLATION.

41 . Translation reetUIgne on carviligne. — Dans ce ras^
toutes les droites qu'on peut imaginer entre les points du système
se déplacent^ en restant parallèles à leurs situations initiales. Il
s'ensuit que tous les déplacements simultanés ont des cordes
parallèles et égales, et que tous les points ont, aussi longtemps
que dure la translation eflfective, des vitesses à chaque inçtant
égales, parallèles et de même sens, pouvant d'ailleurs varier
ensemble, dun instant à l'autre, d'intensité et de direction.

Dans le cas particulier où les vitesses égales restent paral-
lèles à une direction constante, le système a un mouvement de
translation rectiligne^ sinon la translation est curviligne. La
translation rectiligne peut être uniforme ou variée. La transla-
tion curviligne peut être circulaire : tous les points du système
décrivent alors des arcs de cercle égaux daqs des plans parallèles.

Il suffit que trois points, non en ligne droite, d'un système in-
variable, aient un mouvement commun de translation pour qu'il
en soit de même de tout le système (39) .r %

MOUVEMENT SIMPLE DE ROTATION AUTOUR d'UN AXE FIXE.

42. Rotmpon simple. Béplacenienl, vitesse, aeeélération
ansniaires. — Lorspue trois points, non en ligne droite, d'un
système invariable/conservent sans changement leurs distances
à deux points fixes de Vespace, il en est de même de tous les

5d CmAlÀTlOUE. SBCT.

autres points du système, ef Toïi dit qu'il tourne autour de l*axè
fixe déterminé par les deux points fixes, ou qu'il a un mouve-
ment de rotation autour de cet axe.

Dans ce cas, tous les points du système se meuvent dans des
plans perpendiculaires à l'axe de rotation; ils y décrivent eu un
même temps des arcs semblables, c'est-à-dire d'un même
^ nombre de degrés^ et par conséquent proportionnels aux di-
stances de ces points à l'axe fixe. Le rapport de chacun de ces
arcs à son rayon s'appelle le déplacement angulaire du système
dans le temps dont il s'agit. Il est numériquement égal à l'arc
décrit pendant ce même temps par un point invariablement lié
au système et situé à l'unité de distance de Taxe.

Les vitesses des différents points du système^ à un même in-
stant, sont par cette raison proportionnelles aux distances de
ces points à l'axe de rotation. Le rapport de chacune de ces
vitesses au rayon de l'arc décrit par le point qui la possède s'ap-
pelle la vitesse angulaire du système, à l'instant dont il s'agit.
Ce rapport est numériquement égal à la vitesse linéaire de tout
point lié invariablement au système et situé à l'unité de di-
stance de l'axe. Il est d'ailleurs indépendant (26) du choix de
l'umté linéaire.

La vitesse angulaire peut être constante, et la rotation est

alors dite uniforme; si la vitesse angulaire w est variable, Ja

dw
quantité —, qui correspond à un instant quelconque et peut

être constante ou variable, est appelée Vaccélératùm angulaire
du système à cet J

itjg|wt

ME^ÛUfiL

MOUVEMENT QUfiLGO^IQiJfi PAllALLÈLE A UN PLAN FIXE.

45. RoMiiejiieiit e^riiadriqu. — On se fait qgfcMée nette
du mouvement d'un solide paralIèlemen^J^n ,]^; en le con-
sidérant comme un mouvement de roulment cyliQdri^Hie.
Imaginons done qu'un système invariable |oit inyàriableni^itf

RÔULBIUIfT CTURDKIOCC. 51

attaché à une surface cylindrique à base quelconque^ qui rouie
sans glisser [*) sur une autre surface cylindrique supposée fixe
et dont les génératrices rectiiignes sont parallèles à celles de la
première. Chaque point du système décrit une ceurbe plAne
dont le plan est perpendiculaire aux génératrices des cylindres.
Si ces deux cylindres sont de révolution et si le point décrivant
est sur la surface cylindrique mobile, la courbe plane qu'il dé-
crit se nomme éjncycMde. Elle est une simple cycloïde lorsque,
le cylindre mobile étant à base circulaire, le cylindre fixe est
remplacé par*un plan. Si la surface cylindrique mobile est rem-
placée par un plan, la courbe plane décrite par un point du sy-
stème, situé dans ce plan, est une développante de la section
droite du cylindre fixe. En général, ce genre de mouvement se
nomme mouvement épicycloidal plan ou roulement cylindrique.
Quelles que soient les sections droites des cylindres, la rela-
tion qui lie entre elles les vitesses des différents points du système
mobile, à un même instant, est facile à apercevoir. En eifet,
remplaçons les cylindres par des prismes inscrits à faces très-
étroites et égales (pour plus de simplicité). Les courbes décrites
dans ce cas par les points du système en mouvement, pendant
un temps très-court; sont des arcs circulaires dont les plans sont
perpendiculaires à l'arête actiiellement commune aux deux pris-
mes et dont les centres so\)t sur cette arête ; et les vitesses de
ces divers points sont proportionnelles aux distances des points
à cette même arête. Ces deux propriétés, étant indépendantes
de la largeur des faces des prismes, subsistent par conséquent à
la limite, c'est-à-dire dans le cas des cylindres. Donc, dans le

{*) ÔD comprend que, par roulement sans glissement dMne surface cylin-
drique sur une avtre qu'elle touche suivant une génératrice, H faut enten-
dre que, si par l'on des t)oials de contact on mène un plairperpeadicalaire
à la génératrice commune , les deux sections droites que ce plan déier«-
mine dans les deux surfaces restent constamment langente9'*'l?4in6àfauire
pendant leur mouvement relatif, et, de plus, le point de contact se déplace
simultanément de longueurs égales sur les deux courbes.

52 CUltHÀTlQUK. SBCT. 1^ CHAP. II.

mouvement épicyoloïdal plan, les directions et les rapiports des
vitesses sont à chaque instant les mêmes que si Taréte de con-
tact des deux cylindres était fixe à partir de cet instant. C'est
ce^pi'on exprime d'une manière abrégée, en disant que le mau"
vemeut élémentaire du système est une rotation autour de ia
génératrice de contact, ou encore, que cette génératrice est un
axe instantané de rotation.

Remarques. — i^ En réalité^ la génératrice de contact des
deux cylindres, à un instant déterminé^ n'est pas fixe. Les points
du cylindre mobile qui, à cet instant, sont sur le cylindre fixe
n'y restent pas pendant un temps fini, quelque petit qu'il soit ;
mais la vitesse de ces points est nulle (ce qui est différent de la
fixité ou du repos ( J 5,2®)), parce que, après s'être rapprochés de la
surface fixe^ ils s'en éloignent immédiatement : ils rebondissent,
pour ainsi dire, sur cette surface, et leur vitesse change de
sens en passant par zéro. L'arête de contact considérée comme
ligne géométrique située sur le cylindre fixe se meut parallèle-
mient à]elle-même; avec une vitesse qui dépend de la rapidité du
mouvement du cylindre mobile.

2* Les arcs décrits, même pendant des temp^ b*ès-courts, par
les divers points du système mobile ne sont pas des arcs de
cercle, ni même des arcs ayant même centre de courbure. Par
exemple, dans le cas le plus simple^ celui d'un cercle roulant
dans son plan sur une droite, les points de la circonférence
décrivent des arcs de cycloïde, tandis que le centre décrit une
ligne droite.

On va voir (4.7) que, réciproquement, lorsqu'un système inva-
riable se déplace parallèlement à un plan fixe, pendant un temps
fini, son mouvement, s'il n'est pas une translation ou itne
rotation effeetive, est un mouvement de roulement cylin«-
drique.

Pour le démontrer, nous établirons deux propositions prépa-
ratoires, et d'ailleurs utiles en elles-mêmes.

ROULBIKNT GYLOIDRIQOB. 53

44. Lor^qn'an système invarUble se déglaee par^llAle-
uàent à un plan, oa peut .toai^^nvs l'amaaev d'oae de ses
positions sveeessives h une antre qneleonqae d'entre elles,
soit par une simple translation» soif par une simple rotar

tîon.— Quelque soit, en effet, le système dans l'espace, il suffit,
pour définir son mouvement, de considérer le déplacement de
sa projection rectangulaire sur le plan fixe- Soient AB, AB'
(fig. 16), les deux positions d'une droite de cette projection,
soit O l'intersection des deux perpendiculaires aO, i»0, sur
AA', BB',en leurs milieux. Les deux triangles AOB, A'OB',dont
les côtés sont égaux chacun à chacun, sont,superposaWes par
une rotation autour de O, qui amènera en même temps (42)
tous les points du système de leur première position à la der^
nière. Si les deux droites AB, A'B' étaient parallèles, O serait à
l'infini, la rotation deviendrait rnie translation. Ainsi, te propo-
sition est démontrée dans tous les cas.

Remarque. — Le déplacement angulaire du système pour
passer de la première à la seconde des positions considérées, est
Tangle des deux perpendiculaires égales menées de O sur AB
et sur A'B', angle égal à celui de ces deux droites.

Il resterait donc le même si, à la deuxième position A'B' du
système, on en substituait une troisième A"B", obtenue par une
translation à partir de la deuxième.

45. Lorsqu'un système inirarlable se traiusporte parallè-
lement ii un plan, son mouvement élémentaire & un Instant
qaeleonque est une translation ou une rotation. — Par cet

énoncé nous entendons que, sauf le cas où, à Finstant dont il
s'agit, les vitesses sont égales et parallèles, elles ont les mêmes
directions et les mêmes rapports entre cIIqs que si le système
tournait effectivement autour d'un axe perpendiculaire au pton
fixe. En effet, soient AA', BB\ CC... (fig. 47) les cordes des
arcs de trajectoires décrits simultanément par les points A, B, C. . ,
<ie la projection du système sur le plan fixe. A mesure que ces

84 Cm&UTIQUS. SBCT. f, COAP. II.

WC8, decourbupt quelconque, diminuent, le point O, commune
intersection des perpendiculaires menées aux milieux des
cordes, approche d'une limite O,^ intersection des normales, en
A^ B, G..., et les rapports des vitesses approchent indéfiniment
de ceux des distances O, A, 0,B, 0,G...

46* Cetttre InstonUuié et axe Instontaiié de rotation. —

Si le mouvement du système était une rotation effective. Taxe
de cette rotation serait la droite dont le point G,, intersection
des normales, est le pied, et cet axe serait fixe pendant toute la
durée de la rotation. Dans tout autre cas, les arcs décrits par
les points A, B, G... n'étant plus circulaires et concentriques,
le point Of et la droite dont il est le pied changent continuelle-
ment de position dans l'espace. On les appelle centre instantané
et axe instantané de rotation.

Le rapport commun, à un instant déterminé, des vitesses de
tous les points du système aux distances de ces points à Taxe
instantané de rotation est^ à cet instant^ la vitesse angulaire du
système.

Les points liés au système mobile qui se trouvent à un certain
instant sur Taxe instantané de rotation ont, à ce môme instant^
une vitesse nulle, sans être en repos. Cet axe, autour duquel le
système ne tourne pas effectivement, serait plus exactement
désigné sous la dénomination d'axe central actuel des vitesses,
que sous celle d'axe instantané de rotation.

Bemariiiie — Il eSt facile de voir que, lorsqu'une figure
plane invariable se déplace dans son plan, pour déterminer son
centre instantané de rotation il suffit de connaître les direc-
tions des vitesses de deux de ses points, pourvu que ces vitesses
ne soient pas perpendiculaires à la droite qui joint les deux
points. Si, au contraire, elles le sont^ il faut connaître leur réip-
port , qui est égal au rapport des distances des deux points au
centre instantané situé sur la droite qui les contient. Ainsi;, si

tt$ YÎtesses V et V des points M et M' soqt perpendiculaires,
dans un même pian, à la droite MM', et si Ton a le rapport

— zi: n, on a, pour déterminer le centre instantané O (fig. 17),

réquâtion

formule générale eu égard aux signes. Le centre instantané une
fois déterminé^ il ne faut plus connaître que la vitesse d'un
point de la figure et sa distance à ce ci»tre, pour en conclure la
vitesse angulaire de là figure, et par suite la vitesse linéaire d^m
quelconque de ses points qui serait donné.

Nous pouvons maintenant démontrer la proposition annoncée
à la fin du numéro 43.

47. T0iii monirement d*«ii solide parallëlenieiit à an jj^lan
est ipénéralement un ronlement oyllndrlqne. — II s'agit de
faire voir que, lorsqu'un système invariable se meut pendant un
certain temps parallèlement à un plan fixe, ce mouvement équi-
vaut au roulement sans glissement d'une surface cylindrique
liée au système, sur une autre surface cylindrique fixe.

Pour le démontrer et reconnaître quelles sont les deux sur-
feces cylindriques roulant Tune sur l'autre, il suffit de contidé
rer une figure plane invariable qui se meut dans son plan. Substi-
tuons à la courbe des centres instantanés de rotation sur ce plan
une suite de points distincts O, O', O", O'"... (fig. \S) que nous
prendrons pour centres de rotations efiectives, et qui pourront
ensuite être rapprochés indéfiniment.

Soit (F) une figure plane quelconque. Supposons qu'elle
tourne actuellement autour du point O et se déplace d'un an-
0e a ; qu'ensuite elle tourne autour de O' et se déplace de «';
qu'emuite elle tourne autour de O" avec un déplacement angu-
laire o'', et ainsi de suite. Avec ces données il est facile de

56 CUIÉMàTIQIIB. ssct. i, chap. ii.

construire le polygone MM'At'H'"..., qui, lié invariablement àta
figure (F) , soit tel qu'en le faisant rouler sur le polygone
OO'O'O'"... on fasse subir à cette figure les mouvements qui
viennent d'-étre exprimés.

Â cet effet, tracez MM' égale à GO' et faisant l'angle M'00'= a;
puis menez MW faisant ang. MMW' = ang. ÔOW, et tracez
M'M" égale à O'O" et faisant ang. M"MW' = d ; menez de
même M'W" faisant ang. M'M"m"' = ang. O'C'O'", et tracez
M"M'" égale à 0"0'" et faisant ang. M"'M'W" = «"; ainsi de
suite.

Non-seulement, pendant le mouvement supposé de la figure
(F), le polygone MM'M^M'"... lié à cette figure roulera sur le
polygone 00'0"0"'...; mais^ si Ton imagine le mouvement du
polygone 00'0"0"'... relativement à la figure (F) prise pour
système de comparaison, on voit que ce polygone OOWO'"...
roule sur le polygone MM'M"M'"...

En considérant les longueurs OO', OO"... comme infiniment
petites, et en étendant à un système dans l'espace ce qui vient
d'être dit d'une figure plane , on conclut que quand un système
invariable se meut parallèlement à un plan^ la droite qui occupe les
positions successives de l'axe instantané de rotation décrit dans
l'espace fixe un cylindre, en même temps qu'elle décrit relative-
ment au système mobile un autre cylindre qui peut être imaginé
roulant sans glissement sur le premier et entraînant avec lui le
système auquel il serait invariablement lié.

HOTATlOiN AUTOUK d'uN POINT FIXE.

48. Roulement conique. — Les considérations des numé-
ros A3 et suivants, se rapportant à un solide qui se meut paral-
lèlement à un plan, s'étendent au mouvement d'un solide dont
les ppints conservent leurs distance^ à un point fixe autour du-
quel ii pirouette. Elles peuvent, comme on va le voir, être re-
produites dans les mêmes termes, avec cette différence que les
surfaces cylindriques sont remplacées par des surfaces coniques

ROeLEHBnT COKIQUfi. . 57

ayant pour sommet le point fixe, et les projections rectangu-
laires sur un plan sont remplacées par des projections coniques
sur une sphère dont le centre est le même point fixe.

Imaginons qu'un système invariable soit invariablement atta-
ché à une surface^ conique de base quelconque^ qui roule sans
glisser sur une autre surface conique, fixe et ayant même som-
met que la première. Chaque point du système se meut sur une
surface sphérique, dont le centre est le sommet commun des
cônes. Dans le cas particulier où les deux surfaces coniques
sont de révolution, ia courbe que décrit un point de la surface
conique mobile se nomme épicycloîde sphérique. En général, ce
genre de mouvement se nomme mouvement épicycloidal spAé'-
rique ou roulement conique.

Quelles que soient les surfaces coniques, la relation qui lie
entre elles les vitesses des différents points du système mobile,
à un même instant, se reconnaît aisément. En efiet, rem-
plaçons les cônes par des pyramides inscrites à faces très-
étroites et égales (pour plus de simplicité). Les courbes décrites
dans ce cas par les points du système en mouvement, pendant
un temps très-court, sont des arcs circulaires dont les plans
sont perpendiculaires à l'arête actuellement, comme aux deux
surfaces pyramidales, et dont les centres sont sur cette arête.
Les vitesses de ces divers points sont donc, quant à leur direc-
tion, perpendiculaires chacune au plan qui contient le point
considéré et l'arêle commune; et, quant à leur grandeur, ces
vitesses sont proportionnelles aux distances des points à cette
même arête. Ces deux propriétés, indépendantes de la gran-
deur des faces des pyramides, subsistent par conséquent dans
le cas des surfaces coniques. Donc, dans le roulement conique,
les directions et les rapports des vitesses sont à chaque instant
les mêmes que si la génératrice de contact des deux surfaces
coniques était fixe à partir de cet instant. Cette droite est donc
encore un axe instantané de rotation.

Les remarques finales du numéro 43 s'appliquent également

58 CINÉMATIQUI» SKT. 1, CI4P. II.

ici. L«s points du système mobile qui sont situés actuellement
sur Taxe instantané de rotation ont leur vitesse nulle. Le som-
met du cône mobile est le seul point de ce système qui soit en
repos. Les points géométriques formant à chaque instant la
droite de contact ou de roulement des deux cônes se déplacent
continuellement, et sur le cône fixe et sur le cône mobile.

Dans ce cas, comme dans celui du roulement cylindrique,
les vitesses à un même instant sont toutes parallèles à un même
plan perpendiculaire à Taxe instantané de rotation, et les vi-
tesses des points situés dans un même ||ian passant par cet axe
sont perpendiculaires à ce dernier plan.

Etablissons maintenant trois théorèmes analogues à ceux des
numéros 44, 45 et 47.

49. Lorsqu'un système luTurlable se déplaee autour d'au
point fixe auquel 11 reste lié, on peut toujours l'aufceuer d'suse
ft une autre de ses positions sueeesslves par une rotation
effective autour d'un axe passant par ce point. — Il suffit, pour
le démontrer, d'appliquer le raisonnement du numéro 44 à la
projection conique du système sur une sphère dont le point fixe
est le centre, les lignes droites de la figure devenant des arcs de
grands cercles.

50. Tout Uiouirement élémentaire d'un système invariable
dont un point est sans vitesse est une rotation instantanée
autour d'un axe passant par ce point. — C'est une consé-
quence de la proposition précédente.

51. Tout mouvement d'un solide autour d'un point fixe
est un roulement conique. — C'est-à-dire que le mouvement fini
d'un système invariable dont un point est fixe se réduit à un ntom-
vement épicycloïdal sphérique. La droite^ qui occupe ksposttiims
successives de taxe instantané de rotation ou des vitesses, décrit
dans t espace un cône fixe, en même temps qu'elle décrit par rap-
port au système mêbile un autre cane, qui peut être imaginé rou-

tant sans glÙHmmt sur le premier, et entraînant avec lui le ly-
etème auquel U serait invariablement lié. La démonstration de
cette proposition serait calquée sur celle du noméro 47, en pre-
nant les points O^ O', 0'\... à une distance constante du centre
fixe de rotation, et en considérant les angles indiqués dans la
figjure comme des angles dièdres.

SS. Analogie du HMHiTememt parallèle A on plaa et du
mouvement autour d'un point* — Le mouvement de roule-
ment cylindrique et toutes ses propriétés ne sont que des cas
particuliers du mouvement de roulement conique, et des pro-
priétés qui s'y rapporten|« Les positions successives de Taxe
instantané de rotation peuvent être, dans le premier de ces deux
mouvements, considérées comme se rencontrant à l'infini.

MOUVEMENT QUELCONQUE COMPOSÉ d'uNE TRANSLATION ET d'ONE ROTATION.

55 « Première image sensible du mouvement le plus géné-
ral d'un système invariable. — Quel que soit le mouvement
d'un système invariable^ si on le considère relativement à des
axfes de comparaison qui soient eux-mêmes mobiles, le mouve-
ment absolu du système, à partir d'un instant pris à volonté, se
trouve composé d'un mouvement d'entraînement (qui est celui
qu'il aurait si, à compter du même instant, il restait lié aux axes
de comparaison), et d^un mouvement relatif.

Appliquons cette idée générale en imaginant que le système
de oomparaison mobile soit simplement en translation com^
mune avec un point choisi du corps ou système principal ; le
mouvement de ce dernier ensemble se compose de cette trans-
lation et d'un pirouettement ou mouvement sphérique autour
du point choisi, puisque ce point est immobile dans le système
de comparaison. En rapprochant cette proposition de celle qui
a été établie au numéro 51, on conclut que

Tout mouvement continu d'un système inva^riable équivaut au
roulement d'un cône lié au système, sur un autre cône qui aurait

60 CmÉHATIQDR. SBGT. I, CBAP. Il,

un mouvement de translation dans Vespace, le premier cône étant
le lieu géométrique, dans le corps en mouvement ^ des axes instan-
tanés de sa rotation autour du point choisi; le second cône étant le
lieu des mêmes axes instantanés dans le système de comparaison en
translation (*).

Par conséijtient , à un instant déterminé^ les vitesses des
points du système sont les résultantes d'une vitesse commune à
une certaine translation ^ et des vitesses dues à une rotation
simple autour d'un axe instantané suivant lequel les deux cônes
se touchent.

L'énoncé qui précède et son corollaire comprennent le cas
particulier où le mouvement relatif du système principal serait
une rotation effective. Le second cône se réduirait alors à la
droite qui serait Taxe de cette rotation, fixe dans le système de
comparaison et se transportant en réalité dan^ l'espace parallè-
lement à lui-même. Ce cas est, à très-peu près, celui du mouve-
ment du globe terrestre relativement à Técliptique considérée
comme immobile.

La décomposition que nous venons d'indiquer d'un mouve^
ment quelconque d'un solide, en une translation et une rota-
tion, peut se feire d'une infinité de manières, puisqu'on peift
prendre, pour déterminer la translation, le mouvement d'un
point quelconque lié invariablement au système solide. L'étude
des diverses décompositions possibles d'un même mouvement
constitue la théorie dont nous allons nous occuper au para-
graphe 3. Auparavant nous présenterons comme exercices
utiles quelques exemples, qui se rapportent au troisième cas de
mouvement traité numéros 43 et suivants.

EXEMPLES DE MOUVEMENT PARALLÈLE A UN PLAN.

54. Droite mobile sur deux eonrhesi. ^^ Deux points B et B'

(') Nous verrons plus loin (69) une autre manière de se lîgurer claire-
ment le mouveinent quelconque d'un système invariable.

DBOITE HOBILB SDR DBUX COUBBBS. 64

(fig. 19), dont la distance est constante, glissent sur deux lignes
BIV et BN', fixes dans un même plan. On demande les rapports
des vitesses des points B^ B', et d*un point quelconque M, inva-
riablement lié à la droite BB'.

L'intersection O des normales €B, C'B' est (50) le centre in-
stantané de rotation du système BMB'. Donc, si v, v' et u sont

V v' u

les vitesses de B, B' et M, on a — = -p- = — ; ce sont

trois expressions de la vitesse angulaire de BMB' autour de O.
Le point M décrit une courbe dont MO est la normale.
Il n'est pas nécessaire de déterminer le centre O (qui peut

être fort éloigné de B et de B') pour obtenir le rapport — ,. De

V v'

— = -p- on conclut, à cause du triangle BOB',

V sin OBB' = v' sin OB'B.

Or, ces deux sinus sont aussi les cosinus des angles de la droite
BB' avec les vitesses v et v' dirigées snivant les tangentes en
B et B'. La dernière équation exprime donc l'égalité des projec-
tions rectangulaires des deux vitesses v et v' sur BB', conformé-
ment au théorème du numéro 37.

55. Droite mobile sar deux eereles. «^ Si les COUrbes

BIV, B'N' sontdes arcs de cercle dont les rayons sont r et r', et
dont les centres sont G et G'; et si w et w' désignent les vitesses
angulaires actuelles des points B et B' autour de ces centres, on
peut se proposer de trouver le rapport de ces deux vitesses an-
gulaires en fonction de lignes de la figure. En appelant a et a'
les angles ci- dessus désignés, et en considérant les perpendicu-
laires CP, G'P' des centres sûr BB\ on a, d'après la dernière
équation,

iw8inar=wVsina', ou w.CP=;w'-C'P', ou w.CI=w'.C'I.

6S CnitHATlQUI. 6ICT. 1^ OLàV. II.

Ainsi, les vitesses angulaires sont réciproques aux «dîstaneês
des centreS) soit à la droite BB^ soit à l'intersection I des droites
ce, BB'.

Celte expression du rapport des deux vitesses angulaires est
applicable^ comme nous le verrons^ à certaines machines.
Lorsque Tintersection 1 est très-éloignée des centres, il est
commode de tracer, par le centre C de Tun des cercles, une
droite CL parallèle au rayon C'B' de l'autre et décrire la rela-
tion

w.CL = w'r\

Lorsque Tintersection de la droite des points tels que B et B'
avec la droite des centres C et C se trouve, comme I, en dehors
de la distance CC', le$ deux rayons CB et C'B' tournent dans le
même sens. Si Ton suppose, au contraire, que les deux points
mobiles sur les deux circonférences soient situés comme B' et b,
de sorte que la droite de longueur invariable soit B'b et ren-
contre cC en 1, les deux rayons C'B' et Cb tournent en sens
contraires, mais la relation précédente entre les deux vitesses
angulaires subsiste. On trouvera aisément, en répétant les méme$
raisonnements et en traçant Ci parallèle à C'B', les deux relations

w'.B'C'z=w.Cl et w.Cl = w'.C'i.

Ces propriétés s'énonceraient dans leâ mêmes termes que
pour le premier cas.

Cet exemple montre bien, 4* que la rotation instantanée de
BB' autour de O' n*est pas une rotation effective, puisque B et
B' tournent réellement autour de C et de C ; 2^^ que le centre
instantané O n'est pas 1« c«ïtre *de courbure des courbes dé-
crites par les points B, B', M.*, du système mobile.

86. Cas particulier au l'un des points B et B' se méat en
Ufl^e dMiliè. ^ AA (flg. ») étant la droite fixe que doit suivre

taCf CLOÏDB BT GTCLOÏ0B. 63

le point B' de la figure BM B' mobile, G le centrlB de la circon-^
' férence sur laquelle se meut le point B, Tinterseetion O de CB
et de B'O, perpendiculaire à AA, est le centre instantané de la
rotation de BB^M . Si v est la vitesse linéaire du point B\ et iv la
vitesse angulaire du rayon GB^ on a^ en menant <^l perpendicu-
laire à AA^ et prolongeant B'B,

V w GB ,, ,
OB' OB '

37. Epieyeioide et eyeioide. — Ces deux coùrbes offrent des
applications évidentes du numéro 43, notamment en ce qui
concerne leur tangente en un point quelconque.

58. BéTeloppante d'une eoarbe quelconque. — Le centre

instantané de rotation de la tangente est au point de contact et
se confond, dans ce cas, avec le centre de courbure de la courbe
décrite par un quelconque des points de la tangente mobile.

89. CoBehoide. — AB (fig. 21) est une droite directrice ; le
point O est fixe; OM, rayon vecteur du point mobile M ; mM,
longueur constante.|L'intersection O' de mO', perpendiculaire à
AB, et de OO', perpendiculaire à OM, est le centre instantané de
rotation de la droite mobile mM, entraînant avec elle le point
qui, actuellement situé en O, a par conséquent sa vitesse suivant
OM. La droite MO' est normale à la courbe.

§3-

COMPOSmOll DES MOUTBHENTS^ BT SP£GULBMENT DBS TITB8SBS

d'un ststèkb hotàriable.

60. Compoftlilan des ▼itesses de iranslatloB. — On sait déjà,
par ce qui précède, que, si un système de comparaison eat en
mouvemeot et qu'Un autre système possède, reiativementau pre-

64 CmtMATlQUB. SECT. 1» CBAP. II.

mier, un mouvement quelconque, le mouvement que le second
système a efiFectivement dans Tespace est dit composé du mouve-
ntsnt du système de comparaison et du mouvement relatif du second
système dans le premier. Nous considérons ici le cas très-simple
de deux translations. Il est facile de voir que^ si tous les points
des axes de comparaison ont des vitesses égales et parallèles v©, et
que le corps ou système considéré ait en tous ses points des vitesses
relatives égales et parallèles Vr, fe mouvement absolu de ce système
est une translation, au moins élémentaire^ dont la vitesse v s'obtient
par la composition des vitesses v^et Vt (29). Ce théorème s'étend
évidemment à un nombre quelconque de translations se rédui-
sant à une translation unique, dont la vitesse s'obtient 'par la
règle du polygone des vitesses (31). ^

61. Composition des vitesses de deux rotations autour
d'axes coneonrants. — Soient deux axes OA', OA" (fig. 22),
qui, avec une troisième droite, par exemple avec la perpendicu-
laire projetée en O, forment un système invariable de comparai-
son. Supposons que son mouvement absolu soit une rotation
effective ou seulement instantanée^ autour de la droite OA',avec
une vitesse angulaire w\ En même temps, un autre assemblage
invariable, que nous appellerons C (et qu'on peut se représen-
ter comme formant un corps solide réel), par son mouvement
relativement au système de comparaison OA'A", tourne autour
de OA" avec une vitesse angulaire W. Le point O, que Ton peut
considérer comme lié au corps C, étant actuellement sans vitesse,
il ^'ensuit (54) que ce corps a un axe instantané de rotation pas-
sant par O ; c'est-à-dire qu'il y a actuellement une droite liée au
corps solide C, dont tous les points ont leurs vitesse's absolues
nulles, tandis que tous les autres points de ce corps ont autour
d'elle une vitesse angulaire commune ii;,. Il s'agit de trouver la
situation actuelle de cet axe de rotation, et de plus l'intensité et
le sens de cette vitesse angulaire w,.
Pour fixer les idées, supposons !• que les longueurs OA', OA"

GOMVOffitTIOH DES ROTATIONS COlfCOOEANTBS. 05

soient proportionnelles aux vitesses angulaires w\ w'\ et les
représentent par conséquent moyennant le choix d'une certaine
unité ; T que te sens de chaque rotation soii tel que^ si un
observateur plaoé en G dirigeait sa vue, tantôt vers A', tantôt
vers A'', il verrait les deux rotations se faire dans le sens où nous
voyons tourner une aiguille d^horloge (c'est le sens que les
astronomes appellent sens direct des rotations, comme celle de
la terre autour d'axes qui, partant de points du système solaire^
se dirigent vers la région céleste où se trouve le pôle boréal ;
c'est encore le sens de la rotation d^une vis ordinaire qu'on
enfonce, etc...)-

D'après ces conventions^ les droites OA', OA" seront les axes
représentatifs des deux rotations (alignement (") des axes, sens
^ grandeurs des vitesses angulaires}.

De plus, pour abréger le langage, supposons que le plan
A'OA" soit horizontal.

On voit d'abord que, pour aucun des points du corps C situé
hors du pian A'OA", la vitesse absolue résultante des deux vites-
ses, l'une d'entraînement autour de OA', l'autre relative autour
de- OA'', ne peut être nulle. C'est donc dans ce (dan qu'est Taxe
instantané cherché. Pour trouvée sa direction et en même temps

(*) Nous oroyoBS utile dMotroduire dans le langage de la science ce root
alignementfdont nous préciàons ici la signification, ainsi que celle de quel*
qoes autres expressions fréquemment employées et se rapportant au même
ordre d'idées :

Deux droites parallèles décrites en même sens, dans Tespace^ ont même
situation angulaire , parce qn*elles font les mêmes angles avec tiols tfies
coordonnés ;

Deux droites limitées, situées sur un même axe indéfini, ont même cUigne'-
ment^ quels que soient leurs origines et le sens dans lequel chacune d'elles
est supposée eng^drée ou décrite ;.

Deux droites de même alignement et de même sens ont une même direc-
ti(m; elles peuvent différer par Torigine et retendue.

Deox droites d^ même alignement et de sens contraires sont direetêmmt
opposées.

66 cm|if4T^9^* wf^l' \fCJ\kf. fi.

la vitesse angulaire i^^|o|ue ^u cprpfi M* i^agiaons ^ïevéer ^ *
partir de G, une droite Oo, verticale, e\ p^ conséquent peipea-
diculaire aux axes OA', OA", et à Taxe cberc^é. Faisons oette
c(roite égale à VujfJLié de loDgpeur;; e^^ en la supposant liée inva-
riablement au corps Cj^ cherchons la vitesse absolue de SQP
extrémité supérieure. Or, ce dernier point a sa vitejnç linéaire
d'entraînemeçit égî|le |^ w' et représentée par Fhorizontale a*',
égale ^t rectangulaire à OA'; il a sa vitesse liné^a^fe , relative
égale à tv'' et représentée par Thorizontale qa", égale et reciaa-
gulaire à Oh". Sa vitesse linéaire abisolue, qui est en pti^e
temps la vitesse angulaire absolue w^ du corps G (puisque ce
point o est à une distance égale à l'unité de Taxe de rotation
cherché, lequel est dans le plan A'OA" et passe par O), çst (ji^nc
représentée par' la diagonale ob. L'axe instants^i^é de rotation
cherché est donc suivant une droite menée da<js le, plan AOA.",
à angle droit sur ob ; et si sur cette droite on porte daçs Panglf^
A'OA", comme l'indique la figure, une longueur OB égale à oi»,
on aura, pour Talignemeçt^ le sens et la grandeur. Taxe repré-
sentatif de la rotation absolue du corps Ç. Nous ça concluons
aisément les propositions suivantes :

Théorème. La droite OB, qui représente, pour la direction et la
grandeur, la rotation résultante w^ de deux rotations concourantes
w', v/-, est la diagonale du parallélogramme A'OA'^B construit
sur les axes représentatifs des rotations composantes.

Corollaire. — Si M est un point quelconque du corpg C, />' sa
distance à Vaxe OA', p" sa distance à l'axe OA", p^ sa àistance à
Vaxe OB, la vitesse absolue du point M, résultante des vitesses
w'p' et 'w"jJ'^ respectivement perpendiculaires aux plans OA'M,
OA"M, est perpendiculaire au plan OBM et. égale à w, /*,, le fac-
teur lu, étant obtenu comme il vient d'être dit,

62. Composition d'un nombre quelconque de rotations

eoncourantes. — Le théorème précédent conduit à la compo-

»tioi| de$ v|te{|S6a angulaiiw d^un iMinbre qualMhque ^a rota-
tion^ autour d'ares concoorania en un m^a pdnW L'axe n^
prhenîatif vf^ 4e Iq n$ia$im résultante ut -ladÊ^ite qui fkme iê
polygone formé des «Mpai nprisevUatifê ée$ rotatiêtutÊomposantes
traxisfortéê parallèlement et haut à bmt^ en eon^ewant kum ttns.
Par suite de c^ttQ reœaïque, et éenforméraent au coroUatve
qi^'on vient de voir, lorsque le mouvement d*un corps résulte

de la composition de plusieurs rotations tv', w'\ autour

d'axes concourants OA', OA",.... si Ton désigne par^', |i"

les distances d'un point M de ce corps aux axes des rotations
composantes^ sa vitesse absolue, résultante des vitesses
vi/p\ tu^'p*', .... respectivement perpendiculaires aux plans
MOA', MOA",.-- est égale àti;,;;,, produit de deijx facteurs dont
Tun est la rotation w^ obtenue par la composition des rotations
ut/j ti/\.., et Tautre est la distance du point M à Taxe OA^, de
la rotation résultante ; de plus, cette vitesse w^p^ est perpen-
diculaire au plan MO A, ; enfin, le sens de cette vitesse e^t
déterminé par celui de l'axe OA,, suivant la convention à^
numéro 60.

65. CompasItioB des vitesses de deux rotatioBs dont les
wk^^a sent parallèles. — Le eorps se mouvant parallèlement à
tout plan perpepdiciilaiie aux deux axes, nous savoivs déjà que
ce corps a un axe instantané de rotation qui est parallèle à ces
derniers (45).

i<> Si les rotations w' et w" sont de même sens , supposons-
les représentées par O'A' et O'^A" (fig. 23). 6omme précédem-
ment, pour bien con>prendre ce qu'on dmi entendre par la€X»n-
position de ces deux rotations, il faut se figurer que les deux
droites C'A' et 0"A" constituent un système invariable de com-
paraison qui tourne autour de Tune d'elles, C'A' p«r exemple,
tandis qu'un corps C tourne «elativement autour de l'autre, il
en résulte que le corps € a actuellement, daas son mouvefnent
absoliA W axe instantané de rotatioa et une vitesse angu-

6S CmteàTIQI». 8BCT. I, OUP. u.

laiiie w^ qu'Q #«gU de trouver. Toutes les vitesses absolues des
points du eofps G^ qui soBt actuellement dans le plan Q^X^A'\
' sont perpendicu(«iret à ce plan comme les deux composantes^
l'une d entitlnement, l'autre relative* Elles sont nulles pour tous
les pokits de la parallèle O^A^ dont les distances a' et a^' aux
deux axes O'A' et C'A'' satisfont à b condition

car le premier membre est une vitesse linéaire descendante,
au-dessous du plan O'A'A''^ le second membre une vitesse ascen-
dante^leur égalité détermine évidemment l'axe instantané O^A,^
dont la vitesse est nulle.

. Pour avoir la vitesse angulaire résultante ou absolue du
corps G autour de Taxe 0,A^, il suffit de remarquer que la
vitesse absolue d*un point quelconque M de ce corps, situé
dans le plan des axes à la distance x de O.A^, est tout à la fois
exprimée w,x et par la somme des deux vitesses composantes
w' (x H- a') et w" {x — a"). On a donc

w^x = «/ (x -H a') + w" (x — a"),

condition qui, eu égard à la relation w'a! = w"a*\ est constam-
ment remplie^ quelle que soit la distance x^ par cette autre
relation :

Wj = w' + w".

Ainsi, raxe représentatif de la rotation rémltante est parallèk
à ceux des rotations composantes; il est égal à leur somme et divise
leur distance en deux parties inversement proportionnelles aux
rotations composantes^

V Si les rotations composantes, dont nous désignons les va-
leurs absolues par w' et w'\ sont de sens contraires, dans l'in-
tervalle de leurs axes C'A' et C'A" (fig. 24) les vitesses compo-
santes sont de même sens; en dehors de cet intervalle et du

COMPOSITiOlV DBS ROTATIONS PARAIXftLBS. 69

côté de la plus petite des deux rotations» Tune des deux vitesses
composantes remporte sur l'autre-, en dehors de Tintervalle et
du côté de la plus grande vitesse angulaire», la vitesse est nulle
pour tous les points du corps C skués sur la parallèle O, A,» si
l'on a

On a d'ailleurs pour un point M, d*après Tobseryation faite au
cas précédent :

w^x = w' (jc — a') — im" (x — a"),

d^où, à cause de v/a' = v/^a'',

w^ = W — w".

Ainsi, l'axe représentatif de la rotatùm résultante est encore
parallèle à ceux des rotations composantes de sens contraires; il est
égal à leur différence; il est situé hors de leur intervalk, du côté
et dans le sens de la plu$ grande, et ses deux distances aux axes
des rotations composantes sont inversement proportionneUes d
celles-ci.

— Si l'on se donne deux rotations parallèles
w' et ti/', et la distance a de leurs axes, on trouvera la distance a'
de Taxe de la rotation résultante w^ à Taxe de la première rota-
tion composante, en remplaçant a'^ dans Péquation w'a' ^zw^a"
par son expression en « et a\ c'est-à-dire en posant :
i<» Quand les composantes sont de même sens,

uT
n/a' =ivf (a— a'), d'où «' = — p- — y a ;
^ w +tur

^'^ Q^and les composantes sont de sens contraires,

wV z=:vf (a + a'), d'où a' == — ; a.

70 tntaâtiQUii. 8Bct. t, tAkf. 11.

64k Ca« fle deux MlatlMis pAHàUèlM èffales et de sèAs
é«mi#idMÉ(. — Les f5rfnalès pf écédenteè âonftèraîènt w, == 6
et *'s22 te . C'est Une solution qu'on poutrait interpréter, mâts
^ull vaot mieux obtenir directement, faut un point quélcon--
que M du corps G (fig. 24) dans le plan O'A'CA'', à la distance
x' de Taxe C'A', on a Ve =î w'x\ vitesse d'entraînement descen-
«dante au-dessous de ce plan^ et vr = tiV' (x' — a), vitesse rela-
tive ascendante; donc la vitesse résultante clu point Bt dans le
sens descendant

V = Ve — Vf ;= w'x' — iiV (x' — a).

Or> on suppose w'z=tu"=iu; donc v=wa constante, quel
que soit lH pour Tinstant dont il s'agit. Le mouvement absolu
ou résultant est donc à cet instaât une translation {>efpendi-
oulàire au plan des axes des vitesses composantes. Là vitesse
linéaire ëe cette translation est égale à la vitesse angulaire
cOmmuAe des deux rotations, multipliée par la distance de leui^
axes» Enflfl^ le sens de cette vitesse est celui de la titëssè d'ufi
des axes considéré comme tournant autour de l'autre, en vertu
de la rotation composante autour de ce dernier.

Uô tel système de deux rotations parallèles égales et de sens
Ôôâtrai^és s'appelle un couple de rotations ; il est équivalent à
uûè translation à chaque itistant perpendiculaire au plan des
deu^ axés, et des propriétés qui viennent d'être démontrées il
résulte que la ti'ânslatîon à laquelle se réduit un couple de
rotations ne change pas, si Ton remplace ce couple par un
autre dont les deux axes de rotation soient dans un plan paral-
lèle à celui des deux premiers, les nouveaux axes pouvant être
tracés suivant des alignements quelconques dans ce second plan,
sous la double condition : 1° qiie^ Tintensité commune des nou-
velles rotations étant w' et la distance de leurs axes étant a',
le produit w'a soit égal au produit analogue wa correspondant
au premier Couplé; 2" que le sens des nouvelles rotations w'

COMPOSITION DBS ROTATIONS PARAJLLÈLBS. 7i

soit choisi (fig. 25) , de manière que le sens de la translation
V ne soit pas changé.

65. Remarque sur l'instantanéité de l'axe de la rotation
réituliante de denx rotations. — Lorsque le mouvement absotti
d'un solide résulte de la composition de deux translations finies,
il est lui-même une translation finie. Mais, sauf le cas d'un cou-
ple, la compositioQ de deux rotations finies, dont les axes con-
courent ou sont parallèles, ne donne lieu qu'à une suite de
rotations instantanées autour d'un axe mobile. Cela résulte de
ce que Taxe instantané de la rotation absolue est à chaque in-
stant dans le plan variable qui contient Taxe fixe de la rotation
du système de comparaison et Taxe de la rotation relative.

l)n exemple va rendre sensible cette observation, en même
temps qu'il confirmera l'idée qu'il faut se faire de la cocpposition
de deux rotations.

IJne droite AB (fig. ^) tourne dans le plan fixe de la figure
avec une vitesse angulaire constante w autour du point A, pen-
dant qu'une autre droite BD à autour du point mobile B une
rotation uniforme w' relativement à AB, de sorte que, lorsque
celle-ci a pris la position AB,, la droite BD a la position B,D,^
faisant avec le prolongement de AB un angle qui est à l'angle

Bf AB dans le rapport constant — . Le point D décrit une

courbe DD,D,,... dont les nornmies passent par les centres
instantanés O, O,^ O,... La vitesse angulaire absolue de BD, dans
ses position^ successives, est constamment w -+- iv' autour dii
centre instantané variable. La vitesse absolue du point D varie
proportionnellemetat aux distances OD, O^b,, O^D,. Enfin, pour
appliquer les considérations du numéro 47, portons, à partir
de B, des longueurs

BM, =B,0,, BM.=.B,0,. BM, = B,0,...,

formant les angles

72 GIlfÉXÀTIQUB. SSCT. I, CHÀP. H.

nous obtenons ainsi la courbe 0]|l,]|l,]II,. . . qui^ en roulant sur la
courbe 00.0,0,..., ferait prendre à la droite BD, entraînée avec
elle, les positions successives B,D,, B.B,, B,D,...; et, à cause

de rinvariabilité du rapport — = ;r-» ces deux courbes sont
^^ w BO

circulaires.

Si les deux rotations w et w' étaient égales et de sens con-
traires, la droite BD se transporterait parallèlement à elle-même,
le point B restant sur la circonférence BB.B,... La vitesse com-
mune à fous les points de cette droite serait w- AB, et à chaque
instant perpendiculaire à là position qu'occupe la droite AB.

66. Compositioii d'une rotation et d'nne translation per-
pendienlaire à Taxe de la rotation. — Le mouvement absoIu
qui, pour un corps C quelconque, résulte de cette composition^
est évidemment parallèle à tout plan perpendiculaire à la rota-
tion, et par conséquent (45) il peut se réduire à une rotation
simple, au moins instantanée, si ce n'est effective ou finie,
autour d'un axe perpendiculaire à ce même plan.

Pour obtenir cet axe instantané et la grandeur de la rotation,
prenons le plan dont nous venons de parler pour celui de la
' figure 27. Soit O le point oii se projette Taxe de la rotation
composante, dont la vitesse angulaire est w. L'axe est supposé
dirigé en avant du plan de la figure, de sorte que le sens de la
rotation est celui de la flèche w. Soit Fz=OV la vitesse de la
translation, de sorte que la composition de cette translation igt
de la rotation w signifie que^ si un système de comparaison est
actuellement en translation avec la vitesse F", Taxe O en repos
dans ce système et entraîné dans son mouvement^ est un axe
de rotation autour duquel tourne, relativement au même système
de comparaison, le corps € avec la vitesse angulaire tv, d'où il
suit que la vitesse absolue v d'un point M de ce corps situé à la
distance r de Taxe O est la résultante de la vitesse d'entraîne-
ment F parallèle à la/direction donnée OV, et de la vitesse iw

coMPOsniON d'crb eotation bt d'une translation... 73

due à la rotation relative w. Or, parmi tous les points M qu'on
peut eonsidéver, il en est dont la vitesse est nuile : tel est le
point 0| qui, situé sur la dioite menée de O perpendiculaire-
ment à OV, en est à une distance x satisfaisant à la condition
wx=z V, Tous les points du corps G ou liés à ce corps, qiii sont
projetés en O^ ^ jouissent de là même propriété de vitesse nulle
et sont par conséquent sur faxe instantané de la rotation de ce
même corps. Quant à la grandeur de cette rotation, ou sa vitesse
angulaire, il suffit de remarquer que, tandis que dans Tespace
absdu, le point O, ^i sans vitesse, le point O y a la vitesse y
perpendiculaire au rayon x; la vitesse angulaire est donc

— ou w (d'après l'équation ci-dessus wx = F), la même que

celle de la rotation donnée autour de O. De. là ce théorème :

Une rotation et une trandation perpendiculaire à Vaxe de la
rotation se composent en une rotation instantanée, unique, égale et
parallèle en même sens à la rotation composante; le plan qui con-
tient Vmxe de la rotation résultante et celui de la rotation compo-
santé est perpendiculaire à la translation, et la situation du nouvel
axe dans ce plan est déterminée par la condition que sa vitesse,
résultant des deux mouvements composants^ soit nulle.

Réciproquement, sansaltératicHi de la liaison des vitesses d'un
systènie solide^ une rotation peut être remplacée par un mouve-
ment composé 1® d^une rotation égale, parallèle en même sens à la
première et d ailleurs située d'une manière quelconque, et 2« une
translation perpendiculaire au plan des deux axes.

En effet, soient O^ Taxe de la rotation unique, w sa vitesse
angulaire» O le nouvel axe^ x la distance quelconque donnée ;
en donnant à la translation F la grandeur wx et la direction due
à l#lK)tation wautour de la rotation O, , on se retrouve exactement
dans les con|||yyon» de la question directe qui précède ; non-
seulement la proposition réciproque est démontrée, mais la
grandeur et la situation angulaire de la translation composante
sont déterminées.

7i tiNi^MÀtiQub. SECt. i, dàkP. n.

Remarque. — On {pourrait établir éette dernière proposition
f^dmme une conséquence de la propriété d*un 5&uplè dte rota-
tions (61). Etant donnée la rotatidn w autour de Taxe O^, intrô-
duisobs dans le «orpé en moutement deux rotations autour de
l'axe O, ayant toutes deux la môme vitesse angulaire w; l'une
de même sens que la rotation' autour de O, l'autre de sens
opposé. Ces deux rotations égales et contraires ne êhangent
rien au mouvement absoln du corps C. Or, la rotation |3rimitive
autour de O, et celle dont Taxe est b et le sens conttiire se
^Imposent (64) en une tftmsrâtion donl la vitesse est ^==wjc,
à laquelle se joint autour de l'axe O pàirallèle à l'axe 6, la rota-
tion égale en même sens à la rotation primitive.

B7. Compèsltloii où rédaction à deux mouvements sim-
l^lès, nu pbint de vue des vitesses, d'un nombre quelconque
de mo«veniênts simples composants d'un système inva-
riable. — Imaginotis qli'un tel système possède dans Tèspace
fixe un mouvemeni; simple (nous appelons ainsi une translation
ou une rotation ^ui petit d'ailleurs n'être qu'instantanée) ; qu'un
second système, qu'on peut supposer coïncidant actuellement
avec le premier, ait, relativement avec celui-ci pris pour sy-
stème de comparaison, un mouvement simple qui, en général,
diffère du premier mouvement relatif; que de même un troi-
sième système ait, relativement au deuxième, un troisième
mouvement simple, et ainsi de suite jusqu'à un dernier système
invariable, qui est pour nous le corps principal C dont il s'agit
de déterminer les vitesses actuelles : c'est ainsi qu'il faut com-
prendre la composition sous le rapport des vitesses, d'un nombre
quelconque de mouvements simples d'un système invariable.
D'après ce qu'on a vu au numéro 33, le résultat cherché est
indépendant de Tordre dans lequel on dispose les mouvements
composants.

Cela posé, une rotation quelconque, priée parmi les mouve-
ments composants peut être (66) remplacée par uîle aufre, égale,

COMPOSITION Ùk ibuiKMENTS SIMl^LfiS QUELCONQUES. 75

parallèle^ de mêihé sens, dont Paxe passe en un point M choisi
à volonté, pourvu qu'à cette rotation substituée et, pour ainsi
dire, transportée parallèlement à elle-tnême, on joigne une
translation qui dépend du choix du nouvel axe de rotation.
Concevons donc que ce déplacement soit fait pour toutes les
rotations composantes du mouvement d'un même corps, de
lùahièrè que tous les axes des rotations respectivement égales et
parallèles qui leur sont substituées passent par un même point HI
lié invariablement au corps. Elles se composent (62) en une
seule rotation indépendante du choix de ce point, quant à sa
vitesse angulaire et à la situation angulaire de son axe. Seule-
ment, ces divers transports dès iaxes de rotation auront donné
Uèu à autant de nouvelles translations (66) qui, se composant
avec les ti*anslations primitives, en donneront aussi uhe seule
(60), et cette translation résultante variera ed grandeur et en
direction, suivant le choix du point M, dont la vitesse absolue
est hécessairelïient celle de la translation unique dont il s'agit,
puisque le point M situé sur Taxe de rotation final n'a aucune
^ftesse dtte à cette rotation. .

En résumé, quels que soient les mouvements simples com-
posants d'un système invariable, ils peuvent toujours se réduire
à une translation commune à un point quelconque lié au sy-
stérile, et à une rotation indépendante du choix de ce point, et
&êùt Taxe représentatif s'oblîeiît, quatit k sa grandeur et à sa
situation àngtilairè, en iransj^rtant les axes représentatifs dès
rotations composantes parallèlement à eux-rnêmes, en une
fôèrhe origine, et en ie6 composant alors en un seul.

68. Axe éentral du nAouvetkiteiit d'nn éorps Invariable. —

Il j a une infinité d^^anières de faire la réduction précédente,
f)uisqu'on peut choisir à volonté le point M dans l'espace en le
Supposant géométriquement lié au corps C.

Parmi cèà diverses décompositions d'un même mouvement,
il en est une (jui se distingue en ce que la translation est parai-

76 CUftMATlQUB. 6BCT. I, CHAP. 11.

lèk à Taxe de la rotation. Pour le démontrer, supposons le
mouvement du corps G réduit, comme nous venons de 1^ dire, à
une translation ayant la vitesse du point M^ et à nne.K>tation
autour d'un axe passant par ce point. Soit (fig. 28) ]lfV=:v
la vitesse de translation, et soit MA =tv Taxe représentatif de h
rotation relative du corps €. L'angle AMV est désigné par a.
Décomposons la vitesse v ou MV en deux vitesses rectangulaires,
l'une v^y parallèle à MA. l'autre v' perpendiculaire. Le mou-
vement instantané du corps € peut dès lors être considéré
comme composé d*une trausialion dont la vitesse commune est
égale et parallèle à v^, et de deax autres mouvements (transla-
tion v' et rotation tu), en vertu desquels le corps C se mouvrait
parallèlement au plan perpendiculaire à MA, dont la trace qnp
le plan de la figure est MV; ainsi, abstraction faite de la trans-
lation V|, nous nous retrouvons dans le cas du numéro 66 et
nous en concluons que les deux autres mouvements équivalent
è une rotation dont la vitesse angulaire reste égale à tu, et dont
Taxe, parallèle à la droite MA avec laquelle se confond sa pro-
jection sur le fjan de la figure, est en arrière de ce plan (cobv
sidéré de manière que MV soit à droite de MA), à une distance x
déterminée par l'équation ti;x = v'z= v sin a>

En tenant compte maintenant de la translation v^ parallèle à
ce nouvel axe comme à MA, nous voyons réalisée^ la propriété
énoncée tout à Theure et que nous reproduisons en disant qii a
un instant quelconque du mouvement le plus général â^un solide,
*on peut décomposer ce mouvement en une rotation instantanée
autour d'un certain axe^ et une translation parallèle à ce même
axe.

C'est ce qu'on exprime par une image sensible, en disant que
toutes les vitesses d'un système invariable en mouvement sont, à un
instant quelconque, les mêmes que s'il était Ué à une certaine vis
se mouvant dans son écrou immobile, cette vis ayant pour axe la
droite dont on vient de voir la détermination. En d'autres termes
encore, les vitesses de tous les points du système, à un instant

AUCUfTKALDUMOUyiOfBNT... 77

qudcooque, sont les mêmes que si, à partir de cet instant, ils
étaient assujettis à décrire des hélices de même pas autour de
cette même droite.

Cet axe remarquable, unique à chaque instant, mais pou-
vant varier avec le temps, s^appelle Vaxe centrai instantané du
mouvement ou Yaxe instantané de rotation et de glissement du
système.

Si Ton cherdie le pas h de la vis fictive ou des hélices dont
il vient d'être question, on peut supposer que le mouvement
hélicoïdal soit uniforme, c'est-à-dire que les quantités v et w
soient constantes ; et en appelant T le temps d'une révolution,
on aura

hj=:vcosa'T, et 2?:= wT, d'où h =

^Tiv cos a

69» Antres propriétés de l'axe central dn mouTement. —

i^ La vitesse due à la translation parallèle à Taxe centrai étant v^,
et la vitesse angulaire autjlur de cet axe étant w, si Ton appelle
u la vitesse absolue d'un point quelconque M situé à une dis*
tance x de Taxe central , cette vitesse u résultante de v^ et de
wxy vinsses rectangulaires, est dans le plan mené par M tan-
gentiellement au cylindre de révolution dont l'axe de figure est
l'axe central et le rayon x. Cette vitesse a sa projection sur l'axe
central égale à la vitesse v^ de la translation commune à tous
les points du système. Sa projection sur un plan perpendiculaire

à l'axe central est égale à wx. Sa valeur u =z l/^v,^ -f- w^jc^
est la même pour tous les points situés à une même distance
de Taxe et augmente avec cette distance. Les points situés sur
Taxe central sont ceux du corps C qui ont actuellement la
moindre vitesse, répcmdant, dans l'expression générale de te,
àx = 0.

â^" Si^ à partir d'un même point K de l'espace, on imagine
menées un nombre quelconque des droites égales et parallèles

aux vitesse d'un égal noq^bre 4e points du ^rffi c àun wHim
instant, les extrémités de ces droites seront toutes dan^ u^
même plan perpendiculaire à Taxe central instaq^né; el^U'oa
abaisse du point K une perpendiculaire sur ce plan, die indi-
quera la grandeur et la direction de la transl^on çommose.
Pour déterminer le pJan dont il s'agit, il suffira de choisir seu-
lement trois vitesses simultanées qui ne soient pas parallèles à
un même' plan. Eu se reportant ensuite aux pointi^ qui possèdent
ces trois vitesses^ et en projetant les uns et les autres rectaqgu-
lairement sur un plan perpendiculaire à la translation ob|enue,
on déterminera sans difficulté la position de Taxe central ou de
rotation et de glissement.

3"* Les points du corps C ou liés à ce corps qui sont à un in-
stant sur l'axe central de son mouvement, peuvent n'y. être pins
à un autre instant ; la position de l'axe central dans l'espace, la
vitesse v^, la vitesse angulaire w, la distance x d'un même point
à l'axe sont en général variables avec le temps.

4® Les notions précédentes comprennent évidemment les
deux cas particuliers d'une translation instantanée simple, et
d'une rotation instantanée simple. Dans le premier la rotation
est nulle ; dans le second c'est la translation. ^:-

70. Seconde imagée sensible du mouvement eontinn d'iu
système invariable. — Nous avons vu (53) que tout mouvement
continu d'un système invariable équivaut au roulement sans glis-
sement d'un cône lié au système, sur un autre cône en translation
dans l'espace.

H faut ajouter ici que ce même mouvement équwaut à célui é^uw
surfofie réglée qui , étant liée au système, touchei^ait continuel-
lement, suivant une génératrice, une autre surface réglée fixe (km
r espace, sur laquelle elle roulerait en glissant à chaque instant h
long de la génératrice de contact des deux surfaces.

En effet, les positions successives dans l'espace, de l'axe ins-
tantané de rotation et de glissement, forment une surface réglée.

Il* IMAGE DU HOUYBlfBNT COKTU^V p'u^ SOUDE. 79

c'est la surface immobile; et les positions de ce raêiçe a?çe in-
stantané, relativement au système ou corps mobile, forment une
autre surface réglée mobilCj» emportant le corps avec elle. A un
instant quelconque, ces deux surfaces ont une génératrice com-
mune p, c'est-à-dire deux génératrices D, et D, qui coïncident,
Fune analijgue à l'axe d'un écrou tixe, l'autre analojgue à l'^xe
d'une vis en mouvement ; et la seconde surface glisse sur la pre-
mière, puisque tous les points de D, ont dans Talig^ément de
D^ la vitesse v. De plus, ces deux surfaces sont tangentes tout
le long de leur génératrice commune; car si nous imaginons sur
la surface réglée mobile une seconde génératrice D', infiniment
procbe de D, et devant coïncider après un temps et avec une
f seconde génératrice D', de la première surface, et si no^^s con-
sidérons sur ces deux droites D', et P', deux points qui vont
coïncider, ces deux points ne peuvent être entre eux, à l'instant
initial de d/, qu'à une distance infiniment petite du second
ordre , sans quoi le parcoures de cette distance pendant le
temps df donnerait lieu à une vitesse transversale finie qui, com-
binée avec la vitesse v longitudinale ou de glissement, produi-
rait une vitesse résultante ayant une différence finie avec cette
vitesse v, chose impossible en un point infiniment proche de D^,
Cette proposition est, comme on le voit, une généralisation
de deux cas particuliers précédemment traités. Si le corps se
meut pendant un temps fini parallèlement à un plan, les sur-
faces réglées deviennent cylindriques (47). Si le corps pirouette
efiFectivement autour d'un point fixe, ces surfaces sont co-
niques (51).

71 . Au p.Qtiit de \ue des vitesses* le inoilvement quelconque
d'un système invariable se déeompose em trois traa«lations
parallèles à trois axes eoneourants, et trois rotations autour
de trois ax.es concourant au même point.— Le mouvement du
solide C peut d'abord se décomposer (53 et 67) en une translation
commune à un point O lié à ce corps, et en une rotation autour

80 CmfiMATIQlIB. SICT. I, CH&P* U.

d'un axe passant par ce point* Soit OV = v la direction et la
giandeur de la vitesse de la translaticHi. Si par O on mène trois
axes, Ojl, Oy, Oz, on peut décomposer OV en trois vitesses
vs9 vy, Vz, qui sont, suivant les axes, les arêtes contiguês d'un
paraliélipipède dont vou OV est la diagonale. Ainsi, la transla-
tioft représentée par OV mi remplacée par trois translatons dont
les vitesses sont égales et paratlèles àvx, vy, vz. Reste à consi*
dérer la rotation autour d'un axe passant par O et représentée
par Faxe OA = w. En menant par O trois axes Ox', Oy', Oa',
qui peuvent en général être différents des trois premiers, on
pourra décomposer OA ou w en trois rotations en wxs wyr, wt',
autour de ces axes^ lesquelles seront les arêtes contigoês suivant
Ox!, oy et Oz', d'un paraliélipipède 4iont w est la diagonale.
C'est ce qui démontre la proposition. En voici le corollaire.
Si, dans le système dont il vient d'être question^Ton considère
un pcrint M dont la distance à Taxe OA soit p et dont les di-
stances aux axes Ox', Oy' et Oz' soient Ç, n' et Ç', la vitesse
absolue du point M, qui est la résultante des deux vitesses v et
pw^ dont la première est parallèle à la vitesse du point O, et la
seconde est perpendiculaire au plan MO A, est aussi la résultante
des six vitesses vx, vy, vz, w»*^', Wyry}', wz'ÇS dont les trois pre-
mières sont parallèles aux axes Ox, Oy, Oz, et les trois autres
sont perpendiculaires aux plans MOik', Moy, ]|IOz\ Ce corol-
laire doit achever de faire bien comprendre la signification du
théorème précédent.

72. Cas où les deux systèmes d'axes eoMfteraiits s«a(
reetansnlaires et se eonfondent.—- Si les trois axes Ox, Oy , Oz,
sont rectangulaires et se confondent avec Ox', Oy, Oz', on a les
trois translations composantes

vx = V cos (v, x), vy = V COS (v, y), Vz = V COS (i), z),

et les trois rotations composantes

Wx = w cos (w, x) , wj = w cos (w, y), Wz =: w cos (w, z).

HOUyBKDIT RELATIF DE DEUX SOLIDES. 81

Si le point G était actuellement sur Taxe central du mouve-
ment du corps, les trois premiers cosinus auraient les mêmes
valeurs absolues que les trois derniers, mais seraient de même
signe ou de signes contraires.

- 75. Déeomposilioii du ehemln élémentaire déerlt par an
qaeleoaqae des points da système InTarlable en moaTemeat.

— La remarque du numéro 35 s'applique à cette question.
Ainsi, le chemin élémentaire absolu du point M se décompose
en^ i« vdt, dû à la translation commune, c'est-à-dire à la vitesse v
du point G pris arbitrairement dans le système, et 2" pwdt, dû
à la rotation du système autour de GA, ou bien il se décom-
pose en trois chemins v^dt, v^dt, vzdi, parallèles aux axes
Gx, Gy, Gb, et trois chemins Wx'i'd^ Wy'yï'^l^ wfÇ'df, dus aux
rotations autour de Gx', Gy', Ga'.

§4.

MOUVEMENT RELATIF, GLISSEMEIiT ET ROULEMENT DE DEUX CORPS SOLIDES.

74. Hoavement relatif de denx eorps oa systèmes lava-

riabies.— Connaissant les mouvements absolus des deux corps,
on peut se proposer de trouver quel est le mouvement de Tun
d'eux relativement à l'autre pris pour système de comparaison.
Cette recherche comporte deux questions, savoir :

i<> La détermination des positions qu'un point quelconque
choisi ou désigné du premier corps occupe relativement au
second, à des instants donnés, positions dont l'ensemble con-
stitue la trajectoire relative à ce point ;

2» La détermination de la vitesse relative d'un tel point dans
une de ses positions successives.

La première question n'est autre que celle qui a été traitée au
numéro 25.

M cmtÊwmgsm. net. i, ou». ■.

. La deuxième est celle dont la solation est indiquée au numéro
34, lorsque la vitesse d'entraînement et la vitesse absolue du
point dont il s'agit sont données. Dans le cas où elles ne seraient
pas immédiatement connues^il faudrait les déduire des données
de la question.

Supposons, par exemple, qu^l s'agisse de deux systèmes dé-
signés par S et S', dont l'un S est animé d'un mouvement
composé d'une rotation représentée par OA (fig. â9), et d'une
translation égale, et parallèle à OV, tandis que le mouvement
du système S' est composé de la rotation O'A' et de la transia*
tion OV. Faisant usage de l'observation du numéro 34, détruisons
les vitesses du système S au moyen d^une rotation OA, et d'une
translation OV, respectivement égales et opposées à OA et à OV.
Dès lors, le mouvement relatif du système S' est composé de deux
translations OV, et O'V, qui se réduisent à une seule égale et
parallèle à 0'\", et des deux rotations OA, et O'A'. Cela étant,
suivant le procédé du numéro 67, nous pourrons réduire le mou-
vement relatif du système S' à une rotation wr résultante de OA,
et de OA', autour d'un axe passant par un point choisi à vo-
lonté, et à une translation vr dont la grandeur et la situation
angulaire dans l'espace dépendront de ce choix. Par suite, la vi-
tesse relative d'un point situé dans le système S', à une distance
p de Taxe de la rotation wr, sera la résultante de vr et de Wrp.

Si l'axe de la rotation Wr est parallèle à la vitesse v, de la
translation, ce sera Taxe central actuel du mouvement relatif du
système S'. Dans le cas contraire, on pourra trouver l'axe cen-
tral, comme il est dit au numéro 68, et obtenir la vitesse de
glissement correspondante.

75. Mouvement relatif de deux eorps qal se touchent en
un point. »— Lorsque deux corps solides, en mouvement relatif,
sont constamment en contact , divers cas sont à distinguer,
suivant qu'ils sont supposés se toucher en un point ou en
plusieurs.

COJfiMQlWT M DBIIX tOUWM. S8

4* S'ils ne 86 toadient qu'en un |KHnl, et que œ point appar-
tenant à la fois aux deux surfacee aoH invariable sur chacune
d'elles, le mouvement de Tun des ocNrp» relativement à l'autre
est évidemment une rotation spbérique autour du point de
oontact.

S^" S'ils se touehent constamment en un point, mais de ma^
nière qu'un point invariable sur Tun des coi^ps vienne succes*-
sivement colneider aveo différents points de la surface de l'autre
corps« il y a entre eux un gimement simple. L'arc oj^ décrit
dans le temps dt, par le point du premier corps, sur la surface

du second, est Varc élémentaire du glissement. Le quotient ~-

est la vitesse de glissement k la fin du temps f ,

30 Si le contact, unique à chaque instant, se déplace sur les
surfaces des deux corps, il convient de considérer sur chaque
surface le lieu géométrique des points qui coïncident sucées*
sivement avec Tautre surface. M et M. (fig. 30), étant les deux
points qui se confondent actuellement, et les deux lieux géomé*
triques étant USi et M^iv,, ces deux courbes sont tangentes en
M ou M«au plan tangent commun aux deux surfaces. En d'autres
termes, chacun a sa tangente dans ce plan. Les deux tangentes
peuvent ou coïncider ou se couper. Or, si les deux lieux géomé-
triques, MlV et M,Nt, du oontact ont à chaque instant la même
tangente^ et si^ de plus, les arcs de ces deux lignes parcourus
ttmultanément par le oontact sont égaux, il y a roulement simple
de chacun des corps sur Tautre. La vitesse du point en contaot
de l'un des corps relativement à l'autre est nulle (43), et par
conséquent le mouvement du premier corps relativement au
second est une rotation instantanée autour d'un axe passant par
le point de contact MM^.

4» Si, les deux lieux géométriques ayant même tangente^ les
arcs eknultanés UN et M^S^ (fig. 3i), ou es et ««,, sont inégaux,
la situation relative des deux corps, à la fin du temps âi, est la
même que si la courbe MN commençait par rouler sans glisser

84 GDVtHÀTIQUB. 8ICT. I^ CHAP. U.

sur M^Nf jusqu'à ce que le point N coîncidftt avec cette se-
conde courbe» et si ensiûte Parc HN se transportait par glisse-
ment en M'N'. Dans ce cas, qu'on peut considérer comme pré-
sentant un roulement et un glissement simultanés dans un même
plan, nous dirons qu'il y a glissement mixte tangentiel. L'arc de
glissement élémentaire pendant diest la différence és^ — ds;ei
attendu que les distances des points N et M ' k la courbe MJi^
sont des infiniment petits du second ordre, l'arc de glissement
<U^ — ûs est égal à la distance NN^ qu*ont au commencement de
dt les deux points qui doivent coïncider à la fin de ce temps, ou
bien encore cet arc de glissement est égal à la distance M^tf
qu'auront à la fin de ct^ les deux points M^ et M qui coïncident
au commencement. Par conséquent, la vitesse de glissement

: , ^ d«, — lU MM' . , . , , .

égale a ' . — ou -—- est précisément la vitesse du

point M de la courbe M^, relativement à l'autre courbe M.N,.
5<» Enfin, si les deux lieux géométriques n'ont pas la même
tangente, il y a glissement mixte angulaire. L'arc de glissement
élémentaire pendant le temps dt est la distance NN^ (fig. 32}
qu'ont au commencement les points N et N« qui coïncideront
à la fin. C'est donc

J/ iU« + ds^^ — 2iUiU. cos a,

l'angle a étant actuellement celui des deux tangentes en M et
en M^. La vitesse de glissement s'exprime par

fonction de l'angle a et des vitesses avec lesquelles le contact
se transporte relativement aux deux corps. Dans ce cas, comme
dans les deux précédents, les deux points N et N. ne sont qu'à
des d'stances infiniment petites du second ordre du plan tan-

GUSSBmiT J>B DBQX SOLIDES. 85

gent en M, et la vitesse de glissement est la vitesse relative du
point M de la courbe MN relativement à la courbe M^IV^.

La demièreformule renferme» comme cas particuliers, les ré-
sultats précédents, suivant qu'on fait — = et — i = ,

ou seulement -^7 = 0, ou a = et — = 47y ou en-

fin seulement a = 0.

76. Moniremeiit relatif de deux eorps qui se toaetaenC en
plusieurs points. — Ce mouvement peut toujours se rame-
ner (74) à ce qui serait le mouvement absolu de Tun des corps
pendant que Tautre serait immobile ; raisonnons donc dans cette
hypothèse, plus simple à concevoir. En tout point de contact, la
vitesse du corps mobile, si elle n'est pas nulle, est évidemment
dirigée dans le plan tangent commun aux deux surfaces. Trois
cas sont alors à distinguer : Tun des corps étant fixe, l'autre
peut être, à un certain instant, en translation simple, ou en
rotation simple, ou en mouvement composé d^une translation
et d'une rotation.

!• Translation simple. — Dans ce cas, toutes les vitesses de
glissement aux points de contact sont égales et parallèles. Les
plans tangents en ces points sont parallèles à la translation.

2» Rotation simple. — Si l'un des points de contact des deux
corps est sur Taxe instantané de rotation du corps mobile, la
vitesse de celui-ci en ce point étant nulle, il y a en ce même point
roulement sans glissement. Si plusieurs points jouissent de cette
propriété , ils sont par conséquent en ligne droite. Si les deux
corps se touchent en des points situés hors de l'axe instantané
de rotation du corps mobile, la vitesse de glissement en un
point de contact, n'étant autre que la vitesse du corps mobile en
ce point, est égale au produit wp de la vitesse angulaire tu de
ce corps, multipliée par la distance ;» du point considéré à Taxe
instantané de rotation.

tS ciMtHànoini* MGT. i« aup. d.

3* MmiBoefmni wmpoté.'^Le corps ayint dans ce cas un axe
central de mouvement, aucun de ses points n*a sa vitesse nulle.
Ceux qui sont sur cet axe sont aussi ceux qui ont la moindre
vitesse, dirigée suivant l'axe. Les points du corps mobile qui
sont en contact avec le corps fixe, et en même temps situés sur
Taxe central^ sont par conséquent en ligne droite et ont la
moindre vitesse du glissement dirigée suivant cette droite. Si
les deux corps se touchent en des points situés hors de Taxe
central, la vitesse de glissement en un point de contact n'étant,
nous le répétons, que la vitesse du corps mobile en ce point,
est la résultante de deux vitesses rectangulaires, savoir : la
vitesse v, due à la translation parallèle à l'axe central, et la vitesse
wp, due à la rotation autour de cet axe.

Nous verrons bientôt des applications importantes de cette
théorie.

CHAPITRE m.

DES MOUVEMENTS SIMULTANES DE PLUSIEURS CORPS SOLIDES
LIES ENTRE EUX DANS LES MACHINES.

ORDRE DES MATIERES DE CE CHAPITRE.

' 77. Après avoir considéré le mouvement en général et spé-
cialement la vitesse, d'abord en un point, puis aux différents
points d'un corps supposé rigoureusement solide, c'est-à-dire
de figure invariable^ nous allons étudier^ sous le rapport des
déplacements simultanés et des vitesses, les assemblages de
plusieurs corps tellement liés entre eux que le mouvement de
l'un d'eux ne peut avoir lieu sans le mouvement des autres.
Nous prendrons nos exemples dans les machines.

78. Hefi machines considérées au point de vue de la ciné-
matique. — Une machine est un corps ou un ensemble de corps
en contact avec un ou plusieurs appuis flxes, et destiné à rece-
voir en quelques-uns de ses points l'action d'un moteur, tandis
que d'autres points dont les vitesses diffèrent généralement de
celles des premiers^ subissent certaines résistances. La dyna-
mique ou science des forces étudie à son point de vue les ma-
chines et calcule les forces qui déterminent leurs mouvements.
Mais la cinématique les considère simplement comme propres à
faire que, étant donnée la loi du mouvement que doit prendre
un certain point d'un corps, un autre point lié au premier suive
dans son mouvement une loi également donnée et qui peut
être différente de la première. C'est ce qu'on exprime en termes

88 CUf<lIATIQI}B. SEGT. I^ CHAP. m.

qu'il ne faut pas interpréler autrement, quand on dit que les
machines sont des appareils propres à transmettre et à transformer
k mouvement.

79. DlTers modes de liaison des eorps dans les maehlaes.

— i® Lorsqu'une machine se réduit à un seul corps mobile en
contact avec des appuis fixes, comme dans le cas du levier ou
du plan incliné^ les questions de cinématique qu'on peut se
proposer ne présentent que des applications immédiates du
chapitre précédent.

S^" Une machine ou une partie de machine peut être formée
de deux corps solides mobiles^ assujettis à divers modes de
liaison dont les cas les plus ordinaires dans la pratique et qu'il
importe d'étudier d'abord sont les trois suivants :

Les deux corps ont chacun un mouvement de translation
rectiligne ;

Ou l'un des corps est en translation rectiligne^ tandis que
Tautre tourne autour d'un axe fixe.

Ou les deux corps tournent chacun autour d'un axe fixe.

Théoriquement^ ce dernier cas comprend les deux autres
comme cas particuliers, puisqu'une translation peut être consi-
dérée comme une rotation autour d'un axe situé à une distance
infinie dn corps dont il s'agit. En conséquence, nous nous occu-
perons d'abord de deux corps solides en contact et tournant
autour de deux axes fixes.

Ces deux axes peuvent être parallèles,

Ou concourir en un point,

Ou n'être pas situés dans un même plan.

De là trois espèces de liaisons à examiner entre deux corps
tournants en contact, en distinguant pour chacune les cas où le
rapport des vitesses est variable du constant.

3° Une machine ou un élément de machine peut consister
en trois corps solides mobiles dont l'un sert de liaison aux deux
autres.

UÀISON DBS CORPS DANS LES MÀGQIIfBS. 89

40 Enfin, il peut entrer dans la composition d'une machine
un corps flexible (corde, courroie^ chaîne) ou un liquide servant
de liaison entre deux corps solides.

C'est dans cet ordre que nous allons traiter les questions de
cinématique qui se rencontrent, ou isolées, ou réunies^ dans les
machines. Nous indiquerons dans la seconde section remploi
qu'on fait de ces considérations théoriques pour réaliser dans
la pratique les divers genres de transformation de mouvement.

§*•

LIAISON DE DEUX CORPS SOLIDES EN CONTACT ET ASSUJETTIS A TOURNER
AUTOUR DE DEUX AXES FIXES PARALLÈLES.

6<NÉRÀLlTfS Sun CE OTJET.

80. Relations des vitesses des deux eorps. — Deux COrps

solides étant en contact et assujettis à ne se mouvoir qu'en tour-
nant respectivement autour de deux axes fixes parallèles, on
peut se proposer et résoudre d'une manière générale cette
question : Trouver le rapport des vitesses angulaires des deux
corps à r instant ou ils occupent une position donnée, et les rela^
tiens de ces vitesses avec celles du glissement relatif de ces deux
corps.

L'intérêt pratique qui s'attache à cette question nous engage
à exposer deux méthodes d'en obtenir la solution : Tune directe
et élémentaire ; l'autre, scientifiquement préférable, qui se déduit
immédiatement de la théorie de la composition des mou-
vements et des considérations énoncées au numéro 76,
cas 2**.

Première méthode. — Soient M et M' (fig. 33) deux points
qui coïncident actuellement ; l'un appartient à un corps tour-
nant autour de l'axe projeté en C^ Tautre à un corps tournant
autour de Taxe G'. Le plan de la figure^ perpendiculaire

90 CmtlIATfQIJI. SBCT. i^ chàp. m.

aux deux axes> passe par le point géométrique où se confondent
M et M'. Soient NMP et N'M'P' les intersections par ce plan des
surfaces qui terminent les deux corps aux environs du contact;
MT est leur tangente commune.

Pendant un temps très-court, les deux corps dont les vitesses
angulaires actuelles sont w et w' se déplacent très-peu, sans
cesser de se toucher. Le point M décrit autour de un petit arc
de cercle MM,, tandis que le point M' décrit l'arc M'M/ autour
de C. A la limite, ces deux arcs peuvent être considérés comme
des droites respectivement perpendiculaires à CM et à G'M'. A la
fin de ce déplacement infinitésimal, le plan tangent en M, à la
surface qui a tourné autour de Taxe € fait un angle intiniment
petit avec sa position initiale^ c'est-à-dire avec le plan tangent
en M ; et puisque les deux courbes roulent en glissant Tune «ur
Tautre, le point M/ n'est qu'à une distance infiniment petite du
second ordre du plan tangent en M,. Donc, la petite droite M^M/
est^ à la limite, parallèle ati plan tangent en M, et par consé-
quent à la tangente TM. Si donc on mène dans le plan de la
figure la normale MI, les trois côtés du triangle infinitésimal
M^MM/ sont respectivement perpendiculaires à MC, à MG' et
à MI. D'ailleurs, ils sont proportionnels aux vitesses ti;-€M^
n/-C'M des points M et M', et à la vitesse de glissement vg des
deux corps. Cela étant, pour former un triangle dont les côtés
soient parallèles à ceux du triangle infinitésimal, on mène IL
parallèle à G'M : on a deux triangles semblables MIL^ MM,M/,
et

MM' MM, M.M' W.MC' w'MG Vg

1 = î=i— î — !■ ou = = — ;

IL ML MI IL ML Ml'

MC' _ CC[ . MG _ CC[
nT ~ iC ® ML '^ IG '

SOUDES fOUMAIIT AOTOCr'd'aXI» PARALLÈLES. dl

donc

IC ~ iC ~]IH~ IC+IC '

donc

wJC = to'.IC' et vg = MI(iv + w').

Ainsi, les deux vitesses angulaires ii; et w' sont réciproquement
proportionnelles aux distances des axes G et €', à l'intersection
de la normale MI avec la droite CC. Elles sont dans le même
rapport que si les deux corps se touchaient en I sur cette droite.
La vitesse de glissement est celle qu'aurait le point M si la nor-
male MI tournait autour du point I avec la vitesse angulaire
w + w'. Cette vitesse est nulle quand le contact est dans le
plan des deux axes, et seulement alors.

Remarquons que la droite MI peut n'être pas la normale
commune aux deux surfaces qui se touchent en A. Mais elle est^
sur le plan de la figure^ la projection rectangulaire de cette nor-
male, qui est, comme MI, perpendiculaire à la tangente MT.
Ainsi, la relation w.IC = w'.IC' peut s'énoncer en disant que
les vitesses angulaires w et w' sont réciproques aux distances des
€uee8 Cet C à la rencontre de la normale avec le plan de ces deux
axes.

. Seconde méthode. — Les deux corps étant situés comme l'in-
dique la figure 33, les rotations autour de C et de G sont de sens
contraires; savoir tv et — w'. Si nous considérons le mouvement
du corps lié à Taxe G et à la courbe NMP^ relativement à l'autre
corps pris pour système de comparaison, nous voyons que ce
mouvement relatif est une rotation instantanée w^ résultante
de w^ rotation absolue de CM et de w\ rotation d'entraînement
prise en sens contraire de — ti/, (34); donc (63) w^ = w-l-w', et
Taxe instantané de cette rotation relative contient tous les
points tels que I qui divisent la distance €C' [en deux parties

92 CmÛlATIQOB. SICT. 1, GlUP. HÏ.

réciproques aux vitesses angulaires w et w'. De plus, la vitesse
de glissement en M, étant aussi la vitesse relative du point M,
est égale au produit MI -tu, ; et cette vitesse étant tout à la fois
dirigée suivant la tangente TM (parce qu*elle est vitesse de glis-
sement), et suivant la perpendiculaire au rayon MI de la rota-
tion relative (parce qu'elle est vitesse relative), il s'ensuit que
la droite MI est normale aux deux courbes IVMP^ N'M'P\

81. Remarques. — i<» La relation tu.IG = niMC' est celle
du numéro 55 trouvée dans une question qui a en effet la plus
grande analogie avec celle dont nous venons de nous occuper.
Pour le reconnaître^ il suffit de considérer les courbes XMP et
N'M'P' (fig.33) comme deux cercles qui, se touchant en M, ont
leurs centres en G et G' sur la normale commune MI. Il est
clair que^ pendant que ces cercles, sans cesser de se toucher^
tournent^ Tun autour de G , Tautre autour de G'^ la distance
GG' reste constante, et par conséquent (55) leurs vitesses an-
gulaires sont dans le rapport inverse des distances GI et G'I.

^ Si^ au lieu de tourner en sens contraires, les deux corps
tournent dans le même sens, les relations précédemment dé-
montrées subsistent eu égard aux signes des quantités qui y
entrent.

Les côtés MM„ MM', et M,M', (fig. 34) du triangle infinité-
simal MM.M', sont proportionnels aux vitesses linéaires wMG,
w'MG', vg, et aux côtés du triangle MLI qui leur sont respecti-
vement perpendiculaires. On a donc

w»MG _ tk/'MC _ vg

ML ~ ""Il im'

Or^ à cause des parallèles MG' et IL, on a aussi

MC_CC[ MC'_GG'

ML ^ IC' ^ IL ~ IC '

donc

SOUDES TOURNAl^T AUTOUR D'àXBS PiJULLÊLI». 93

W'CC _ w'CC _ vg _ iw—w')CC'
iC ~ IC ■" IM ~ iC— IC •

.IC = wMC et vg = (w — w') IM.

Les vitesses angulaires qui, dans ce cas, sont de même sens,
étaient de sens contraire dans le cas de la figure 33, et il en
est de même des distances du point I aux deux centres G et €'.
C'est ce qui explique pourquoi Tune des deux dernières équa-
tions subsiste sans changement^ tandis que l'autre difi'ère de
son analogue par le changement du signe d'une des vitesses an-
gulaires.

On arriverait aux mêmes résultats par la seconde méthode.

82. Cas pArtIealier d'une FOlalion et d'une translation
perpendiculaire à l'axe. — Un des deux corps tourne avec
une vitesse w autour de Taxe G (fig. 35). L'autre a une vitesse
de translation v perpendiculaire à cet axe^ et par conséquent
parallèle au plan de la figure. M et M' sont deux points de ces
corps qui coïncident actuellement ; IVMP et N'M'P', les inter-
sections du plan de la figure avec les surfaces qui terminent les
deux corps. Au bout du temps d^, M et M' sont venus en M « et
M',. On a

MM, = w.CM'At, AA, = vdt, A,M, = Vgd^.

La normale MI, commune aux deux courbes, est perpendicu-
laire à M\M, ; et si Ton mène GI perpendiculaire à la direction
M'M', de la vitesse v^ les deux triangles MGI et M.M'M', sont
semblables; donc

wGM

= — = ^; donc v=:w*Cl, et vg=w MI.

GM GI MI

M ONiMATIQtJB. IICT. 1, OUF. m.

Ces formules se déduisent des relations précédentes

m. CI = w'.C'I et vg = (w -+- W) MI,

en remarquant que, à mesure que Cl augmente, d'une part le
produit w'CJl, vitesse du point I considéré comme lié à la courbe
N'M'P', approche de v, et d'autre part la vitesse angulaire w'
approche de sa limite zéro.

85. Cas partleuller de deax tpanslatloiis. — Par le point
actuel de contact des deux corps, menons un plan parallèle aux
deux translations, qui coupe les deux corps suivant les courbes
NMP, N'M'P' (fig. 36), V et v' étant leurs vitesses, au bout du
temps dt, le point M est venu en M,, à une distance MM. = vdt;
le point M' en M',, à une distance M'M', z= v'dt; les deux points
M, et M\ sont à la limite sur une droite parallèle à la tangente
MT. De là on conclut, en désignant parla seule lettre Tla direc-
tion de cette tangente,

MM, M'M\ M'MV

d'où

gin (t/, T) sin (v, T) sin (v, t/)*

Ces relations sont des conséquences immédiates de la théorie
de la composition des vitesses, Pnne des vitesses i; et v' pou-
vant être considérée comme vitesse d'entraînement, l'autre
comme vitesse absolue, et vg suivant la tangente étant alors
vitesse relative. ^

CAS OU LE RAPPORT DES DEUX ROTATIONS EST CONSTANT. CYLINDRES ROULANTS.
ENGRENAGES.

84. Cylindres ronlants on de frictton. — Deux COrpS de

CTUNDRSS ROULANTS. 95

forme cylindrique à bases circulaires (fig. 37) sont assujettis à ne
se mouvoir qu'en tournant autour de leurs axes fixes et paral-
lèles. Ils sont pressés mutuellement^ de manière qu'ils roulent
sans glisser l'un sur l'autre lorsqu'ils sont mis en mouvement par
un moteur quelconque.

Si r et r' sont leurs rayons, w et w' leurs vitesses angulaires,
la vitesse commune des points en conlact donne immédiate-
ment la relation

Suivant que les cylindres sont extérieurs l'un à l'autre, ou que
le petit est intérieur au grand (qui est alors un cylindre creux),
les rotations w et W sont de sens contraires ou de même sens.

Ce moyen de communication de mouvement n'est propre
qu'à transmettre de légers efforts ou à un emploi accidentel, à
cause des frottements que de grandes pressions occasionnent
entre les deux corps tournants, et leurs appuis.

8â. En^renaspes cylindriques on droits. Engrenage extë*
rieur (fig. 38). Engrenaspe Intérieur (fig. 39). — Dans la plu-
part des cas, les roMe* â! engrenage remplacent avantageusement
les cylindres roulants ; les saillies ou dents dont elles sont ar-
mées et qui se pressent mutuellement déterminent à chaque
instant le rapport des vitesses angulaires des deux arbres sur
lesquels elles sont fixées (80). Le problème à résoudre ici est de
donner, aux dents des deux roues qui engrènent, une figure d'où
il résulte que ce rapport de vitesses soit constant , comme si la
communication de mouvement avait lieu par deux cylindres
roulant sans glissement Tun sur l'autre. Les cercles tangents
entre eux, qui sont les bases de ces cylindres, s'appellent cercles
primitifs^* Leurs rayons proportionnels aux nombres de dents
également espacées des deux roues sont réciproquement pro-
portionnels aux vitesses angulaires ou aux nombres de tours
accomplis dans un même temps.

96 COlAlUTIQini. SBGT. 1, CHàP. ui.

Les dents des engrenages à axes parallèles sont ordinairement
terminées par des surfaces cylindriques dont les génératrices
sont parallèles aux axes de rotation des roues. Il suflSt donc
alors d'étudier la figure des dents dans une section perpendicu-
laire à ces axes ; cette figure des dents est ce qu'on appelle leur
profil.

86. Le profil d'une dent sur une rove est l'enveloppe des
diverses positions qu'une dent de l'autre roue prend relati-

Tenient à la première. — Le mouvement relatif des deux roues
est le même que si Tun des cercles primitifs était fixe, l'autre
roulant, sans glisser, en sens contraire du mouvement qui a
réellement lieu à l'endroit du contact de ces deux cercles. On
voit, d'après cela, que le problème ci-dessus énoncé a théori-
quement une infinité de solutions. Si on ne le considérait
qu'au point de vue géométrique, on pourrait prendre pour la
dent d'une des roues un profil quelconque. Qu'on fasse, en effet,
rouler le cercle primitif de la roue armée de cette dent sur le
cercle primitif de l'autre roue ; la dent donnée prendra diverses
positions auxquelles sera tangent le profil cherché de la dent de
la seconde roue ; il sera leur enveloppe. Mais il est à remarquer
que, dans la pratique, le choix du profil enveloppé ne peut être
tout à fait arbitraire, parce qu'il est nécessaire que la courbe
enveloppe ne présente ni rebroussement ni point multiple.

87. Propriété fondamentale. -> Avant d'aborder les détails
relatifs à la distribution des dents sur leurs roues, à leur nombre,
à leurs dimensions en tous sens, nous allons nous occuper de la
détermination des courbes par lesquelles ces dents se touchent
mutuellement, sans préciser quant à présent les points où elles
se terminent. Ces courbes, que nous désignerons souvent sous le
nom de profils de contact^ doivent toujours satisfaire à une pro-
priété qui découle de la proposition démontrée au numéro 80 :
Pour que les vitesses angulaires soient dans un rapport constant^

ENGRBIVAGBS. 97

il faut et il suffit que la normale commune aux deux courbes en
contact dans une position quelconque passe par le point de contact
des deux cercles primitifs, puisque ce point divise la distance des
centres en segments réciproques aux vitesses angulaires.

88. Premier procédé général pour déterminer les profils
de eonlaet des ensprenages. — Etant donnée la COUrbe mn
(fig. 40) adoptée pour une dent fixée à la roue G (*), on peut trou-
ver celle qui convient à la dent correspondante de l'autre roue G'.

Plaçons la courbe donnée dans une position quelconque rela-
tivement au point A commun aux deux cercles primitifs. Soit
Aa la plus courte distance de A à la courbe mn. Si Ton fait
arc AB' = arc AB, les deux points B et B' doivent coïncider,
quand, en faisant tourner à droite de A les deux roues, ou
rouler à gauche Tune sur Tautre restée fixe, on amène B au
eontact des deux cercles. On a ainsi deux points a et B' de la
courbe cherchée. La droite aA est sa normale en a, et on aura
la normale en B' , si Ton tracé par B' une droite faisant avec le
prolongement du rayon C'B' un angle P'B'N' égal à l'angle CBJV
que la normale en B à mn fait avec le rayon BG.

Pour avoir un point intermédiaire, prenons entre a et B sur
mn un point d et menons la normale dD ; lorsque dD sera la
normale commune aux deux courbes, D coïncidera avec D' dé-
terminé en faisant arc AD' ==; arc AD. Donc, si, prenant D' pour
centre, on décrit un arc de cercle avec le rayon D'd' = Dd, cet
arc sera tangent à la courbe cherchée. Si même on trace D'd'
faisant avec le prolongement du rayon un angle égal à CDd, on
aura en d' le point cherché de la seconde courbe.

On voit aisément comment on obtiendrait des points tels que
e et e' devant coïncider en même temps que les deux points

(*) Afin d'abréger, nous disons la roue C ou le cercle C pour la roue ou le
cercle dont l'axe ou le centre esl C. Quand il y a lieu de désigner plus com-
plètement un cercle, nous disons le cercle CA pour le cercle dont le centre
est C et le rayon CA.

96 CmÉIIATIQIJB. SIGT. I, GHÀP. lU.

E et E' des cercles primitifs, et les deux points ff et f ' qui coïa-
cideront en même temps que F et F'.

Un petit nombre de points ainsi déterminés^ avec la direction
de la normale et par conséquent de la tangente pour chacun
d'eux, fourniraient un bon moyen de solution graphique (*); mais

(*) Ajoutons même que, ce qui serait théoriquement bien préférable, on
leurrait en chaque point déterminé, tel que les pointa a, d', f ,. • • de la
courbe cherchée calculer, le rayon de courbure de cette courbe.

Pour cela appliquons les constructions précédentes à un point «i inGni-
ment voisin Je a sur la courbe nm. La normale ca, en ce point rencontre
la circonférence primitive C en A,; et lorsque^ par le roulement de cette cir-
conférence sur la circonférence €' supposée Kxe, le point A, arrivera en A\
(déterminé par la condition AJk\ =: JUi|), la droite 9k^A^ venue en tk\A\
sera la normale commune aux deux proQls. La rencontre en X des deux nor-
males inflniment voisines Aa et A^at détermine le rayon de courbure aX
de la courbe d'af ^ de même que la rencontre en e des deux normales en a
et en a, à la courbe mn détermine le rayon de courbure ae de cette courbe.
Gehi étant compris, soient

aX = p, acssr^ Aa = n, angle aA€=(p, A€ = i), AC' = i{\

Il s*agit de trouver la relation qui lie ces six quantités.

A cet effet, on remarque que, pendant que la circonférence primitive mo-
bile passe du contact en A au contact en A, avec la circonférence fixe,
toutes les lignes de la figure mobile auront tourné d'un même angle. Ainsi,
A,a| venant en A/a,' aura tourné du même angle que le rayon A«C ve«
nant dans la direction et en prolongement de C'A',.

Or, d'une part l'angle de A,a, avec A.\m\ (extérieur au triangle que ces
droites prolongées formeraient avec eX), est égal à la somme des deux an-
gles AcA, et AXA'j, ce qu'on peut, attendu que AA, égal à AA', est
infiniment petit, exprimer ainsi :

angle (*.•„ A'..'.) = **i^ + êili2il.

D'autre pari, l'angle de A,C avec C'A\ (extérieur au triangle que ces
droites font avec CC), est égal à la somme ACA, -f AC'A',, ce qui se
formule ain^i :

angle (A.C. C'A',) = ^ + ^.

PROFILS DBS BKGaUfÀGBS. 90

si l'on prenait au hasard la première courbe^ on risquerait,
suivant la remarque déjà faite (86), de rencontrer des impossi-
bilités pratiques dont on verra plus loin des exemples.

89. DeaiKlème proeédé général pour déterminer les profils
des emi^renages. Courbes épleyeloldales. -— Soient C et G'
(fig. 41) les centres des deux cercles primitifs. Soit, en outre,
une courbe quelconque TN qui les touche en T. Imaginons que^
le cercle C étant fixe, le cercle G roule sur lui, et qu'en même
temps la courbe TN roule également sans glisser, de manière
que les trois courbes aient continuellement le même point de
contact. Pendant ce roulement, un point quelconque M, qu'on
suppose invariablement lié à la courbe TN et qui peut n'être
pas situé sur cette courbe, décrit sur le plan fixe du cercle G'
une courbe MA'; et en même temps, dans son mouvement re-
latif au cercle G et sur le plan mobile de ce cercle, il décrit une
courbe MA. Ces deux courbes MA' et MA ayant à chaque in-
stant le point commun M, ont aussi en ce point une même nor-
male (43) passant au contact commun T des deux cercles. Si, à
partir d'une position déterminée, telle que celle de la figure
ci-contre, le roulement se fait à gauche, les points des courbes
MA, MA' obtenus seront les points successifs de contact pen-
dant le mouvement des dents à droite autour des centres fixes
G, G'. La disposition relative des deux courbes montre quelle est

En égalant ces deux expressions d*un même déplacement angulaire, on
obtient :

1 1 / l' 1 \

_^_-cos,(— ^ + — )•

Celle formule, qui paraît due à M. Savary, professeur à TEcole poly-
technique de 1831 à 1841, est reproduite par M. Duhamel dans ses Eléments
de ccUcul infinitésimal. Elle servira à trouver le rayon de courbure p en fonc-
tion des quantiiés iî, H', r, n et cos <p. Par exemple, pour calculer le rayon
de courbure au point d* de sa courbe B'af '^ on fera n = D'd' = Dd,
ç = Clld, el r égal au rayon de courbure de la courbe mn au point d.

100 GDfftUTIQini. SKT. I, CBAP. m.

celle des deux roues qui dans ce mouvement doit nécessairement
pousser Ittutre, par exemple, dans le cas de la figure, si le mou-
vement autour de € et €' a lieu dans le sens des flèches, la dent
terminée par MA ne peut que pousser celle que tormine la
courbe MA' : la roue C est mouvante ou conductrice ; la roue
€' est résistante ou conduite. Ce serait tout le contraire si l'on
faisait tourner les roues en sens contraire des flèches. Dans le
premier cas, les surfaces des deux dents MA, MA' se touchent
en M, avant d'arriver à la ligne des centres; dans le second cas,
c'est après y être passées.

Ici s'applique encore la réserve énoncée précédemment (86
et 88) : si Ton donnait aux courbes MA et MA', dont la généra-
tion vient d'être définie^ une trop grande étendue^ il pourrait
s'y trouver des points singuliers qui en rendraient l'emploi im-
possible.

90. Bemarqae. — Les deux procédés indiqués (88 et 89)
ne conduisent pas à des solutions essentiellement distinctes ;
c'est ce qui résulte de la proposition suivante :

Quelle que soit une courbe man (fig. 42) dont les normales
rencontrent une autre courbe MAX, il est toujours possible de
trouver une troisième courbe M'A'N' touchant la deuxième en un
point donné A^ et qui soit telle que, pendant qu'elle roule sur cette
deuxième courbe en entraînant le point », pied de la normale
menée de A sur man, ce point a décrive la courbe man.

En effet, soient bB, cC. .. des normales à la courbe man infini-
ment voisines de aA. Imaginons qu'une ligure quelconque liée
au point a tourne autour de A comme centre instantané, jusqu'à
ce que son point a ait décrit le petit arc ab perpendiculaire
à Aa V que, le point a étant ainsi parvenu en b, la même figure
tourne autour de B, de sorte que son point a décrive le petit
arc bCy ainsi de suite. Donc, la figure invariable, mais mobile,
dont il s'agit décrit par l'un de ses points la courbe man, et elle
a, dans son mouvement, tous ses centres instantanés de rotation

PROFILS DES ENGRENAGES. 101

sur MAIV; ce qui, d'après le numéro 47, permet de conclure la
proposition actuelle (*).

Ainsi, la courbe man quelconque, choisie pour Tapplicalion
du premier procédé, peut toujours être engendrée par le
deuxième.

91. Glissement de deux, dents d'engrenag^e. — Quels que
soient les profils eBaf et e'B'a'f' de deux dents en contact (fig.
40), si Ton appelle n la distance aA du point de contact a au
point A où passe constamment la normale, en désignant par
vg la vitesse actuelle du glissement mutuel des deux courbes^
par V la vitesse linéaire commune des circonférences primitives,
par R et jR' les rayons GA et C'A de ces circonférences, on a
inomédiatement, d'après le numéro 80,

t,«=»t,(i+i).

Ainsi, les deux courbes ne roulent sans glisser Tune sur l'autre
qu'à l'instant où leur contact a lieu sur la ligne des centres,
qu'atteignent simultanément les deux points B et B'. La diffé-
rence des arcs B'a et Ba mesure le glissement total pendant que
les circonférences primitives parcourent les arcs égaux B'A
et BA. La moyenne arithmétique des valeurs extrêmes de la
vitesse de glissement pendant ce parcours est

-^nv

(i+^i-

Ces propriétés géométriques nous serviront plus tard à appré-
cier rinfluence an frottement des engrenages.

(*} Si l'on veut se figurer la détermination graphique de la courbe nnw',
les arcs AB, BC,... étant très-petits, et considérés çomœe reclillgnes, on
construit le triangle B'Aa en faisant AB' s=s AB et aB' = bB^ puis le
triangle C'B'a en faisant B'C = BC et aC == cC, et ainsi de suite.

fOi2 CINÉM ATIQIJK. SBCT. 1, CHAP. III.

9S. Profils de eontaet pratiques des enfpreBages. — Le

problème des engrenages cylindriques a reçu dans la pratique
trois genres de solution distincts.

Première solution pratique. En|[^rena|^e à lanterne on à
fuseaux eyiindriques. — La coupe OU profil des dents d'une
des roues C (fig. 43) est un cercle dont le centre est sur la cir-
conférence primitive. Ces dents prennent le nom de fuseaux,
et la roué s^appelle dans ce cas une lanterne. La figure repré-
sente, non divers fuseaux d'une même roue, mais diverses posi-
tions successives d'un seul et même fuseau. Les roues étant
supposées tourner dans le sens indiqué par les flèches^ la posi-
tion O de Taxe du fuseau est celle où sa circonférence passe
par le point A de contact des cercles primitifs^ le centre O étant
au delà de la droite CC appelée ligne des centres des deux
roues. Dans la position O, le fuseau est au delà de cette ligne
des centres; la position o est une de celles où le fuseau doit
passer avant d'arriver à la position O.

Si l'on veut que la roue C mène Tautre pendant que le fu-
seau passe de O en 0„ il faut qu'elle soit armée d'une dent dont
la courbe soit d'abord comme AB tangente en A au cercle O et
vienne ensuite en A,Bj pour être tangente au cercle O^ au point
B, situé sur la droite 0,A. Le point A, est déterminé par la
condition que l'arc A A, sur le cercle C est égal à Tare OO,, sur
le cercle C, puisque, pendant qu'un point quelconque tel que O
du cercle C décrit Farc OO,, jl faut qu'un point quelconque, par
exemple le point A, du cercle C décrive un arc de même lon-
gueur.

Cet aperçu montre comment on pourrait obtenir autant de
points qu'on voudrait de la courbe AB, en considérant autant de
positions diverses du fuseau au delà de la ligne des centres.
Mais on construit plus simplement cette courbe en faisant usage
du principe posé au numéro 86 : on remarque que le cercle C
qui porte le fuseau, roulant à gauche sur le cercle C, le centre O

PROnU DIS ERatUAGIS CTURIMUQUBS. 403

décrit relativement à celui-ci un are d'épicycloïde CM, d'où il
est facile de conclure la courbe enveloppe AB.

L'exécution graphique de Tépicycloide OM peut se faire
ainsi {*) : O étant pris pour point décrivant^ sur le cercle C
actuellement tangent en A au cercle C, on détermine Torigine N
en faisant Tare AN de même longueur que Tare AO ; puis pour
avoir un point M de Tépicyloïde situé sur un arc donné PM
tracé autour de C, on fait Tare NQ de même longueur que Tare
AP et Ton détermine M par la condition que les distances rec-
tilignes QM et AP soient égales. Non-seulement Téplcycloïde
est ainsi ccmstruite pur points, mais on a en chacun de ces
points tels que M sa normale MQ. On pourra même trouver
pour le point quelconque M son rayo» de courbure MF = P,
«oit par la formule O

P=5:il +

dans laquelle II et m sont les rayons AG et XC, et n est la
distance du point M dont il s'agit au point où la normale coupe
la circonférence, ainsi n = AP ou MQ; soit par une construc-

f) Nous rappelons ici le procédé général pour construire une épicycloïde

On donne : 1« l*origine N de l'épicycloid^ ; » une position quelconque du
cercle générateur C.

Eq fatsaol Tare APW de même longueur que AN, on obtient le point M'.
Supposons qu'on veuille avoir le point H sur Tare circulaire IHP décrit
autour du centre C. Pour Tobtenir on fait : 1« arc IVfk ac arc AP' ou AP;
30 la dislance QM = corde AP, sans décrire le cercle €4 indiqué seule-
ment pour la démonstration.

On pourrait aussi faire arc AQ' = arc AP' et corde NM » Q'P'.

(**) Cette formule se déduit de celle qui termine la note du numéro 8S,
quand on y fait : !• r e= 0, c'est-à-dire qu'on réduit la courbe mn à un

point unique; 2° cos <{> = — , c'est-à-dire que ce point est sur la circon-
8a

férence C.

i04 CniÉMATIQCI. SBCT. I, CHIP. m.

lion graphique consistant à faire SD = AP et à mener D€' ren-
contrant PA prolongé en E, ce qui donne le rayon de courbure
PE qu'on porte de M en F, centre de courbure f).

L'épicycloïde étant supposée tracée, on en conclut la courbe
AB en portant sur ses normales du côté de sa concavité le rayon
du fuseau, de sorte que cette courbe AB et Tépicycloide NM
ont une même développée. Or, on sait que la développée d'une
épicycloîde est une épicycloïde semblable à la première (*}.
Donc, la courbe AB (dont la tangente en A est AT perpendicu-
laire à OA , et déterminée en faisant ST = AO) , a en dedans
du cercle G'^ au>dessous et près de A, un rebroussement situé
sur répicycloïde développée de NM au point dont la distance à
M N est égale au rayon ^u fuseau. Il est évident que le profil
d'une dent ne peut avoir un rebroussement ; ainsi, la courbe
convexe AB et son prolongement intérieur au cercle G' jusqu'au
rebroussement , et non au delà, peuvent seuls former le profil
de la dent qui, fixée sur la roue G', doit pousser le fuseau dans
le sens des flèches. Si le mouvement a lieu dans ce sens, le
contact devra commencer au point de rebroussement géomé-
trique dont nous venons de parler^ un peu avant que le fuseau
prenne la position G (**) ; bientôt le fuseau dépassera la ligne

{*) Voir, à la suite de ce Traité, la note sur les épicycloldes planes.

{**) On peut déterminer très-approximativement la distance entre la ligne
des centres et le point de rebroussement^ origine du profil de la dent, à
Tinstant où commence le contact de cette dent et du fuseau. Soit X{fig. 45)
le point de rebroussement à cet instant. La normale en ce point, commune
à la dent et au fuseau, passe au point de contact A des cercles primitifs et
au centre O du fuseau. La distance OX est tout à la fois le rayon du fuseau
et le rayon de courbure de répicycloïde NO au point O; désignons-la donc
par p. La distance AO est celle qui, dans la formule citée dans le texte^

nft'

P=n +

afl'

est désignée par n, et la distance AX, égale à p — n^ est à très-peu près
la dislance cherchée, parce que Tangle de XO avec la ligne des centres

PROFILS DBS rniGRBNAGVS CTLim>RIQUB8. 105

des centres CC et sera poussé par la partie AB de la dent, exté-
rieure au cercle primitif C.

Supposons maintenant que, le fuseau ayant été poussé jusqu'en
O, par cette courbe transportée en A,B^ , on le fasse rétrogra-
der et pousser à son tour la même courbe de A,B, en AB. Il est
évident que la condition du rapport invariable des vitesses angur
laires, ou du passage constant de la normale commune par le
point de contact primitif A, reste remplie, et qu'elle l'est encore
si Ton continue tant soit peu le mouvement rétrograde jusqu'à
ce que le fuseau touche la courbe en son point de rebrousse-
ment géométrique au-dessous de A. Mais ensuite, si l'on fait
rétrograder encore les deux roues, en conservant le rapport de
leurs vitesses angulaires, le même que si les cercles primitifs
roulaient l'un sur l'autre sans glisser, le contact cessera. Par
exemple, supposons que la courbe liée à la roue G' passe de AB
en ab. Nous trouverons la position correspondante o du fuseau
en faisant Tare Oo égal à Tare A». Or, la figure montre qu'alors
le fuseau ne peut pas mener régulièrement la dent convexe ab,
puisque aucune des normales de celle-ci ne passe au point A; elle
montre d'ailleurs que la courbe AB est entièrement en dehors
et à gauche du fuseau, de sorte qu'elle n'empêche pas le mou-
vement régulier des deux roues.

diffère très-peu d'un angle droit (si dans la ligure il en diffère sensiblement^
ce n*est que parce que la grandeur OX du rayon du fuseau y est exagérée
pour éviter la confusion des lignes). Or, la formule précédente donne

?^:^ ? p d'où ^^-

Tel est le rapport de la distance AX cherchée au rayon p du fuseau.

Suivant qu'on fait

~-=3l, 3, 3, 4,... «,

ou trouve

p — n _l 13 8 1

~ *• î 8' 5'" ï

406 CIHÉMATIQUI. SIGT. I, GBAP. m.

Concluons que, si la lanterne mène l'autre roue, le contact
des fuseaux de la première et des dents de la seconde a lieu
principalement avant la ligne des centras; il finit près et au delà
de cette ligne. Si, au contraire, la lanterne est menée par l'autre
roue^ et c'est le cas ordinaire, le contact a lieu principalement
au delà de la ligne des centres^ en commençant près et en deçà
de cette ligne (*).

95. Deuxième solotion pratique. Engrenages à dente épl-
eycioidaies, — On applique ici la théorie du numéro 89 ; à cet
effet on prend le plus souvenu pour la courbe TIV (fig. 46) la
circonférence dont le diamètre est le rayon TG de l'un des cer-
cles primitifs , et le point décrivant M est pris sur cette même

(*) Pour parler avec plus de précision, supposé que, comme cela doit être
eu général^ le diamèlre de la lanterne soit plus petit que celui de Taulre
rouû, la dislance à la ligne des centres du poiul où commence le contact
(quand la lanterne est menée), est au rayon du fuseau dans un rapport qui

varie de j à - : (voir la note précédente).

Les auteurs qui, à ma connaissance» ont traité de Tengrenage à lanterne,
ont inexactement indiqué la situation du fuseau de la lanterne) à rinstant
où commence son contact avec une dent de l'autre roue.

M. Wiliis, page 76 de ses Prindples ofmechanism, dit que « le pre-
mier contacta lieu lorsque le centre du fuseau atteint la ligne des centres. »

Cette erreur est aussi celle de Le Blanc^ autour d'un ouvrage estimé sur
le dessin des machines.

Leroy, auteur d'uu excellent Traité de géométrie descriptive, adoptant To-
pinion précétiemment émise par Savary, prescrit de borner le proûl courbe
des dénis à la partie extérieure au cercle primitif de la roue, et de pro-
longer ce proOl à rintérieur, suivant la direction du rayon. Il on résulterait
deux conséquences désavantageuses : Tune, que le prolll présenterait un
angle saillant, une arête à la vérité obtuse mais sensible; Tautre, que le
contact ne commencerait que sur la ligne des centres, à Tinsiant où Tori-
gine de la dent atteindrait cette ligne.

Du reste, les erreurs que nous relevons ici n'ont guère qu'un intérêt théo-
rique^ parce que remploi des engrenages à lanterne est généralement et
justement abandonné.

PROyiLS DIS BNGRKJVAGBS CTUNDtlQUBS. 107

circonférence : la courbe MA devient un rayon du cercle C ;
la surface plane MA s'appelle flanc; la courbe MA devient un
arc d'épicycloïde.

Des considérations indiquées au numéro 89 on conclut, l°que,
dans le mouvement des dents vers la ligne des centres (dans le
sens des flèches), le flanc MA de la dent de C, intérieur à son
cercle primitif, pousse ou conduit la face épicycloïdale MA de
la dent de C extérieure à son cercle primitif; 2° qu'au contraire le
flanc MA serait poussé par la face épicycloïdale MA^ si les dents
auxquelles appartiennent ces profils se mouvaient au delà de la
ligne des centres (dans le sens opposé k celui des flèches) ;
3» que, pour que le contact de deux mêmes dents commence
avant la ligne des centres et finisse au delà de cette ligne, il
suflît que chaque dent ait un profil mixte formé d'un flanc inté-
rieur à son cercle primitif et d'une partie épicycloïdale exté-
rieure, engendrée par un cercle dont le diamètre est égal au
rayon du cercle primitif de l'autre roue. Ainsi, par exemple, les
roues C et C tournent de A vers A, et de A vers A/, la dent
MAm de la roue G dans la position de la figure presse par le
point M de son flanc la dent MA'm' de la roue C ; et plus tard
la première dent venue, par exemple, en M,A,m, presse par le
point m, de sa face courbe le flanc do la deuxième dent venue
en M'jAjin,. On voit que pendant le transport des dents, de
Tune à l'autre de ces positions, leur point géométrique àe con-
tact décrit dans l'espace d'abord l'arc MT du cercle CMT, pen-
dant que le flanc de la roue C pousse la face courbe de la roue

(*) Si Ton joint A et m à C par deux droites, les angles TCA et TCM

MJW 3

ont respectivement pour mesure —=7 et -—•; donc, si AT et TRI sont

C7« 1 .^._

- CT

égaux, les angles le sont aussi; les trois points A, M, C sont en ligne
droite.

108 COfftlATIQUB. 8IGT. I, CHÀ?. lU.

€', puis l'arc Tat, du cercle TBi,€', pendant que la face courbe
de la première roue pousse le flanc de la seconde.

Deux roues à flancs intérieurs plans et à courbes épicy-
cloïdales extérieures aux cercles primitifs doivent, d'après la
génération de leurs profils, être faites spécialement Tune pour
l'autre, de sorte qu'une même roue ne peut pas engrener régu-
lièrement avec deux roues de diamètres difiérents. On évite cet
inconvénient pour une série de roues qu'on veut pouvoir faire
engrener avec une même roue, en remplaçant dans les roues de
la série les flancs droits par des courbes : on choisit pour cercle
générateur de ces courbes intérieures et de la courbe extérieure
correspondante de la roue unique un cercle constant dont le
diamètre diffère le moins possible des rayons des roues de la
série.

94. Troisième solntlon pratique. Eni^renaa^es & dévelop-
pantes de eereies. — Cette solution est fondée directement sur
la condition qui veut que la normale commune aux profils des
dents passe constamment par un même point commun aux deux
circonférences primitives. Un caractère remarquable par lequel
elle diffère de la solution précédente^ c'est que la normale com*
mune conserve une position fixe dans Tespace pendant le mou-
vement des deux roues autour de leurs axes respectifs. Soit
TAT' (fig. 47) cette normale commune. On trace les circonfé-
rences dont les rayons sont les perpendiculaires CT, C'T',et Ton
prend pour profil des dents les développantes de ces circonfé-
rences, de sorte que M étant le point actuel de contact, et B
l'origine du profil BMN appartenant à roue C, on a

arc TB = TM et PN = arc PB.

De même, pour l'autre roue,

arc T'B' = T'M et P'N' = arc P'B'.

Il est aisé de voir que, dans quelque sens que tournent Ids

(

PROFILS BBS BNGRBlfAGBS CYURDRIQUBS. J 109

deux roues en se pressant mutuellement^ entre l'instant ob le
point mobile B de la roue G est au point T fixe dans l'espace,
et rinstant où le point B' de la roue G' est au point fixe T', les
deux mêmes courbes se toucheront en un point de la droite TT'
et l'auront pour normale. On voit de plus que, pendant que le
point B parcourra un arc quelconque ayant le rayon GT^ le
point M de contact avancera de la même longueur sur TT'^ et
le point B' de la même quantité sur la circonférence ayant le
rayon G'T', ce qui démontre à posteriori que les vitesses angu-
laires sont réciproques aux distances GT^ G'T' ou aux distances
GA, C'A.

Les avantages spéciaux de ce système d'engrenage sont :
4*» qu'une même roue peut engrener régulièrement avec plu-
sieurs autres de*diamètres différents entre eux; 2<* que, pour
deux roues dentées données, la distance GG' des centres peut
varier entre certaines limites, sans que la régularité de l'engre-
nage soit altérée. Les rayons GT et G'T des circonférences dé-
veloppées restant lés mêmes, ainsi que le rapport des vitesses
angulaires, ce qui change avec GG' c'est la distance

TT' = J/gG'2 — (GT + G'T')a
GT -H G'T'

et l'angle TAG dont le sinus est

GG'

9S. Crénéralltés sur les dents des Fones d'enfi^renage t
nombre» pas, épaisseur, Jen, saillie, lar|çenr. — Chaque dent
d^une roue doit, en général, avoir une forme symétrique par rap-
port au rayon qui passe au milieu de sa base, afin que chacune
des deux roues engrenées puisse mener l'autre de la même ma-
nière, quel que soit le sens de sa rotation.

Quels que soient les profils adoptés, les dents qui arment une
roue d'engrenage, comme celles que nous étudions ici, doivent
évidemment être toutes égales (de même forme), puisque ces
dents doivent tour à tour exercer la même fonction.

110 CINÉMATIQUE. 8ECT. I, GHAP. 10.

Par la môme raison, toutes les dents d'une même roue doivent
être également espacées entre elles. On appelle pas la longueur
obtenue en divisant la circonférence primitive par le nombre
des dents. Il est clair que le pas doit être le même pour deux
roues qui engrènent ensemble. Les nombres de dents de ces
roues sont donc entre eux dans le rapport direct des rayons de
leurs cercles primitifs, et dans le rapport inverse de leurs vitesses
angulaires. Si ces deux nombres entiers JV et iV' sont premiers
entre eux, chaque dent d'une roue touche successivement toutes
les dents de l'autre roue, et deux mêmes dents ne se retrouvent
en contact qu'après que la roue de N dents a fait N' révolutions.
Si N est un multiple de JV\ chaque dent de la grande roue se
retrouve, à chacune de ses révolutions, en contact avec la même
dent de la petite.

La partie du pas d'un engrenage occupée par la dent se
nomme Vépaisseur ou le plein de la dent ; le reste s'appelle le
creux ou le vide. Les dents sont ordinairement d'égale épaisseur
sur les deux roues, si elles sont de la même matière, métal ou
bois ; plus généralement il convient de régler les épaisseurs de
manière que les dents des deux roues soient à peu près égale-
ment résistantes : ainsi, les dents en bois sont plus épaisses que
celles en fonte avec lesquelles elles engrènent. Le creux excède
le plein de la dent qui doit y entrer d'environ 1/15. Cette diffé-
rence, nécessaire pour remédier à l'imperfection de Texécution
des roues, s'appelle /ew.

La saillie des dents en dehors des cercles primitifs se déter-
mine par la condition que, pendant le roulement fictif de ces
deux cercles, il y ait toujours contact au moins d'une paire de
dents, sans quoi il y aurait des chocs et des inégalités dans le
mouvement des deux roues. Cette condition est d'autant plus
facile à remplir que le nombre des dents est plus grand ; et elle
exige, comme on va le voir, qu'il ne soit pas trop petit.

La théorie du frottement dans les engrenages montrera plus
tard de quelle importance il est, sous ce rapport, de multiplier

PROFILS M» BNGRIlfAaBS €TLUfDRlQVBS. lii

les dents. Elle enseignera que, lorsque le contact de deux dents
â lieu jusqu'à une distance notable de la ligne des centres, il
vaut mieux que ce soit au delà qu'en avant de cette ligne.

Afin de conserver aux dents une solidité suflSsante^ malgré
leur petite épaisseur, on leur donne parallèlement à Taxe de
rotation une assez grande dimension qu'on appelle largeur de
la denture, et qui est de quatre à cinq fois Tépaisseur.

•
96. Détails spéelanx sur les engrenages épleyeloldaux. —
Los engrenages dont le protil se compose d'un flanc droit inté-
rieur au cercle primitif el -d'un arc d'épicycloïde extérieure,
donnent lieu à deux cas distincts, selon que les dents de la plus
petite des deux roues sont ou ne sont pas assez nombreuses
pour que le contact puisse commencer à la distance d'un pas
en avant de la ligne des centres et finir à la même distance au
delà de cette même ligne. Dans le cas de TaSirmative, on borne^
comme nous allons l'expliquer, la saillie des dents de manière
à restreindre le contact dans ces limites, entre lesquelles il y a
toujours deux paires de dents en contact, ou, comme on dit^ en
prise.

Premier cas. — La figure 48 présente un exemple de ce pre-
mier cas. A est le point de contact des circonférences primi-
tives A^A,AA,A,..., A'jAA'jA'j... dont les centres non figurés
sont désignés par G et G^ et dont les rayons sont dans le rap-
port de 1 à â. Le nombre de dents de la petite roue est de i5.
Voici le détail des constructions très-simples à faire pour tracer
les profils complets des dents des deux roues.

!« Diviser les deux circonférences primitives en autant de
parties égales qu'il doit y avoir de dents, A étant un des points
de division. On a les points A^, Aj, A^, A,... sur la petite cir-
conférence, les points A',, A'^, A',... sur Tautre. Chacune des
parties des circonférences ainsi divisées est égale au pas, que
nous désignerons par p.
2« Mener les rayons GA,, GA„ G'A'„ G'A'„ et les cordes

112 CWÉKÀTIQUB. 8BCT. I, CHÀP. m.

AAq, AA,, AA'o» AA'^, ce qui détermine les points d'intersec-
tion T„ T„ T^y T\.

3® Tracer les. deux arcs de cercles T,BT,, T',ET', autour du
centre C, et les deux arcs T\B'T'„ T.E'T^^ autour de C\

4* Tracer Tare d'épicycloïde AE et son égal A,T/ qui touche
en T\ le rayon A',C'. Ces épicycloïdes ont pour cercle généra-
teur (93) celui qui a pour diamètre le rayon du cercle primitif
C'A et qui roule sur l'autre cercle primitif CA. Tracer de même
Tare d'épicycloïde AE' et son égal A'^T, qui touche en T, le
rayon CA^ : le cercle générateur a pour diamètre le rayon AG
et roule sur le cercle C'A.

5^ Faire Tare Aa égal à l'épaisseur des dents de la roue C.
Dans la figure les dents sont d'égale épaisseur sur les deux
roues, et cette épaisseur est de 15/31 du pas. Porter cette
môme épaisseur en A,a,, Aa et A!^a!^,

6'' Les points a, a„ a' et a', étant ainsi obtenus, tracer les
épicyloïdes ao et a,e, symétriques de AE et A^T\, et les épicy-
cloïdes a',e'j et a'e' symétriques de A'^^T, et AE'.

Les arcs précédemment tracés (3*) déterminent les troncatures
Ee, T\e^, E'o', T.e'^, qui limitent les saillies des dents, les
points T,, b,, B, b, Tj, où commencent les flancs rectilignes des
dents de la roue C, et les points analogues. T'„ h\, B', b'^, T',,
des dents de la roue C. Dans la situation indiquée par la figure,
il y a contact de trois paires de dents, en T'„ en A et en T,.
Hais cet état est instantané, et immédiatement après il n'y a
plus que deux paires de dents en contact.

7« Les flancs se prolongent vers Tintérieur des roues, soit
simplement en ligne droite jusqu'à la Jante dans laquelle les
dents sont encastrées, soit partie en ligne droite et partie en
courbe de raccordement lorsque les dents en métal font corps
avec la jante. Dans Tune et l'autre disposition l'espace entre les
dents d'une roue doit être suffisant pour y laisser passer, sans
contact, les parties saillantes des dents de l'autre roue.

Deuxième cas. — La figure 49 est un exemple du second cas.

PROFILS DBS ENGRBNAGBS CTURDBIQIIBS. 113

Les diamètres primitifs étant encore dans le rapport de 1 à 3^
la petite roue n*a que 10 dents. Les constructions qui viennent
d'être expliquées s'exécutent encore ici, sauf les modifications
suivantes : les arcs de cercles passant par T^ et T., et par T'^
et T'j, (3* ci-dessus) sont inutiles, et les troncatures Ee et E^e^
sont plus rapprochées du centre C que le point T',, parce que
les épicycloïdes AE et ac, faces d'une même dent, étant suffi-
samment prolongées, ne se rencontrent plus en dehors de la
circonférence CT',; de même les troncatures des dents de la
grande roue sont plus rapprochées du centre C que le point T^.

Amplitude de prise. — Il est intéressant d'étudier, dans le
second cas, à quelle distance de la ligne des centres le contact
des deux dents commence, et à quelle autre distance de cette
ligne le contact des deux mêmes dents finit. Supposons que la
grande roue mène la petite. La dent E'AB', qui actuellement
pousse de gauche à droite celle qu'elle touche en A, a com-
mencé à la toucher lorsque le point qui est maintenant en E de
la petite roue était en e sur la circonférence AeT', dont le dia-
mètre est le rayon C'A du grand cercle primitif. A cet instant
le flanc actuellement en AB' était en ea; ainsi, le point de la
dent B'AE' qui est maintenant en A était en a', et par consé-
quent le point de la dent BAE, qui est aussi actuellement en A,
était en a, obtenu en faisant Aa = \a!. La même dent B'AE
cessera de pousser celle qu'elle touche^ lorsque E' sera en e, sur
la circonférence dont AG est un diamètre, et par conséquent le
point actuellement en A de la dent BAE sera en a,, tandis que
le point A de la dent D'AB' sera en oc\ obtenu en faisant
Aa', = Aa,.

Concluons que, pendant que deux mêmes dents continuent de
se toucher, un point pris sur l'une ou l'autre des deux circon-
férences primitives parcourt un arc égal à «a, ou a'a.\. Cet arc
est ce que j'appellerai, pour abréger, Vamplitude de la prise des
deux roues. En exécutant à grande échelle la figure 49 > on

il4 QIIIÉHÀTIQIIB. SWT. I, CHAP. III.

trouvera que, pour le cas qu'elle représente, le rapport de
l'amplitude de prise au pas *est à peu près 4,70. Plus TampU-
tude de prise approche d'être double du pas^ plus Tengrenage
est près de satisfaire à la condition qu'il y ait toujours deux
paires de dents en contact.

L'exannen de la figuré 49 suffit pour partager la durée du
parcours d'un pas dans les deux roues, en deux périodes, l'une
pendant laquelle deux paires de dents sont en prise, l'autre
pendant laquelle le contact n^a lieu que pour une paire. L ore-
inière période commence à l'instant oti le profil curviligne d'un^
dent de la petite roue arrive, avant la ligne des centres, en œ,
et est poussé au point e par la dent qui lui correspond dans la
grande roue. A ce même instant, il y a contact au delà de la
ligne des centres entre deux dents qui sont en avance d'un pas
sur les deux dont nous venons de parler et ont les origines de
leurs' profils curvilignes en y et /, à une distance, au delà de A^
égale à a,a et à a\a'. Cette période de deux contacts finit
quand les deux profils dont nous venons de parler arrivent en
a^ et en fx\; par conséquent, pendant toute sa durée, un point
de la petite circonférence primitive a parcouru l'arc

ya, = A A, — Ay — a|A„

quantité qu'on peut exprimer en fonction de l'amplitud^ 4^
prise a(X| et du pas AA,, car on a

Ay =: a^a = 2AAj — «a, — «fAi,

d'où, en substituant cette expression dans celle de ya^,

yoCi = «ûç, — AA^.

Dans le cas particulier de roues de 10 et de 20 dents, nous
venons de dire que «a^ est égal à 4,70 AA,. On a donc alors

ya, =0,70AA„

PRoroLs PIS BnGiBMAon ctluduqces. lit

c'est-à-dire que l'arc parcouru pendant la période où deux
paires de dents sont en prise est les 0,70 d'un pas, et par consé-
quent, comme on le vérifierait directement, la seconde période,
où le contact n'existe qu'en une seule paire de dents^ ne dure
que pendant le parcours de 0,30 d'un pas. Ajoutons, que si l'on
porte de A en d et en i' deux arcs égaux à u^A^ , on a en dy et
en S'y' les arcs que parcourent sur les circonférences primi-
tives les profils des dents en contact dans la seconde période.
Aip'^s pendant ce parcours, les roues ne se touchent qu'en une
paire de dents, mais le contact a lieu plus près de la ligne des
centres.

Quelques professeurs^ notamment Savary dans ses leçons à
TEcoIe polytechnique^ et à son exemple Leroi, ont émis l'opinion
qu'on devrait éviter de faire toucher les dents des engrenages
avant leur passage à la ligne des centres. Hais les motifs allégués
supposent dans l'exécution ou dans Tétat d'entretien de ces
dénis des imperfectiona grossières ; aussi, la pratique des con-
structeurs ne tient*elle point compte de cette prohibition. Nous
9von».,dit (95) que^ lorsque le contact de deux dents a lieu à
une distance, notable de la ligne des centres, et surtout avant
l^ur arrivée à cette ligne, le frottement devient plus nuisible
que lorsque cette distance est faible. C'est dans la Mécanique
appliquée^ chapitre du frottement, que doivent se trouver les
développem^ts nécessaires pour éclaircir cette question. Nous
nous bornons à dire ici qu'en général il est b(m de multiplier
assez les dents pour que la plus grande distance du contact à
la ligne des centres ne soit qu'une petite fraction du rayon> et
dans ce cas l'expérience prouve que, pour obvier à l'imperfection
inévitable de l'exécution des dents et à leur déformation par
Tusure, il est utile qu'il y ait constamment deux paires de
den^ts en prise, une après et l'autre avant la ligne des centres.
C'est ce qui se trouve réalisé dans le cas de la figure ^S où
l'une des roues a 15 dents et l'autre 30. Si la plus grande des
deux roues avait plu3 de 30 dents» à plus forte raison sufiirait^il

ii6 CmtVATIQUB. 8BCT. I, CHAP. UI.

que l'autre en eût 15 pour que Tamplitude de la prise fût de
deux pas. Si les deux roues étaient égales, il faudrait qu^elles
eussent chacune au moins 17 dents pour satisfaire à cette con-
dition^ dont on peut d'ailleurs s'écarter un peu sans inconvé-
nient notable.

Il est même certains cas où des motifs tels que la nécessité
de réduire l'espace occupé par un engrenage, portent à diminuer
autant que possible le nombre des dents , sans s'inquiéter
beaucoup de l'économie de la force employée à le mouvoir.
Dans cette hypothèse, la condition qui subsiste est qu'il y ait
toujours une paire de dents en contact pendant que les vitesses
angulaires des deux roues restent dans un rapport constant.
Il faut donc et il suffit alors que l'amplitude de la prise soit un
peu supérieure au pas. Or, un essai graphique facile à vérifier
Constate que, sous cette condition, quand la plus grande des
deux roues a au moins 12 dents, l'autre peut à la rigueur n'en
avoir que 4; et que quand la première a moins de 12 dents,
il est nécessaire et rigoureusement suffisant que Tautre en ait
au moins 5. Hais il est à remarquer que de pareils engrenages
sont beaucoup plus sujets que les autres à se déformer par
l'usure, parce que la vitesse de glissement des dents devient
considérable à l'instant où Tune des dents touche l'autre vers
son extrémité (91), ce qui fait qu'après un certain temps de
service les pointes des dents s'effilent, tandis que leurs flancs
se creusent dans leur partie la plus rapprochée du centre, et le
mouvement des deux roues perd la propriété du rapport con-
stant de leurs vitesses angulaires. Sans doute le même genre
d'usure a lieu dans les engrenages dont les dents sont assez
nombreuses pour que Tamplitude de prise soit de deux pas ;
mais cette usure est beaucoup moindre, parce que, à l'instant
où une paire de dents est en contact à une distance de la ligne
des centres qui rend leur glissement considérable, à ce même
instant une autre paire de dents est en contact près de la ligne
des centres sans glissement sensible et par conséquent aussi

PROFOS DBS ENGEENAGBS CTLDIDUQDBS. 117

sans usure notable. Cette circonstance impose évidemment une
limite à Fusure des pointes.

97. Détails spéciaux sur les engrenaf^es ft développantes
de cercles. — Les deux cas mentionnés à l'article précédent
sont encore ici à distinguer.

Premier cas. — La figure 50 donne un exemple du premier
cas. La plus petite roue a 20 dents, Tautre 28. G et G' sont
leurs centres, et A le point de contact des circonférences
primitives. Voici le détail des constructions à faire pour tracer
les profils complets des deux roues.

1® Diviser les deux circonférences primitives en autant de
parties égales qu'il doit y avoir de dents, A étant un des points
de division. On a les points A^, A„ A,,, A,... sur la petite
circonférence GA ; les points A'^, A',, A',,, A', sur la circonfé-
rence G' A.

2° Mener les cordes A^A et AA, sous-tendant deux pas de
la petite roue. Prolonger ces cordes en ÎV et IV' sur la grande
circonférence, en s'assurant que les arcs satisfont à la condition

AN = AN' =z AA^ — . La droite N'A, est le lieu des contacts

des dents, dans Thypothèse que la grande roue mène la petite
de gauche à droite.

S*» Tracer autour des centres G et G' les deux circonférences
tangentes en T„ T, T'^, T', aux droites A^N, A,N'. C'est sur
elles que se trouvent les naissances des profils do contact des
dents.

4*» Mener la circonférence G'T^ passant par T et déterminant
les troncatures des dents de la roue G'. Mener les rayons A',G'
et A'jG' rencontrant les cordes AN' et AN en K, et K. Décrire
la circonférence GK, passant par K et déterminant les tronca-
tures des dents de la roue G.

5*» Construire les courbes BAE, BjA.E,, B,A,E,, qui, passant
par les points A , A, , A, , sont des développantes du cercle

118 CWiBÀTIQCB. SICT. I, CBAP. 01.

CTO, •^ tournent leur convexité en sens contraire du mouve-
ment, la roue G étant supposée menée.

6*» Porter de A et de A, dans le sens du mouvement les
épaisseurs Aaet A^a, égales à 15/31 du pas.

7<> Construire les développantes bae^ ^|A,e„ symétriques de
BAE, B,A,E,.

8<^ Faire pour la roue C les opérations analogues à celles qui
viennent d'être indiquées (5», 6<», V)y ce qui donne les courbes
B'AE', B'.A'.E',, b;a',E', et leurs symétriques b'aV, b»'^.

9^ Prolonger les courbes vers l'intérieur et les raccorder de
manière à ménager entre deux dents d'une roue Tespace nëcéS*
saire pour laisser passer sans contact les parties saillantes des
dents do l'autre roue.

Aemarqne. — Un examen attentif de la figure fera recon-
nattre que l'amplitude de la prise des deux roues y excède
quelque peu deux pas,

Deuxième cas. — La figure 31 est un exemple du second casf
dans rbypothèsû où la petite roue n'a que 10 dents> l'autre
en ayant 20. C et C' sont leurs centres, CA et C'A leurs rayons
primitifs, AA, et AA\ des arcs égaux au pas* Les constructions
propres à obtenir les profils diffèrent en quelques détails de ce
qu'elles sont dans le premier cas.

La première chose à faire est de déterminer la droite AT Heu

(*) Uo cercle CT élaut donné, pour coDstruire sa développante passant
pour un point donné A sur la tangente AT, on prend une ouverture de
compas qui ne soit pas plus grande que 1/6 du rayon ; on la porte à partir
de A versT d'abord sur la tangente, puis à la suite on porte une dernière
ouverture de compas aboutissant sur la circonférence ; ensuite on rev^ient
en sens contraire sur la circonférence par le même nombre d^ouvertures
jusqu'en B qui ust Torigine de la développante. Après quoi on trace autant
de tangentes qu'on veut avoir de points de la courbe, et on répète Topera-
tion précédente en sens inverse. Ce procédé est fondé sur ce qu'une corde
qui n'excède pas 1/6 du rayon n'est inférieure à l'arc qu'elle sous-tend que
de 5 à 6 dix-millièmes.

PROFILS DES BHGREHAGES CTURDEIQUES. 119

géométrique des contacts, dont l'angle CAT avec la ligne des
centres doit difiërer aussi peu qu'il est possible d'un angle droit.
Or, vu le petit nombre de dents de la roue C et Timpossibilité
d'une amplitude de prise de deux pas, il ne convient plus que,
comme dans le premier cas, la droite AT prolongée en P sous-
tende un arc de cette même étendue de deux pas. M étant le
milieu de Tare AMP, R le rayon AC de la petite roue, et n le
nombre de dents qu'elle doit avoir, on obtient une grandeur
suffisante de l'arc AM en posant

^ = 0.03+ ''*'

^nR ' ' 4 + w'

Cette formule empirique, déduite d'essais graphiques qu'il se-
rait superflu de détaillée ici, est applicable aux diverses valeurs
qu'on peut donner à », depuis 5 jusqu'à 20. Dans ce dernier cas
AM devient 0,05 de la circonférence, c'est-à-dire égal au pas,
ce qui doit être, parce que la roue C se trouve alors dans le
premier cas.

Le rayon CM et sa parallèle C'T' déterminent sur la droite
PA prolongée les points T et T' et par suite les circonférences
dont les rayons sont CT et C'T'. On construit alors les dévelop-
pantes BAE et B'AE'; puis il faut choisir les épaisseurs qu'il
convient de donner aux dents. On pourrait, comme nous l'avons
fait dans les exemples précédents, prendre les arcs Aa et Aa',
sur les circonférences primitives, égaux entre eux et à J5/31 du
pas. Mais il paraît préférable de rendre égales entre elles les
bases des dents, Bb et B'b'^ prises sur les circonférences CT et
C'T', où sont les naissances des développantes. Cela est très-
facile : soit Aa = jc, Aa' = jc' , et le pas AA, = ;i. On a , en
désignant par F et F' les intersections de la droite CC' et des
circonférences CT, C'T',

^ ' 30

i30 . CmfillÀTIQUB. SBGT. I, CHÀP. IH.

TC T'r*

Bb=2BF + Jc—; , et BV = MF' + jc' -— 7,
AC A G

d'où, à cause de

\fâ>f

on conclut

et par suite

Bb-BV et Z£_£^
Bb_Bb et -^-jj^,.

xc'

*-x' = 2(B'r-BF)— .

x=:-p + iB'F'-BF)-,

AK XC

x'=±p-(B'F'-BF)^.

Ayant ainsi obtenu les points a et a', on construit les déve-
loppantes bc et b V symétriques de BE et B'E'. Les deux courbes
B'E' et bV ne devraient être prolongées à la rigueur que jusqu'à
la rencontre de la circonférence ayant Cl pour rayon, laquelle
fournirait Tare de troncature B V, parce que le contact des deux
profils BE et B'E' doit théoriquement cesser quand le point E'
arrive en T, dernier point du lieu des contacts; cependant,
comme la droite AT se confond sensiblement avec la circonfé-
rence qui la touche, dans une étendue appréciable, sur laquelle
se meut l'origine B de la développante BE, on peut, pour
augmenter l'amplitude de prise, et sans inconvénient, placer la
troncature un peu plus loin du centre C, comme on le voit dans la
figure, au delà de EV. Les deux courbes BE et be pourraient,
au point de vue géométrique, être prolongées jusqu'à leur inter-

PROFOS DBS BN6RBNÀGES crUHDRIQUBS. iSl

section; mais il paratt préférable en pratique d'en retrancher
une partie par une troncature figurée en Ee.

Amplitude de la prise des deux roues. — Le mouvement
des roues en A étant supposé de gauche à droite, la dent de la
grande roue, qui touche et pousse actuellement la petite en A^
a commencé à toucher quand le point E de la petite roue était
en s sur la droite TT'; et alors le point du profil BAE qui est
actuellement en A était en a obtenu en menant EG et ec, et en
faisant fia = mA. La même dent de la grande roue cessera ré-
gulièrement de presser la petite lorsque le point actuellement
en E' se trouvera en T; et alors le point actuellement en A du
profil BAE sera en «t obtenu en faisant T(p = BF et menant la
droite G^ (x,. L'amplitude de prise est donc Tare cea,» et pour le
cas de la figure on trouve que le rapport de aa« au pas est 1,41 .
On en conclurait, par un examen analogue à celui qui a été
expliqué (96) pour les engrenages épicycloïdaux, que Tare par-
couru pendant la période où deux paires de dents sont en prise
est les 0,41 d'un pas, et que la période où le contact n'existe
qu'en une seule paire dure pendant le parcours des 0,59 d'un
pas, mais que ce simple contact a lieu plus près de la ligne des
centres.

DES BKGREMAGBS niTÉBIEUBS.

98. Proflls à flaues droits des engrenages Intérieurs. —

Le centre d'un des cercles primitifs peut être dans l'intérieur
de l'autre (85). La jante de la grande roue est afors extérieure
à son cercle primitif. Sous le point de vue purement géomé-
trique, toute la théorie précédente s'étend à ce genre d'engre-
nage; mais son application matérielle souffre des exceptions
comme on va le voir.

L'engrenage à flancs droits sur la grande roue est impossible,
c'est-à-dire qu'il est pratiquement inconciliable avec la conti-
nuelle égalité de vitesse des deux circonférences primitives.

iS2 GUftMATIQin. 8BCT« I, CBàP. Ht.

Deux cas sont à considérer, suivant que le diemètf e de la petite

roue est plus petit ou plus grand que le rayon de la grande.

Nous ne traiterons en détail que le premier cas.

Soient C et C (ftg. 52) les centres des deux cercles primitifs

' AA^A,, A'A^A', qui se touchent en A,,. Le rayon C'A^ est plus

i
petit que - CA^. Le flanc droit ABC» supposé appartenir à la

grande roue, serait décrit par le point B du cercle auxiliaire
BA^Bp dont le diamètre est la moitié du grahd diamètre primitif
et dont le centre est actuellement au milieu O du rayorl CA^, ce
ôerde générateur roulant dans Tintérieur du cercle primitif
AAqA,. La courbe correspondante A'B' devant former le profil
de la dent de la petite roue, serait Tépicycloïde décrite exté-
l^ieurèment au cercle primitif de celle-ci, par le même point B
du lAéme cercle générateur roulant sans glisser sur la circonfé-
rence A'A^A'i. Cela étant, et les deux profils AB et A'B' se trou-
vant à gauche de la ligne des centres, supposons que les déUx
i^ôues tournent autour de leurs centres respectifs, à droite,
dans le sens des flèches, la grande roue menant la petite. Point
de difiiculté jusqu'à l'instant où les deux surfaces en contact
seront arrivées à se toucher en A^, sur la ligne des Centrés.
Mais au delà Tégale vitesse des deux circonférences primitives
ne peut plus subsister : si le flanc de la grande roue est supposé
transporté en A* B| , position symétrique de AB relativement à la
ligne des centres CC'A^ , de sorte que A,,A, est égal à A^A, on
reconnaît, en construisant le profil A^B',, nouvelle position de
A'B', que ce profil courbe coupe le profil rectiligne A|B,; que
par conséquent les positions qu'ils devraient prendre simulta-
nément sont inconciliables ; et l'on voit aisément que cette inter-
section résulte de ce que la droite A,C est tangente en B^ à la
seconde branche d'épicycloïde ponctuée dans la figure et symé-
trique de la branche A',B', relativement à la droite C'A',, en
même temps qu'elle est symétrique de A'B' relativement à C'A^^.
L'impossibilité pratique de Tengrenage à flancs droits sur la

ENGHINAOn INTÊRIIURS GYUimlUQlJES. 113

grande roué se reconnaîtrait d'une manière analogue pour le
second cas ci-dessus indiqué.

Au contraire, l'engrenage à flancs droits sur la roue intérieure
est possible, au moins lorsque le diamètre de cette petite roue
n'excède pas le rayon de la grande. Le flanc rectiligne A'B'
(fîg. 53) est décrit par le point B de la circonférence dont
le centre est actuellement en O et dont le diamètre est égal au
petit rayon C'A^. Le profil AB appartenant à la grande roue est
décrit par le même point B du même cercle générateur roulant
dans la grande circonférence primitive. Si les roues tournent
dans le sens des flèches, le flanc de la petite roue mène la courbe
AB de la grande avant et jusqu'à la ligne des centres. Au delà,
le flanc rectiligne A'iB', reste en arrière de la courbe A^B, pen-
dant que les circonférences primitives conservent l'égalité de
leurs vitesses.

99. PiPôfll saillant épleycloidal sur la roue Intérieure. —

Ce profil tel que A',E'^ (qui se trouve reproduit en A'E') et le
profil A,E, qui lui correspond sur la grande roue (et qui est
reproduit en AE) sont décrits par le point E, d'un cercle auxi-
liaire extérieur qui touche actuellement en A^ les cercles pri-
mitifs sur lesquels il roule. Le rayon de ce cercle générateur
peut être pris arbitrairement, et la figure montre que^ si les roues
tournent dans le sens des flèches, la courbe A'B' de la petite
mène la grande au delà seulement de la ligne des centres. On
remarque ici que le profil AE de la grande roue est concave^
mais d'un rayon de courbure toujours plus grand que celui
du profil de la petite roue, Tun et l'autre de ces rayons de cour-
bure étant pris au point de contact commun.

100. Profils mixtes sur les deux roues. — En donnant à
chaque dent un profil mixte, comme l'indique la figure, on fait
que le contact des deux roues commence avant la ligne des
centres et finit au delà. Si les roues tournent dans le sens des

124 GDVÉXATlQnB. SBCT. I, CHÂP. m.

flèches*, la petite roue mène la grande : le flanc A'B' pousse la
courbe AB jusqu'à la ligne des centres, après quoi la courbe
A'E' convexe pousse la courbe concave AE.

tôt. Profils en développantes de eereles de deux roues,
dont l'une e»t intérieure. — La solution expliquée au numéro 94
s'applique d'une manière analogue au cas de l'engrenage inté-
rieur. G et G' (fig. 54) sont les centres des cercles primitifs qui
se touchent en A^. La normale commune aux dents en contact
étant TT'A^, on trace les circonférences dont les rayons sont
les perpendiculaires GT et G'T', et les profils des dents sont les
développantes de ces circonférences. Les surfaces des dents de
la grande roue sont concaves; mais on rend cette concavité peu
sensible en multipliant suffisamment les dents. Dans la pratique
l'angle de la normale TA^ avec la ligne des centres ne doit pas
différer beaucoup d'un angle droit (cet angle est très-exagéré
dans la figure, afin de rendre plus sensible la distinction des
deux profils). Le contact des dents commence et finit à une
petite distance^ avant et après la ligne des centres.

ENGRENAGES ÉCHELONNÉS ET ENGRENAGES HÉLICOÏDAUX.

102. Engrenages en rangs échelonnés de Hooke. «— La

considération du glissement des engrenages ordinaires, le-
quel (9i) est à chaque instant proportionnel à la distance n com-
prise entre le point de contact actuel des dents et le point com-
mun aux deux cercles primitifs sur la ligne des centres, montre
Tulilité de multiplier, autant qu'il est possible, le nombre des
dents des deux roues, et par conséquent de diminuer leur pas.
Or le moyen de faire cette multiplication sans diminuer l'épais-
seur des dents, c'est d'en établir plusieurs rangs sur chacune des
jantes. Par exemple, trois rangs de dents également échelon-
nées, comme l'indique la figure 55, réduisent au tiers le pas
effectif. Supposé que les deux roues dont cette figure représente
des segments tournent, autour de leurs axes O et 0\ dans le

BIVGRBNAGSS ÉCHJBLOimÉS. — HfiUÇ0ÏDAIJ3^. 425

sens indiqué par les flèches^ la dent A va d'abord pousser la dent
A', après quoi la dent B du second rang poussera la dent B'; puis
succédera le contact des dents C et G' du troisième rang, ensuite
A« atteindra A\, puis succéderont les contacts de B, et B'«, de
C et C'i, de A^ et A'^,, et ainsi de suite, absolument comme si
les dents, trois fois plus minces, étaient situées sur un même
rang, suivant Tusage ordinaire. On se fait une idée exacte de
cette disposition en imaginant que deux roues ordinaires, dont
les dents se projetteraient en A, A,, A^,... pour l'une, et en
A', A',, A'j,. .. pour l'autre, aient été divisées par des plans per-
pendiculaires aux axes en trois plateaux égaux; qu'ainsi les
dents primitives aient été divisées en dents partielles trois fois
moins larges, restées adhérentes à la portion de jante qui leur
appartient; qu'alors, les plateaux qui portent les dents C, C^,...
et C, C',,... étant maintenus fixes, on ait fait tourner d'un tiers
de pas les deux plateaux voisins, qui portent les dents B, B^,...
et B', B'4,..., chacun dans le sens du mouvement que doit avoir
la roue à laquelle il appartient, c'est-à-dire que dans le cas de
la figure le plateau des dents B, B^,... aurait tourné d'un tiers
de pas à droite, et celui des dents B', B'*,... d'un tiers de pas
à gauche; que de même on ait fait tourner le plateau des dents
A, A,,... et celui des dents A', A'«,... de manière qu'ils soient
d'un tiers de pas en avance sur les deux plateaux des dents
B^ B^,... B'^ B^,...; qu'entin les six plateaux, ainsi disposés en
gradins de sens inverses^ aient été calés, fixés sur leurs deux
arbres respectifs. ^ ,,

Non-seulement la multiplication des dents permet, en dimi-
nuant leur saillie, de réduire leur glissement^ mais cette dimi-
nution de saillie faisant décroître les chances de rupture des
dents, compense au moins en partie l'affaiblissement qui résulte
de la diminution de largeur parallèlement aux axes de rotation.
Nous n'insistons pas sur ce sujet, parce que les considérations
d'après lesquelles les dimensions des dents sont calculées eu
égard aux efforts qu'elles doivent subir, appartiennent à la

ii6 cnrtHATiQVK. ma. i, CHAt . m.

partie de la mécanique qui traite de la résùtance des tnaié-
riaux.

105. Engrenage hélicoïdal, sans glissement, de Hooke 0t
de i^hite. — Puisque, à mesure que le nombre des rangs éche-
lonnés augmente, le glissement diminue, on est naturellement
conduit à le faire disparaître complètement, en multipliant les
dents à l'infini, c'est-à-dire en disposant les dents en hélice sur
la jante. Dans ce cas la surface des dents, au lieu d'être cylin-
drique, engendrée par la translation du profil parallèlement à
Taxe de rotation de la roue, est héliçoïde, pouvant être engen-
drée par le même profil déplacé par un mouvement composé
d'une translation uniforme parallèle à l'axe, et d'une rotation
uniforme autour de ce même axe, de manière que tous les
points du profil d'une même dent décrivent autour de cet axe
des hélices de même pas (*). LesTiélices directrices tracées sur
les cylindres primitifs des deux roues, hélices sur lesquelles se
fait à chaque instant le contact, dans le plan passant par les
deux axes de rotation, ont, non le même pas, mais une incli-
naison égale sur les génératrices des cylindres ; et cette incli-
naison est en sens inverses sur les deux roues. Les profils des
dents, qui ont peu de saillie, doivent pour le mieux avoir dans
cette petite étendue la figure qui conviendrait à un engrenage
ordinaire; mais la condition essentielle est le tracé exact des
hélices primitives^ sur lesquelles doit, comme nous venons de le
dire, avoir lieu le contact. Cette ingénieuse disposition» iowgi-
née par Hooke en 1666, était tombée dans Toubli^ lorsqu'elle a
été inventée de nouveau par White, vers 180&. Quelque avaft-
tageuse qu'elle soit sous le double rapport de la régularité da
mouvement et de Téconomie du travail mécanique, elle est

(*) On remarquera que ce qu'on appelle le j^as d'une hélice, étant ta
distance entre deux rencontres successives de cette courbe avec une même
génératrice du cylindre où elle est tracée, n*a aucun rapport avec ce qu'on
désigne sous le même nom de pas (95) dans une roue dentée.

SHGBOfACB D'uni CHCMÀILIJU. It7

cependant peu employée^ probablement à cause de la dilBIculté
de Texécution, et aussi parce que la pression mutuelle des
roues ne se faisant à chaque instant qu'en un points des ruptures
peuvent être à craindre si cette pression était très-grande.

CRéMAILLÈRE ET ROUE DENTÉE,

104. Engrenafi^e d'une crémaillère et d'une roue. — Cet

engrenage^ dont la figure 56 donne une idée^ établit une liaison
entre une translation uniforme et une rotation uniforme autour
d'un axe perpendiculaire à la translation. C'est donc le cas
particulier des engrenages autour de deux axes parallèles, où
l'un des cercles primitrfs ayant son rayon infini devient une
ligne droite, axe primitif de la crémaillère. La vitesse linéaire
de la crémaillère étant v, la vitesse angulaire de la roue w, son
rayon primitif r, le nombre de ses dents », le pas commun à
la roue et à la crémaillère p^ on a entre ces cinq quantités les
deux relations

V = wr et np = 27rr;

de sorte qu^on peut^ par exemple, se donner w, neir pour en
conclure v et />, ou bien se donner w, n et v pour en conclure
r et p.

Les théories précédentes s'appliquent par extension à ce cas
particulier.

Celle de Vengrenage à lanterne (92) s'applique avec ces seules
différences que, si la roue est la lanterne, l'épicycloïde décrite
par le centre d'un fuseau relativement à la crémaillère se réduit
à une cycloîde, et si c'est la crémaillère qui porte les fuseaux^
te courbe décrite par le centre de chacun d'eux relativement à
la roue est une développante de cercle.

La théorie de Vengrenage à flancs normaux (93) s'applique
avec cette modification , que Tépicycloïde adhérente à la petite
roue (fig. 57) devient une développante de cercle, tandis que

128 CUfftiATIQDB. 8BCT. I, GHAP. m.

répicycioïde appartenant à la grande roue, c'est-à-dire à la cré-
maillère devient une simple cycloide. Le flanc recliligne de la
grande roue, considéré comme lieu des contacts du profil
courbe de la roue avec la crémaillère, se réduirait à un points
si ce flanc ne devait être prolongé pour laisser passer dans le
creux des dents de la crémaillère le plein de celle de la roue.

Le système d'engrenage à normale constante et à développantes
de cercles (94) s'étend au cas de la crémaillère, avec cette diffé-
rence que, pour la crémaillère, la développante est remplacée
par une droite perpendiculaire à la direction choisie pour celle
de la normale constante; le profil de la crémaillère, en dehors de
la barre qui remplace la jante est donc triangulaire, et Tengre-
nage jouissant de la propriété générale des profils en dévelop-
pantes de cercles, la distance de la crémaillère à la roue peut
varier sans que la liaison des deux mouvements soit altérée, et,
chose spéciale au cas de la crémaillère, la ligne droite, lieu des
contacts, reste entièrement invariable relativement à la roue.

§2.

LUISOM DE DEUX CORPS SOLmES EN CONTACT ET ASSUJETTIS A TOURNEE
AUTOUR DE DEUX AXES FIXES CONCOURANTS.

G£ll£EALITéS SUR CE 8VJBT.

lOB. Relations des -vitesses des deux eorps. — Deux COrps
solides étant en contact et assujettis à ne se mouvoir qu'en
tournant respectivement autour de deux axes fixes concourants,
proposons -nous de trouver le rapport des vitesses angulaires des
deux corps à l'instant où ils occupent une position donnée , et les
relations de ces vitesses avec celle du glissement relatif des deux
corps.

Cette question, dont celle du numéro 80 n'est qu'un cas par-
ticulier, se résout, comme celle-ci, par la théorie de la compo-
sition des mouvements.

ROTATIONS AUTOUR DE DEUX AXES CONCOURANTS. d29

Soient SG et SO (fig. 58) les deux axes, M le point de contact
actuel des deux corps, MI la normale commune rencontrant
en I le plan CSO. Si le point I tombe dans Tangle CSO, les
deux rotations sont de signes contraires; soit w celle du corps
tournant autour de SC, et soit — w' celle de l'autre corps autour
de SO. En considérant le mouvement du corps lié à Taxe SC,
relativement à l'autre corps, nous voyons que ce mouvement
relatif est une rotation simple instantanée ff^ résultante de w
rotation absolue du corps dont il s'agit, et de w' rotation d'en-
traînement prise en sens contraire ; donc Taxe de cette rotation
relative est dirigé dans le plan CSO, suivant la diagonale du
parallélogramme dont les côtés portés sur SC et SO seraient
proportionnels à w' et w; ou bien encore, tout point de cet axe
a ses distances aux droites SC, SO réciproques aux vitesses an-
gulaires w et w\ De plus, les deux corps ne cessant pas de se
toucher, Taxe instantané de la rotation simple relative est dans
un même plan avec la normale MI ; donc il est dirigé suivant SI;
donc en abaissant de I les perpendiculaires lA, IB sur SC et SO,
on a la relation cherchée w-Al = ti/.BI, c'est-à-dire que le
point I aurait la même vitesse si on le considérait à Tinstant actuel
comme lié, soit à l'un, soit à l'autre des corps tournants. En dé-
signant par a et /3 les angles ISC, ISO, on a la vitesse angulaire
résultante #^ = w cos a -f- w' cos (3.

Quant à la vitesse de glissement vg, c'est celle du point M
dans le mouvement d'un des corps relativement à l'autre ; si
donc on appelle p la distance de M à Taxe SI, on a

vg = pPT =zp (tu cos a H- w' cos j3).

CAS où LK RAPPORT DE8 ROTATIONS K8T CONSTANT. CÔHKS ROULANTS.
ENGRENAGES CONIQUES.

406. Cônes roulants dite cônes de frietion. — Deux troncs
de cônes de révolution ayant même sommet se pressent mu-

130 CmttATIQUB» ftBCT. I> CflÀl^t itt»

tuellement,de manière qu'ils roulent âans glisser l'un sur l'autre^
lorsque, par TefFet d'un nioteur quelconque, ils tournent autour
de leurs axes fixes et concourants.

Soient (fig. 59) S le sommet commun, A un point de la gé-
nératrice de contact des deux cdnes, AO et AO' les distances
de A aux deux axes (ce sont les rayons de deux ceircleâ qiii
roulent simplement Tun sur Tautre)^ a, dcS /3 les angles OSA,
O'SA, OSO/ enfin w et w' les vitesses angulaires des imt
cônes.

Connaissant le rapport de ces vitesses et l'angle /3 des deui
axes, on calcule aisément les angles a et a.

On a

OA-w = O'A-w' , d'où w sin a = w' sin a! ;
par suite, en remplaçant a |par p — a ,

tu - ^ .

-7 sin a = sin 13 cos a — cos p sm a ,

d'où

cot a = -7—z (-: + cos fl) ,

sm p \vjf w

L'un des cônes peut être intérieur à Pautt^ (fig. 60), et alors
les rotations sont de même sens, au lieu que dans le cas précé-
dent elles sont de sens contraires.

L'un des cônes peut être remplacé par un plan (fig. 61) dans
lequel doit se trouver le sommet dô l'autre.

107v EttgrenAges eeniques. — Deux roues dont les axes
concourent (fig. 62) sont armées de dents qui se pressent mu-
tuellement pendant qu'elles tournent, comme si la communi-
cation de mouvement avait lieu par deux cônes de friction que
l'on considère comme surfoces primitives et purement géoraé"

sncABN agm coniQins. 431

triques entraînées dans le mouvement des roues. On voit, par
analogie avec ce qui a été dit précédemment, qu'on pourrait
prendre arbitrairement la surface liée à Tun des cônes, et en
conclure celle qui conviendrait pour l'autre. Les solutions ordi-
naires terminent les dents par des surfaces coniques ayant pour
sommet la rencontre S des deux axes. Dans ce cas, si l'on ima-
gine la sphère dont le centre est S et le rayon SA, et sur
laquelle sont par conséquent les circonférences OA, O'A, on
voit qu'on peut déterminer sur cette sphère les profils des
dents coniques par des considérations et des constructions
analogues à celles qui ont été employées pour les engrenages
cylindriques. Les droites sont remplacées par des arcs' de
grands cercles, les épicycloïdes planes par des épicycloïdes
sphériques. On est ainsi conduit à distinguer trois systèmes
analogues à ceux qui sont usités pour les engrenages à axes
parallèles. On peut exécuter rigoureusement les constructions
par les méthodes de la géométrie descriptive ; mais dans la
pratique on se contente d'une approximation qui suffit. Par le
point A de la génératrice de contact des cônes primitifs, on
mène perpendiculairement à cette génératrice la droite CC
rencontrant les axes en C et C'. Puis on considère ces points
C et C comme les sommets de cônes droits, ayant pour bases
les cercles primitifs dont les rayons sont OA, C'A, et c'est sur
les surfaces développées de ces cônes que Ton trace les direc-
trices oû profils des surfaces coniques des dents. A cet effet on
remarque que, pendant la rotation des deux roues, ces direc-
trices doivent se toucher, et que dans le voisinage de A elles
s'écartent très-peu du plan tangent projeté en CC et commun
aux deux cônes CAO, CAO'. De plus les divers points de ces
profils se délacent en restant respectivement à des distances
constantes des centres C, C'. En conséquence on développe les
deux surfaces coniques COA, C'AO' en deux secteurs ayant,
pour distance des centres, la longueur CC'; pour rayons, les dis-
tances CA, C'A; pour bases, des arcs de mêmes longueurs que

132 axÊmkTH^u. ncr. i, gbap. m.

les drconférenoes primitiTes dont les rayons sont OA, O' A; et
Ton prend ces arcs comme cercles primitifs d'engrenages dont
on fiait le tracé d'après le système à fuseaux, à épicycloïdes on
à développantes qu'on a adopté. Ce tracé fournit les panneaux
qui servent à transporter sur les surfiices coniques CA, C'A les
profils des dents.

§3.

LUISOH DE BSUX COKPS SOUDBS Kl CONTACT ET ASSUJETTIS A TOUR^fER
AUTOUR DE DEUX AXES NON CONCOURANTS.

108. LialMM 4-«Be r«teti«m et 4'«Me tnuuIjaioB. — Vis
et éeroa. — Considérons d'abord le cas particulier où Tune
des rotations est remplacée par une translation parallèle à Taxe
de la rotation subsistante. Ce cas est celui dont une vis et son
écrou offrent un exemple vulgaire, soit que Técrou tourne sim-
plement, tandis que la vis se meut parallèlement à son axe sans
tourner, soit que la vis tourne simplement autour de son axe,
tandis que Fécrou ne pouvant tourner, se transporte parallèle-
ment à Taxe.

Nous rappelons ici que Ton distingue dans une vis : 1» le noyau,
cylindre sur lequel le filet est en saillie ; 2® le pro/?/ ordinairement
carré ou triangulaire qui, situé dans un plan passant par Taxe
du cylindre, engendre le filet en tournant et glissant de manière
que chacun de ses points décrive une hélice ; 3» le pas, quantité
dont un point mobile sur le filet s'avance parallèlement à Taxe,
après un tour entier, en restant sur une même hélice et par
conséquent à une distance constante de cet axe (une partie de
filet correspondante à un tour entier s'appelle une spire); A^ le
nombre de filets distincts (le pas divisé par ce nombre , s'il
est plus grand que i, donne l'espace de milieu en milieu de
deux filets voisins parallèlement à Taxe de la vis, et deux plans

VIS ET ÉCROU. J33

perpendiculaires à Taxe et dont la distance est égale au pas,
comprennent entre eux autant de spires qu'il y a de filets dis-
tincts dans la vis); 5° enfin le sens à droite ou à gauche de la
vis, suivant que la rotation autour de Taxe fixe, d'un point mo-
bile qui suit le filet en avançant dans le sens pris pour positif
de Vaxe, est directe ou rélrogade, positive ou négative (61).
Les vis dites vis à bois, si fréquemment employées, ont leur pro-
fil triangulaire, un filet unique et le sens à droite^

En général, supposons qu'un point du corps en translation
soit assujetti à se mouvoir parallèlement à Taxe du corps tour-
nant, en glissant sur ce corps. Le point glissant décrit donc sur
ce corps une courbe située sur une surface cylindrique de révo-
lution autour de Taxe de rotation ; et de la figure de cette
courbe dépend la relation entre la vitesse de translation du pre-
mier corps et la vitesse angulaire du second. Pour que ces deux
vitesses soient uniformes, la courbe doit être une hélice dont
le pas est égal à l'espace que parcourt le premier corps pendant
que le second fait un tour. C'est ce qui arrive pojir la vis.

Une vis dont le noyau n'a qu'un mouvement de rotation sans
translation, comme dans l'exemple indiqué par la figure 63,
imprime à Técrou, que ses guides empêchent de tourner, un
mouvement en vertu duquel il se transporte d'une longueur
égale au pas de la vis, pendant que celle-ci fait un tour, r étant
la distance d'un point quelconque de la vis à son axe, un tour
fait parcourir à ce point la circonférence ^nr, tandis que l'écrou
s'avance d'un pas p . Le même rapport subsistant pour une
fraction quelconque de révolution, si Ton appelle w la vitesse
angulaire de la vis et v la vitesse de l'écrou, on a, quel que
soit r^

wr 27rr w âîr

V ^^ p V p '

Si c'est récrou qui tourne simplement, et que la vis ne puisse
avoir qu'un mouvement de translation, la même relation existe,

434 CINÉMATIQUE. 8BCT. I, GHAP. m.

comme on le voit aisément» entre la vitesse angulaire w de
récrou, la vitesse linéaire v de la vis, et leur pas commun /».

Une vis est ordinairement plus longue que Técrou ; mais l'in-
verse peut avoir lieu, sans que rien soit changé à la relation de
leurs mouvements. Quand c^est la vis qui tourne sans transia*
tion, on substitue quelquefois à Técrou une sorte de crémaillère
dite peigne, qui n'en est qu'un segment compris entre deux
plans parallèles à Taxe de la vis ; le peigne guidé de manière à
ne se mouvoir que parallèlement à ce même axe, peut parcou-
rir une étendue égale à celle qu'occupent les dents dont il est
armé.

Si la courbe située à une distance r de Taxe de rotation est
autre qu'une hélice, w étant la vitesse angulaire du corps toui^
nant, à l'instant où un point M du corps en translation occupe
sur cette courbe la position A, i étant Tangle que la tangente en
A à cette courbe fait avec un plan perpendiculaire à Taxe de
rotation, on conclut aisément de ces données la vitesse v da
corps en translation à l'instant dont il s'agit^ et la vitesse de
glissement vi, savoir :

V TW

V = rw tang i et Vr = -r— r = :

sm* cost

Cette conception d*un point M du corps en translation assu*
jetti à parcourir une courbe tracée sur un cylindre appartenant
au corps tournant, se réalise dans la pratique en creusant dans
le cylindre une rainure où s'eiigage et se meut une broche
(dite bouton, goujon, etc.) fixée en saillie sur le corps en trans-
lation. Cette broche est ordinairement cylindrique, et son axe
de figure rencontre perpendiculairement l'axe de la rotation. Les
faces de la rainure sont déterminées par la condition d'être
continuellement tangentes à la broche pendant le mouvement
des deux corps : elles sont donc les enveloppes des positions
successives que la broche prend relativement au corps tournant.

ROTATION BT TBAIIBUTIÛM 08G1LLÀT0IRB. 135

i08. Rotation et traiislation oselUatoire. — Si la courbe
était plane et par conséquent uhe ellipse^ la rotation simple
de l'un des corps toujours dans un même sens produirait
un mouvement d'oscillation de Tautre corps. Soit i l'angle d
plan de la courbe avec un plan perpendiculaire à Taxe de rota-
tion, que nous supposons vertical pour fixer les idées. A un
certain instant, le point glissant sur cette courbe est en A (fig. 64),
extrémité de son diamètre horizontal. Au bout d'un certain
temps^ le cylindre ayant tourné d'un angle a égal à AOA', le
second corps se sera élevé d'une hauteur AIV égale à A'M ou
A'P tang « ou OA sin a tang i ; d'où il suit que ce point glissant
du corps en translation a la même projection sur une verticale
qu'un point m qui se mouvrait sur un cercle vertical dont le rayon
•a serait égal à OA tang t, avec la mêma vitesse que tout point
qui sur le corps tournant est situé à cette distance OA tang i
de son axe de rotation • Lorsque la rotation est uniforme, lé
mouvement oscillatoire du«orps en translation est celui qui a
été indiqué (1^), comme exemple de mouvement varié.

VIS SAKS FIN.

liO. Malsoa Ae'àtmM. rotations dont les 9,xe» non oon«
eonrants sont veetangnlaives. — L'engrenage connu sous le
nom de vi$ $ans fin réalise cette liaison dans le cas où les rota-
tions sont en rapport constant.

On se fait une idée juste, quoique incomplète^ de ce méca-
nisme, en imaginant qu'au peigne mentionné au numéro 108
soit substituée nm roue dentée tournant ^itour d'un axe fixe,
situé h une certaine dist^pce de Taxe égalernent fixe de la vis, .
et perpendiculaire à sa direction. On reconnaît au premier
aperçu que la yiS; en tournant san$ translation, entraîne la roue
au moyen de quelques dents engagées entre ses filets et conti-
nuellement remplacées par d'^utres^ comme la même vis entraî-
nerait un long éoroa qui ne pourrait se mouvoir que par trans-

i36 GDTfelÀTIQint. SBCT. I, CKÀP. HI.

lation parallèle à Taxe de cette même vis. Celle-ci prend dans
ce cas le nom de vis sans /în/parce qu'elle peut tourner indéfi-
niment en menant la roue dans le même sens, ce qui n'a pas lieu
pour un écrou ou un peigne rectiligne.

Proais des aiets de la tIs sans fin et fforaie des dcsnts de la
roue. — Une observation que chacun a pu faire, c^est que^
lorsque nous regardons une vis touruer sans translation^ si eHe
est un peu longue et que notre attention ne se porte que vers
son milieu, ou mieux encore si ses extrémités sont masquées,
il nous est difficile de nous défendre d'une illusion par laquelle
la vis nous semble se déplacer par une simple translation ; et
cette translation est uniforme si la vitesse angulaire de la vis est
constante : sa vitesse apparente linéaire est telle, qu'un parcours
rectiligne d'un pas semble se faire pendant chaque révolution
effective de la vis. L'explication fort simple de ce fait, c'est que
la perspective ou la projection, sur un plan fixe, des positions
successives de la vis varie de la même manière, soit que la vis
tourne, soit qu'elle se meuve sans tourner, et que, pour nous
faire admettre ce second cas moins simple^ il faudrait que quel-
ques circonstances, comme des taches ou marques quelconques
sur la vis nous avertissent de Texistence de la rotation. C'est
ainsi qu'une surface de révolution de couleur parfaitement uni-
forme et tournant autour de son axe de figure nous paraîtrait
immobile.

De là il résulte que les dents de la roue doivent, par leur
forme^ satisfaire aux mêmes conditions que si elle engrenait avec
la vis qui, sans tourner, se transporterait en glissant le long de
son axe fixe, à raison d'un pas par tour de sa rotation
effective.

La viSy dans cette hypothèse, ferait exactement la fonction
d'une crémaillère, sauf cette différence, d'avec la crémaillère
ordinaire, que le profil de celle-ci, dans des plans quelconques
perpendiculaires à l'axe de la roue, est toujours le même, tandis

Tis SAivs Fm. 137

que les intersections de la vis par ces plans varient avec leur
distance à son axe.

Cette remarque nous conduit à dire que dans la pratique on
distingue deux espèces de roues engrenant avec une vis sans fin.
Dans la première, la partie utile de la roue se réduit à une
tranche très-mince dont le plan milieu passe par Taxe de la vis :
chacune des dents de la roue actuellement en contact avec la
vis ne la touche qu'en nn point situé dans ce plan (point qui
varie d'un instant à un autre), et les dents sont terminées exté-
rieurement, comme dans une roue droite ordinaire, par des
troncatures figurant une surface cylindrique de révolution.

Dans la seconde espèce, l'ensemble de la roue, abstraction
faite des entailles ou vides entre les dents, présente l'aspect
d'une poulie creusée à son pourtour extérieur en une gorge qui
embrasse partiellement le noyau de la vis, en laissant un espace
convenable pour le jeu : une dent de la roue, en contact avec
la vis, la touche simultanément en une suite de points qui for-
ment une courbe changeant d'un instant à un autre^ et sur sa
roue et dans l'espace.

Etudions séparément ces deux espèces de roues.

Roae de première espèce pour vis sans fin. — Puisque les
filets se déplacent et se succèdent dans le plan milieu de la roue
comme les dents d'une crémaillère, le profil de ces filets et ce-
lui des dents de la roue^ dans ce plan^ doivent être tels, qu'ils
conviendraient à une crémaillère et à sa roue cylindrique. L'un
de ces deux profils peut être quelconque, sauf certaines excep-
tions (86), et Pautre en est une conséquence. Dans tous les cas,
on commence par tracer la circonférence primitive de la roue
et la droite tangente parallèle à l'axe de la vis , lesquelles^ cir-
conférence et droite^ étant entraînées l'une avec la roue, l'autre
avec la crémaillère fictive, doivent avoir à chaque instant la
même vitesse et porter des dents d'égal pas. Mais il y a lieu de
distinguer pour la pratique les deux derniers systèmes de profils

138 CINÉIIÀTIQUI, UCT. ly CHAP. m.

indiqués au numéro 104 , savoir ; la système à flauca normaui^
aux lignes primitives, et le système à normale constante.

Dans le système des profils à flapos normaux^ le profil de la
crémaillère^ c'est-à-dire du filet de la vis, est composé d'un
flanc ou partie intérieure en ligne droite perpendiculaire à 1»
tangente primitive, et d'une partie extérieure, arc de cyeloïde
tangent au flanc droit et engendré par une circonférence, dont
le diamètre est égal au rayon de la circonférence primitive ; le
profil de la dent de la roue est composé d'un flanc droit dirigé
suivant un rayon et d*une courbe extérieure, arc de dévelop-
pante de la circonférence primitive.

Dans le système des profils à normale constante, les lieux
des contacts sur les deux faces des dents sont deux droites qui
se croisent au point commun des deux lignes primitives et sont
tangentes à une circonférence intérieure concentrique avec la
circonférence primitive, Le profil du filet de la vis devient
triangulaire, et celui des dents de la roue est formé de dévelop^
pantés de la circonférence intérieure qui vient d'être mention-
née. Ce système a pour caractère spécial que la distance de
l'axe de la vis à celui de la roue peut varier dans certaines
limites, sans que les mêmes profils cessent de convenir et que
le rapport des vitesses soit changé.

Quant à la forme des dents de la roue hors du plan milieu, il
est facile de satisfaire théoriquement à la condition qu^à chaque
instant la vis et une dent de la roue se touchent en un point de
ce plan. Pour cela on peut limiter la dent par une surface réglée
dont voici la détermination. A étant, dans le plan milieu pris
pour celui de la figure 65^ le point de contact de la circonfé-
rence primitive GA de la roue et de la droite primitive AB de
la vis dont la droite OZ est Taxe, si M est le point où se tou-
chent le filet dont le profil est iMh, et la roue dont le profil est
LMIV, il suffit d'imaginer qu'on mène par ce point M une tan-
gente à l'hélice qui sur la vis passe par le même point pour avoir
la génératrice rectiligne correspondante de la surface réglée

via sijit Fin. 139

dont il s'agit, surface qqi, évidemment» est tangente en M à eelle
du filet C).

Roues de deuxième espëee pour vis «ans fia. — L'idée de
la vis considérée comme une crémaillère en translation rend
très-facile à concevoir la détermination de la denture de la
roue comme une conséquence de la figure adoptée pour la vis.
Supposons donnés : 1<> le profil des filets ; 2° leur nombre -, 3** leur
pas \ A^ la plus courte distance de l'axe de la vis à celui de la
roue; 5^ enfin le rayon primitif de celle-ci* Imaginons que 1-on
coupe la vis et la roue par un plan perpendiculaire à Taxe de
cette dernière. Si ce plan passe par Taxe de la vis, il rencontre
les filets suivant ce que nous appelons spécialement leurs pro-
fils, formés chacun de deux parties symétriques relativement à
une droite perpendiculaire à Taxe de la vis. Dans toute autre
position le plan coupe les filets suivant des courbes qui, faciles
à construire par points» n'ont plus la propriété de symétrie du
profil principal Pans tous les cas, le plan coupe le cylindre pri-
mitif de la roue suivant une circonférence dont le centre est
dans Taxe fixe de cette roue, et la connaissance de cette cir-
conférence et du profil particulier correspondant de la vis,
crémaillère fictive, sufiît pour construire les courbes que doi-
vent présenter les dents de la roue^ suivant le procédé général
expliqué au numéro 88» et applicable au cas particulier où Tune
des circonférences primitives considérées dans cet article a son
rayon intini. Cette indication démontre, si ce n'est la facilité, au
moins la possibilité de déterminer , par un nombre suflSsant de
coupes parallèles , la figure qui convient à la roue, d'après les
cinq données que nous venops d'équmérer.

(•) Nous ne nous arrétoni pas à démontrer que, dans le «y^tème d*engpe-
nage à flancs normaux ci-dessus indiqué, la surface réglée de la dent^dans
sa partie extérieure au cylindre primitif, est un héliçoïde développable
dont les intersections par des plans parallèles au plan milieu sont des dé-
veloppantes égales à celle du profil miUeu de la dent.

iM GIlfÉlUTIQUB. SBCT. I, CHAP. m.

m. llelatloiis eHfre les diveraes qiiMitltés àconsidérer
dans ane vis sans fin et sa roue. — Ces quantités sont :

dans la vis, !• le rayon moyen ou primitif r'

2* le pas des hélices h

3"" le nombre des filets distincts n'

A^ Tangle dMnclinaison de l'hélice moyenne

sur le plan perpendiculaire à l'axe i

S^" la vitesse angulaire w'

dans la roue, 1*» le rayon moyen ou primitif r

2» le pas mesuré sur la circonférence primi-
tive , égal à la distance de milieu en
milieu de deux spires voisines de la vis. p

3* le nombre de dents ^, . . »

4* la vitesse angulaire w

dans la vis et la roue, la vitesse de glissement que nous nous
bornerons à considérer au point de contact situé sur la
perpendiculaire commune aux deux axes, dé la vis et de la
roue. Nous désignerons cette vitesse de glissement par. . . Fg.
Etablissons les équations qui existent entre ces dix quantités.
Le pas de la roue est évidemment lié au nombre de ses dents
et au rayon primitif par l'équation

n;^=27rr. [4]

Si la vis n'avait qu'un filet, le pas h de ses hélices serait égal
au pas p de la roue, parce qu'il serait égal au pas de la crémail-
lère fictive que figure la vis. Mais s'il y a plusieurs filets distincts^
c'est la distance de deux filets voisins qui est égale au pas p. On
a donc

n'p = h. [2] J

L'angle i est évidemment lié aux quantités précédentes par
l'équation

tangt = ^. [3]

VIS SANS FIN. 141

Pendant que la vis fait un tour, un point de la crémaillère
fictive se déplace de la quantité h , tandis que la circonférence
primitive de la roue, s'avançant de la même quantité h, tourne

d'une fraction de tour qui est exprimée par - — ; c^est le rap-
port des vitesses angulaires, lequel d'après [1] et [2] se réduit à

c'est-à-dire que les vitesses angulaires sont réciproques aux
nombres des dents de la roue et des filets distincts de la vis. Cette
relation est analogue à celle qui a lieu dans un engrenage ordi-
naire. A ce proposj on remarquera que, si Ton coupe une vis à
plusieurs filets distincts par un plan perpendiculaire à Taxe, la
section obtenue présente l'aspect d'une roue dentée dont les
dents ne sont pas symétriques. En désignant par p' le pas de
cette roue mesuré sur la circonférence moyenne de la vis, dont
le rayon est/, on a

ce pas n'est donc pas en général égal au pas p de la roue engre-
nant avec la vis.

Pour calculer la vitesse de glissement relatif de la roue et de
la vis, à l'instant où elles se touchent sur la perpendiculaire
commune aux deux axes, exprimons (74) la distance qui, au
bout du temps d^, séparera les deux points de la roue et de la
vis actuellement confondus au contact. Celui de ces deux points
qui appartient à la roue aura parcouru l'espace wrdt parallèle-
ment à l'axe de la vis, tandis que l'autre appartenant à la vis
aura parcouru Pespace w'r'dt' perpendiculairement au même

axe. L^'espace qui les séparera est donc l/' {w^r^+v/^r'^) df,

442 cnitiiÀTiQin» net. t, chàp. m.

ce qui d<mn6 la vitesse de glissement

= J/wa^ + wV» ; [8],

c'èst-â-dire que la vitesse de glissement est égale à Thypoté-
niise d'un triangle rectangle dont les deux côtés d'angle droit
sont les vitesses linéaires des deux cylindres primitifs de la
roue et de la vis.

En résumé, il existe cinq équations nécessaires entre les dix
quantités énumérées au commencement de cet article/et parmi
lesquelles n et n' doivent être des nombres entiers. Supposons,
par exemple, qu'on se donne :

Le rayon moyen de la roue * . . r =:0^,lî

L'inclinaison de Thélice moyenne de la vis. . tang i 3=0,3;

Le nombre des dents de la roue n=50;

Le nombre des filets distincts de la vis n^ = 3^

On conclut :

w 3

i*» Le rapport des vitesses angulaires (équation [4]). — ; = — ;

2* Le pas de la roue (équation [1]). p= ' =a",0i2575

3^» Le pas des hélices de la vis [2] À=0-,a377;

0377
4* Le rayon moyen de la vis [3] . . ^ ^^ Trrrr^'Tr^ = ^^^

3,i4io-0,6

(on aurait pu aussi bien se donner r' et calculer tang «).

5<» La vitesse de glissement comparée à celle de la circonfé-
rence primitive de la roue [5] •*••..,

112. Cas de réciproelté de l'eng^renage de la vis sans

«A. — Si l'on ne considère qu'au point de vue géométrique

yn 8À1IS PiH. . 443

l'engrenage de la vis sans fin, il semble que Ton peut ihdiffié-^
reminent mener la roue par la vis (ce qui en est le cas le plus
fréquent en pratique)^ ou la vis par la roue (comme cela se
voit, par exemple, dans les tourne-broches, ou dans l'appareil
de M. A. Morin servant à constater la loi de la chute des corps
sous l'action de la pesanteur, où Tarbre vertical de la vis porte
un volant à ailettes tournant rapidement et destiné à modérer
et régulariser le mouvement du mécanisme par la résistance de
l'air). Mais cette faculté réciproque n'existe pas toujours pour
une vis donnée et sa roue : le frottement inévitable des surfaces
en contact s'oppose à ce que la roue puisse mener la vis lors-
que rinclinaison i est trop petite, et réciproquement la vis ne
pourrait pas mener la roue si cette inclinaison était trop grande.
Lorsque Tangle i diffère peu de 45°, et que les surfaces sont
suffisamment polies et onctueuses, on peut à volonté faire con-
duire l'un des deux organes par l'autre. Nous nous bornons à
ces indications qui seront justifiées et complétées dans le Traité
où nous nous occuperons de la théorie du frottement dans les
machines.

ti5i Exéention méeani^ne de la roue d'ame tIb sams

fi». — Le glissement mutuel des surfaces dans l'engrenage de
la vis sans fin est, à cause du frottement, un inconvénient sous
le rapport de l'économie de la force, qui, appliquée en un cer-
tain point de l'un des corps tournants, doit vaincre les résistances
exercées en certains points de l'autre corps. Mais cette propriété
de glissement a Tavantage de permettre de se servir de la vis
comme d'un outil pour donner aux dents de la roue la forme
qui leur convient le mieux. Pour cela on exécute la vis en acier ;
on en fend les filets par des rainures étroites, à arêtes vives, et
suflBsamment multipliées, dont le plan milieu passe par l'axe ;
puis on durcit cette pièce par la trempe. D'une autre part, on
prépare la roue en lui donnant la forme d'une poulie à gorge,
et Von ébauche la denture par des entailles en nombre égal à

i44 CmtKÀTIQCII. SBCT. I, CHÀP. m.

celui des dents qu*on veut obtenir, inclinées et assez larges
pour que les filets de la vis s'y engagent, quoique incomplète-
ment. Ensuite on installe la roue et la vis respectivement sur
leurs arbres dont les axes sont à angle droit, celui de la vis étant
dans le prolongement du plan milieu de la roue ; ces arbres
sont d'ailleurs disposés sur leurs supports , de manière qu'on
puisse peu à peu les rapprocher et les amener à la distance où
ils doivent être définitivement maintenus. Ces dispositions pri-
ses, on fait tourner celui des deux corps qui doit mener l'autre ;
les filets mordants de la vis liment les parties des entailles de
la roue dans lesquelles ils s'enfoncent peu à peu^ jusqu'à ce que
celles-ci soient devenues les enveloppes des positions succes-
sives que prend la vis dans son mouvement relativement à la
roue. En continuant de faire tourner les deux corps sans rap-
procher les axes, et en exerçant sur la pièce menée une faible
résistance, on use une face de chaque dent de manière à obte-
nir le jeu que l'on juge convenable. La vis qui a servi d'outil
est ensuite remplacée par une autre de même profil et de même
pas^ mais polie et sans rainures.

Nous expliquerons plus loin le mécanisme au moyen duquel
on exécute facilement et exactement une vis dont le profil et
le pas sont donnés.

bugrbiïagb htperboloïde.

114. Préliminaires sur c© snjet. — On emploie depuis assez
longtemps dans les machines de filature un genre d'engrenage
que, par un trop rapide aperçu, on confond aisément avec un
engrenage conique, quoiqu'il en diffère essentiellement, en ce
que les axes des deux corps tournants ne sont pas dans un même
plan, et sont seulement très-proches. Nous nous proposons d'ex-
poser ici la théorie générale de ce mécanisme, sans faire aucune
hypothèse restrictive, ni sur la distance des deux axes, ni sur
Tangle qu'ils forment dans l'espace.

ENGRENAGE HTPERBOLOÏDB. 145

On sait (84 et 106) que le premier pas fait dans Tétude des
engrenages cylindriques et coniques consiste à remarquer que
la liaison entre les mouvements de deux corps, qui tournent
avec un rapport constant de leurs vitesses angulaires, autour
d'axes différents situés dans un même plan, s'obtient au moyen,
soit de deux cylindres de friction (si les axes sont parallèles),
soit de deux cônes de friction (si les axes se rencontrent),
cylindres ou cônes qui se touchent le long d'une génératrice
rectiligne commune, et roulent sans glisser l'un sur Tautre. Ces
deux surfaces dites primitives une fois déterminées, d'après le
rapport connu des vitesses angulaires des corps qu'elles entraî-
nent, on les arme le plus souvent de dents, ou plutôt on rem-
place les surfaces primitives, devenues simplement idéales, par
des dents dont les formes doivent être telles, que, lorsqu'elles
se poussent mutuellement, rien ne soit changé à la loi de liaison
des deux mouvements de rotation.

On a dû être ainsi conduit à demander quelles seraient les
surfaces de révolution qui, en tournant autour de leurs axes
respectifs et en roulant relativement l'une sur Tautre, se tou-
cheraient suivant une ligne droite et rempliraient, dans le cas
général où les axes ne sont pas dans un même plan, une fonc-
tion analogue à celle des surfaces primitives, cylindriques ou
coniques, propres à deux axes parallèles oîi concourants. Poser
ainsi la question, c'est dire que les surfaces cherchées, si elles
existent, doivent être des hyperboloïdes de révolution, et c'est
en effet ce qu'a énoncé M, Willis, savant auteur d'un ouvrage
anglais justement estimé, ayant pour titre: Principles ofmecha-
nism. Mais, faute d'une étude suffisamment approfondie de la
question, il a inexactement indiqué la détermination de ces
deux surfaces, en supposant, comme d'autres auteurs l'ont
admis après lui, que la génératrice de contact doit partager la
plus courte distance des deux axes en deux parties réciproques
aux vitesses angulaires.

Les considérations qui suivent vont redresser celte erreur. Ce

146 CmfiKlTIQUB. SBCT. h G^i^P* "I*

ne sont que des déductions immédiates de ia théorie exposée aa
chapitre II de ce Traité^ sur les divers mouvements d*un sy-
stème invariable.

Le problème qui se présente est celui-ci : En mpposant que
deux corps solides tournent simplement et uniformément auiowr
de deux axes respectifs , fixes dans l'espace et d'ailleurs quêlcon-
quesj il s'agit de définir le mouvement de l'un de ces corps relati-
vement à r autre. Ce mouvement relatif jouit évidemment des
propriétés générales du mouvement absolu d'un système inva-
riable. Ainsi :

Premièrement (68), ce mouvement, à chaque instant , a un
axe central ou axe instantané de rotation et de glissement, ce
qu'on exprime clairement par une image, en disant que les
vitesses du corps relativement mobile (ce sont ici des vitesses
relatives à Tautre corps pris pour système de comparaison) ont
entre elles les mêmes relations que si ce corps était actuellement
lié à une certaine vis qui se mouvrait dans son écrou relative-
ment immobile. L'axe de la vis est Taxe instantané de rotation
et de glissement \ il change de position relative d'un instant à
un autre quelconque^ et sans la condition de l'uniformité du
rapport des vitesses angulaires absolues, le pas de la vis change-
rait aussi.

Secondement (70), les positions successives de Taxe instan-
tané, relativement au second corps, formant une surface réglée,
et ses positions successives dans le système invariable dont fait
partie le premier corps en formant un autre, ces deux surfaces
(qui dans le cas particulier qui nous occupe vont être deux hy-
perboloïdes) sont à chaque instant tangentes Tune à l'autre, tout
le long de leur génératrice commune, et elles roulent l'une sur
l'autre en glissant suivant cette génératrice, axe central du mou-
vement relatif à ce même instant (*).

n Un modèle en relief très-bien exécuté par M. Clair, faabile mécani-
den constructeur à Paris, d'après les instructions elles figures cotées que je

SNAIBRÀGB ETPBRBOiOÏDI. 147

115. Vltewes de l'um des denx eorps toniiMita relatlire-
meat A r«»tie, — Précisons ces généralités par leur application
aux deux corps désignés ^ et posons d'abord les données du
problème. Bien que les deux axes de rotation soient quelcon-
quesy on peut, pour faciliter le langage et les figures, les sup-
poser dans deux plans parallèles verticaux , et considérer Tun
des axes comme horizontal.

Ainsi, un corps que, pour abréger, nous appelons corps C
tourne autour de l'axe A'B^ (fig. 66), supposé horizontal et dirigé
de gauche à droite, avec une vitesse angulaire représentée par
la longueur A'B^ et par le nombre u/.

Un autre corps G tourne autour de AB, supposé dans un plan
vertical parallèle à A'B', avec une vitesse angulaire représentée
par la longueur AB et par le nombre — w, le sens de la rotation
de G autour de AB élant contraire à celui de la rotation w' de
C' autour de A'B'.

La plus courte distance ou perpendiculaire commune aux
deux axes est l'horizontale A A' = p.

L'angle de AB et de l'horizontale Ab, parallèle à A'B' et de
même sens, est désigné par BAb = a.

Pour étudier, au point de vue des vitesses actuelles, le mouve-
ment du premier corps relativement au second, imitant ce que
nous avons déjà fait au numéro 75, imprimons à l'ensemble des
deux corps en mouvement une rotation additionnelle et con-
traire à — w. Le second corps G est alors réduit au repos, et le
corps G' a un mouvement composé de w' autour de A'B', et de w
autour de AB.

lui ai remises en février 1S60, modèle dont nn exemplaire appartient au
Conservatoire des Arts et Métiers^ confirme au besoin Teiactitude de la
théorie exposée ci-après. Il est bien entendu qu'en pratique un engrenage
de ce genre se compose de deux tronçons sensiblement coniques, et que
les surfaces étendues du modèle n'y sont que pour faire voir et comprendre
quelles sont sur ces surfaces primitives les directions des génératrices qui
doivent être les lignes de naissance des surfaces courbes des dents.

148 CDfÉMÀTlQUB. SBCT. I^ CHAP. HI.

Cherchons Taxe central de ce mouvement composé. Pour
cela (66), dans le corps G' introduisons autour d'une droite pas-
sant par A' (fig. 67) et parallèle à AB (droite qui étant pro-
jetée horizontalement suivant A'B' et verticalement suivant AB,
sera appelée la droite (AB^ A'B')), deux rotations de gran-
deurs égales entre elles et de sens opposés : l'une w^ = w,
l'autre iUj = —w.

'./La rotation w autour de AB et la rotation w^ ou — w autour
de (AB^ A'B'), appartenant ainsi au mouvement relatif du corps
C, forment (64) un couple de rotations équivalent à une trans-
lation perpendiculaire au plan A'AB, savoir, parallèlement à la
droite AV de la figure

v=pw. [{]

Les deux rotations w' et tv^, dont les axes représentatifs se
coupent en A' et se projettent en vraie grandeur en Ab et AB,
sont équivalentes à une rotation unique ff^, dont Taxe repré-
sentatif se projetterait horizontalement suivant AB, et se projette
verticalement et en vraie grandeur en AW, diagonale du paral-
lélogramme BAbW, dont les côtés sont égaux et parallèles aux
axes représentatifs des rotations w et w\

Désignons par j3 et j3' les angles BAW, bAW, que la diago-
nale AW fait avec les axes AB et A'B', et nommons a leur
somme : les trois équations

feront d'abord connaître les angles |3 et /3', quand le rapport des
vitesses angulaires w et w', et l'angle « des deux axes seront
donnés, puisqu'on a, par exemple,

w sin (3 = -m/ sin (« — j3) = w' (sin « cps j3— cos « sin /3)^

d'où

et de même

BNGRBNAGE HTPERBOLOÏDE. H9

cot j3 = -; p, + cos a ) , [3]

^ sin a\w . /' ^ '

1 M' \

cot B =-. — [ h cos a ;

'^ sma\w I

puis on calculera, à volonté, soit

fV sin a fV sin a

w' sin |3' w sin P'*

La translation F perpendiculaire au plan BAA', et la rotation
¥f^ dont Taxe passe par A', étant ainsi obtenues, on en conclut,
par le moyen connu (67) et comme nous allons le répéter, la
direction de Taxe central, et d'abord la vitesse de glissement Fg
qui s'y rapporte.

La vitesse r; perpendiculaire à AB, se décompose en deux,
Tune, suivant AW, et l'autre perpendiculaire à cette même dia-
gonale. On a pour la première qui est la vitesse de glissement,
en ayant égard aux équations [1] et [2],

Fg = r sin j3 = pw sin ]3 =;>w' sin ]3', [-4]

formule dont l'interprétation géométrique est très-facile, et sera
d'ailleurs indiquée tout à Pheure. On peut en conclure, d'après
la relation [3], l'expression de la vitesse de glissement en fonc-
tien des quatre données /?, «, w et w'.

pwvcl sin a

^ r/w2 4.ii/2+2ww'cosa
La seconde composante de F, perpendiculaire à AW, est

ISO CnflKATlQUB. 8ICT. I, GBAP. m.

F cos j3 = pw cos /3, translation qui se compose avec la rota-
tion fF, autour de l'axe (AW, A'B'), en une rotation simple,
dont Taxe, parallèle à AW et ayant une vitesse nulle^ coupe la
droite AA' en un point T, situé à une distance de A' qui, dési-
gnée par A'T = a\ est déterminée par l'équation

J^a'— pwcosp = 0.

La distance TA, désignée par a, serait, à cause de l'analogie i
des notations, donnée par l'équation

ce qu'on vérifie d'ailleurs en ajoutant ces dernières équations,
qui donnent la relation ff^p =zp (w cos ^ + w' cos' p) évidente
d'après le parallélogramme BAbW.

De là on conclut, par division et en recourant aux équa-
tions [2],

a _n/ cos j3' sin |3 cos j3'
a! w cos p sin ^' cos j3 *

et finalement

a _ tang p
a' tang ^' '

[S]

Ainsi se trouvent déterminées par les équations [2] et [5] la
position et la direction de l'axe instantané de rotation et de i
glissement du mouvement du corps C relativement au corps C;
la dernière équation [2] fait connaître l'intensité PTde la rota- j
tiou relative, et Téquation [4] donne la vitesse de glissement Fg
qui se compose avec cette rotation. i

116. Convtraotlon graphique des fonimlM préeédenitti.

KNâEBNAGlI HTPBRBOLOÏDB. i5i

— Les équations que nous venons d'obtenir s'interprètent géo-
métriquement d'une manière très-simple.

Connaissant Tangle et des deux axes A'B' et AB^ p = AA'
leur plus courte distance, id' et w les vitesses angulaires des
deux corps autour de ces axes, exécutez les constructions sui«
vantes :

i'' Faites le parallélogramme bABW dont les côtés Ab et AB
sont parallèles aux axes, proportionnels aux valeurs absolues
des vitesses angulaires vd et w, et dirigés de manière que, l'un
des corps. G', étant supposé tourner autour d'une parallèle à
Ab dans le sens positif, l'autre corps G tourne autour de AB
dans le sens négatif : la diagonale AW sera parallèle à Taxe
instantané de rotation et de glissement de chacun des deux corps
relativement à l'autre, et représentera, pour la grandeur et le
senSy la vitesse angulaire du premier corps relativement au
second.

^««Menez, perpendiculairement à la diagonale, la droite telle-
ment située que sa partie aa' interceptée dans l'angle bAB du
parallélogramme soit égale à la distance p des deux axes : elle
se trouvera divisée, à sa rencontre t avec la diagonale, en deux
parties st et a't respectivement égales aux distances AT = a
et AT'= a'y des points A et A' au point T, où la perpendicu-
laire AA' commune aux deux axes de rotation est coupée per-
pendiculairement par l'axe central instantané du mouvement
relatif des deux corps. En effet, les deux distances at et a't étant
respectivement égales à Actang |3 et à At.-tang j3' satisfont à
l'équation [5].

3° Portez de A en a^ sur la diagonale une longueur égale à
p : si vous imaginez que le point a^ ainsi obtenu^ et dont les
distances à Ab et à AB sont p sin ^' et ;? sin j3 , tourne , soit
autour de Ab avec la vitesse angulaire n/, soit autour de AB
avec la vitesse angulaire w, la vitesse linéaire qu'aura ce point
»^ est égale à la vitesse de glissement Fg , conformément à
l'équation [4].

152 CINÉMATIQUE. 8ECT. I, CHAP. m.

117. Mouvement eonllnu de l'un des corps relativement
à l'autre. Hyperboioides primitifs. — Nous venons de recon-
naître la loi du mouvement du corps G' relativement au corps C,
à un instant quelconque, c'est-à-dire la loi qui, à cet instant,
lie entre elles les vitesses relatives du premier corps. Il ne s'agit
plus que de voir ce que devient, d'un instant à un autre, ce
même mouvement relatif.

Le point A reste immobile; le point A' qui, dans l'espace, est
fixe aussi, tourne, dans son mouvement relatif, autour de Taxe
AB, en vertu de la rotation additionnelle w attribuée au système
des deux corps pour détruire la rotation — w du corps C autour
de ce même axe AB. Le point A' décrit donc, relativement au
corps G^ un cercle autour de A, dans un plan perpendiculaire
à AB. Le point T en fait autant ; et Taxe central instantané
passant à chaque instant par ce point, étant toujours perpendi-
culaire à AT et faisant toujours avec une parallèle à AB Tangle
invariable |3, décrit par conséquent un hyperboloïde de ijjvo-
lution dont le cercle de gorge a pour rayon la distance a.

Ce raisonnement, s'appliquant aussi bien à Taxe A'B' qu'à
AB, on voit que le même axe central instantané décrit, relati-
vement au corps G', autour de A'B', un hyperboloïde dont le
cercle de gorge a pour rayon la distance a' = A'T, et dont la
génératrice fait avec une parallèle à Taxe A'B' l'angle (3'.

Or, suivant la proposition générale démontrée au numéro 70,
les deux hyperboloïdes ainsi engendrés par Taxe central instan-
tané jouissent de la propriété d'être continuellement tangents
tout le long de cette droite, et de rouler Tun sur l'autre en
glissant suivant cette même génératrice. Nous les appelons
hyperboloïdes roulants ou primitifs , par analogie avec les
cylindres et cônes primitifs des engrenages ordinaires.

Quand on connaîtra l'angle a des deux axes, leur distance p
et le rapport des vitesses angulaires w' et w, les constructions
indiquées au numéro précédent pourront servir à déterminer ;
1° les angles /3 et j3' de la génératrice commune des deux

ENGRENAGE HTPERBOLOIDB. 153

hyperboloïdes avec leurs axes, 2° les rayons a et a' des cercles
de gorge, 3"^ la vitesse de glissement donnée par la formule [4]
et correspondante à une vitesse angulaire donnée.

1I8. Equations des hyperboles méridiennes des hyper-
boloïdes primitifs. — Prenant Taxe des x suivant AB (fig. 68)
et Taxe des y suivant une perpendiculaire passant par A, attendu
que AW est une asymptote de Thyperbole méridienne verticale
de Thyperboloïde dont Taxe est AB^ on a pour exprimer cette
courbe

, .= ±Jj/ïM:r^ et 6=^^,

formules où Ton peut mettre pour tang |3 sa valeur déduite des
équations [2], comme on Ta vu ci-dessus ; ou bien, si Ton se
contente des constructions graphiques indiquées au nu-
méro 116, on reconnaît immédiatement que h est la longueur
At de la figure 67.

La méridienne de Thyperboloïde dont Taxe est A'B' est
obtenue de même par les équations

y'=±jyb'^ + x!^ et b'=

tangjS'.

Or, il résulte de Téquation [5] que les deux demi-axes non
transverses b et V sont égaux, de sorte que l'équation de la
méridienne relative à Taxe A'B' peut s'écrire ainsi

y'^±jl/b^+^;

et si l'on compare les deux ordonnées y et y' qui correspondent
à des abscisses x et x' égales entre- elles, on trouve la propor-
tion très-simple et commode pour ccMistruire ou calculer l'une
des courbes, quand on a l'autre

484 cnvftuTiQOB. sbgt. î, ciur. m.

Si Ton veut n'employer que le calcul pour déterminer les
axes principaux des deux hyperboles méridiennes, on com-
mencera par calculer le rapport de a à a', diaprés les équations
[5J et [3], savoir :

^ + C08«0

^ + C05«

d'où étant donné a + a' = p» on conclura a et a' ; ou bien
directement

— h cos a — , •+" cos a

w , w

""-PZ — i:? et * =

— ;H H2cosa — ;-'

w w w

3 + — +2cosa r7 + w+5costfi

puis on calculera l'axe non transverse d'après la formule [3] :

(^ + cos«)g+cos«)
* = a cos fl =-/— ^ r^

— ; H h 2 cos a

tu w

119. Relation entre les coordonnées reetang^aires des
hyperboles et la lon^enr de l'asymptote. — Une autre dé-
termination utile est celle de l'abscisse x et de l'ordonnée y de
Tune des hyperboles méridiennes, qui correspondent à une
longueur AM d'asymptote. M étant un point de contact des
deux hyperboloïdes, y est sa distance à l'axe AB de Tun deuXf
et par conséquent c'est le rayon du parallèle passant par ce

(*) Cette équation qui, dans le cas où les axes sont rectangulaires, devient

a w'^

-7=— , constate Terreur signalée au numéro 114.

BHaftBNÀGB mrPBMBOLOÏDB. 45S

point sur le même hyperbololde ; x est la distance du parallèle
au cercle de gorge ; AU est égale à la distance^ suivant la géné-
ratrice de contact^ du point M au point où elle rencontre ce
cercle de gorge.

En désignant Ali par %, on a pour la méridienne de l'hyper-
boloïde autour de AB,

x=«cos/3, et par suite y s=: q: J/^fc* tang* /3 +**sin* ^ ,

et, pour l'autre hyperbole,

x'zssïicos^' et y's ± J/'ia tang» /3' + ** sin» |3r .

On en conclut que le rapport ^ des rayons des deux pa-
rallèles ayant un point commun, rapport égal à ■ JL, quand
on fait zzzzO (c'es^à*dire quand y et y' sont les rayons a et a' des
cercles de gorge), approche d'être égal à . , c'est-à-dire à

"^^ à mesure que % augmente , sans jamais atteindre cette

valeur.

120. CoBtaet des deux hyperbololdes. — La théorie de la
composition des mouvements^ qui nous a dirigés dans cette
recherche, nous donne la certitude (70) que les deux hyperbo-
loïdes, tels qu'ils se sont trouvés déterminés, sont tangents tout
le long de leur génératrice commune. Mais il sera peut-être inté-
ressant de vérifier ce fait directement^ par des considérations
purement géométriques.

Soit projeté en M et en M' (fig. 69) un point quelconque de
Id génératrice commune. Désignons par ;s sa distance au point T.
Ainsi z = AM. Ce point m trouvant sur Thyperboloïde dont

156 CtHÈMÀJïQJK. SBCT. I, CHÀP. m.

l'axe est l'horizontale A'B'^ appartient à un cercle vertical dont
le centre est O', et dont le rayon est égal à O'M^ obtenu par
rabattement en faisant M'M ^ = mM. La tangente au cercle en
ce même point est, en rabattement, M\P' perpendiculaire à
0'M\. Sa trace dans le plan horizontal AA'B' est donc P', et
la trace horizontale du plan tangent au premier hyperboloïde
en (M, M') (lequel plan tangent contient la génératrice qui passe
en T) est par conséquent la droite TP'.

Le même point (M, M.') appartient à un cercle du deuxième
hyperboloïde, dont le centre est O et dont le rayon est M,0,
obtenu en rabattant LO en LO^ et L (M', M) en L'AI,. La tan-
gente au cercle en ce même point est, en rabattement, M^P
perpendiculaire à M,0,, et la trace horizontale du plan tangent
au deuxième hyperboloïde en (M', M) est la droite TP joignant
le point T au point où la tangente M,P rencontre LL'.

Il s'agit de savoir sous quelle condition les deux plans tan-
gents se confondent. Pour cela écrivons

PM' _ PL'

tmP~"tl'

7. [6]

et remarquons que ces quatre longueurs s'expriment facilement
en fonctions des angles a, j3, j3', et des distances a, a' etz:
1» Le triangle rectangle P'M',0' donne

_ (MW,)^ _ (Mm)^ _ z^ sin^ ^' ,
"" MW ~ MO' ~ a' '

2* On a évidemment

TM'=Am = zcosj3';

3"" Les triangles semblables PL'^^ et O^M ,m^ donnent

0,m,.M,M',

PL' =

M.m.

BNGRJBNA6E HTPBRBOLOÏOB. 157

d'où, à cause de 0,m, == on = z sin /3, de M.m, = a et de

M,M

f __
1

:Lllf —

cosa

z sîn /3
' cosa '

on conclut]

PL' =

z sin|3
a

2 sin j3 ,

COS

4»

a enfin

TL'=:AL

_zcos ^

COS a

En substituant ces quatre expressions dans Téquation [6], on
obtient pour la condition cherchée, après réduction

tang P' tang jS

c'est-à-dire Téquation [5] indépendante de z, ce qui prouve que
le contact des deux surfaces précédemment déterminées existe
tout le long de la génératrice commune. On voit aussi que deux
hyperboloïdes de révolution pris arbitrairement pourraient ne
pas satisfaire à cette condition, puisque, le rapport des rayons de
gorge étant donné, ainsi qu'un des angles |3 et jS', l'autre doit
avoir une certaine valeur.

i!2i. Cas particulier où les axes de rotation sont reetan-
ipilaires. — 11 suffit, pour obtenir les formules relatives à ce cas,
de faire a = 90® dans celles qui ont été établies ci-dessus.

On a donc, au lieu de [2],

fr, d*où tang/3=-

cos|3 sin/3 ' '^ tang]3' w

La formule [3] devient

pww'
rg=;,«;sin|3=pw'cos|3=p7==.

158 CHVÉKATIQI»» fOGS. If ClAP* m.

L'équation [5] donne

La valeur de b (413) devient

aw a'w' _^ - y — j

L'hyperbole méridienne^ dont la vitesse angulaire est w, a tou-
jours pour équation

y=±l[/b^ + x^

2(3

et son paramètre est — . Hais, dans le cas particulier dont il
s'agit, on a

De rnéme^ l'hyperbole méridienne^ dont la vitesse angulaire
est it/, a pour paramètre

2i» ^
. — = 2a.
a

Or, on sait, et il est facile de vérifier qu'au sommet d'une sec-
tion conique quelconque , le rayon de courbure est égal au
demi-paramètre (c'est la sous-normale sur le diamètre au
sommet); donc.

Quand les axes sont rectangulaires, k rayon de courbure du
fond de la gorge de chacun des hyperboloides est égal au rayon du
cercle de gorge de Vautre hyperboloîde.

Les deux surfaces sont , s'il est permis d'employer cette

BnaiSNAfiB HTPBRBOLOÏDB. 159

image vulgaire^ en selle Tune sur Tautre, de la manière la plus
intime.

lâ&. Engrena^ hyperboioide. — Les deux hyperboloïdes
de révolution tangents, quel que soit l'angle de leurs axes, ont
une analogie frappante avec les cônes et les cylindres roulants,
employés comme organes de liaison de mouvement entre deux
corps tournant autour de deux axes fixes situés dans un même
plan^ avec des vitesses angulaires qui restent en rapport con-
stant. Si, en réduisant la distance/» à zéro, on fait concourir les
deux axes sous un angle quelconque, les hyperboloïdes devien-
nent des cônes; si, en laissant à la distance p une valeur quel-
conque^ on réduit Tangle a. à zéro> les deux axes devenant pa-
rallèles, les deux hyperboloïdes dégénèrent en cylindres. Dans
ces deux cas particuliers, suivant la formule [4], la vitesse de
glissement V^ devient nulle.

En général, supposé qu'on exécute en reliefs solides deux
troncs d'hyperboloïdes tangents (fig. 70), analogues à des troncs
de cônes se terminant à des plans menés perpendiculairement
aux axes par les deux extrémités d'une portion MM' de la géné-
ratrice commune ; qu'on y trace des stries rectilignes, fines et
très-rapprochées entre elles, suivant des génératrices qui doi-
vent être successivement des lignes de contact; et que ces stries
également espacées sur chaque hyperboloïde soient en nombres
inversement proportionnels aux vitesses angulaires : elles rem-
pliront le mieux possible , pendant la rotation des deux troncs
autour de leurs axes, une fonction analogue à celle des dents
trés-multipliées d'un engrenage conique, mais avec deux diflfé-
rences essentielles :

La première, c'est que ces stries, pendant le mouvement,
glissent longitudinalement avec une vitesse qui croît propor-
tionnellement à la distance f des deux axes, quand on ne fait
varier ni l'angle a ni les vitesses angulaires w et w' (formule [4]) ;

L.a seconde, c'est que ces stries ou génératrices, devant être

d60 CnVfiXÀTIQDB. SBCT. I, CIUP. III.

en nombres réciproques aux vitesses angulaires, ne sont pas
espacées de quantités égales sur deux circonférences qui ont un
point commun sur la génératrice de contact, puisque (119) les
rayons de ces circonférences sont dans un rapport qui varie

entre — ^ij et . 1, ou — sans atteindre cette dernière
tang j3 sm j3 w

limite. En d'autres termes, le rapport des pas sur les deux cir-
conférences ayant un point commun, approche de l'unité à
mesure que ces circonférences augmentent, mais n'a nulle part
cette valeur.

125. Forme et exécution des dents de l'en^renaf^ hyper-
boioide. — En général, dans ce cas comme dans ceux des en-
grenages cylindriques ou coniques, la forme des dents de l'une
des roues est théoriquement arbitraire, pourvu que les surfaces
des dents de l'autre roue soient les enveloppes des diverses
positions relatives des dents de la première, pendant que les
deux roues tournent avec le rapport donné de leurs vitesses
angulaires. Mais si Ton veut que la vitesse du glissement mu-
tuel des dents en contact soit aussi petite qu'il est possible, et
que ce contact ait lieu simultanément en plusieurs points, il
faut qu'à Tinstant où Tun de ces points se trouve sur la généra-
trice commune des deux byperboloïdes primitifs, les autres
points de contact y soient également. De là découle naturelle-
ment ridée de terminer les dents par des surlaces réglées, qui
ont pour Tune des positions de leurs génératrices reclilignes
cette génératrice commune des deux byperboloïdes.

La détermination rigoureuse de ces surfaces (qui se réduisent
à des cylindres ou à des cônes, lorsque les axes de rotation sont
parallèles ou concourants) serait un problème trop compliqué
pour la pratique. Mais la propriété du glissement inévitable dans
Tengrenage hyperboloïde , peut fournir un moyen d'exécution
mécanique, analogue à celui qui a été indiqué (113) au sujet de
la roue engrenant avec une vis sans fin. Si, par exemple, on

CTLmDRBS ROULANTS NON CIRCOLÀIHBS. 161

commence par ébaucher les dents.en adoptant pour leurs coupes
transversales des profils semblables à ceux d'un engrenage co-
nique, et en dirigeant les naissances des faces courbes suivant
des génératrices des hyperboloïdes primitifs ; qu'ensuite , les
roues étant montées sur leurs arbres, on les fasse tourner assez
rapidement ; le glissement des surfaces usera leurs parties trop
saillantes et indiquera à l'ouvrier ce qui lui restera à faire pour
perfectionner son travail.

§*.

étude complémentairb sur là llàlson db deux corps soldes dont
les rotations autour de deux axes fixes sont en rapport
taruble. cas particulier d^une rotation et d^une translation

tariSe(*).

LIAISON DE DEUX ROTATIOHS.

124. Cylindres roulants non elrenlalres. — Lorsque deuX
corps solides tournent respectivement autour de deux axes fixes
parallèles, on voit, en considérant leur mouvement relatif et en
s'appuyant sur les théorèmes établis aux numéros 47 et 70,
qu'ils se meuvent comme s'ils étaient respectivement liés à
deux surfaces cylindriques qui, roulant sans glisser l'une sur
l'autre, auraient à chaque instant leur génératrice de contact
dans le plan des deux axes de rotation.

L'étude du mouvement des deux corps se réduit à celle du
mouvement des sections droites des deux cylindres roulants,
dans un même plan perpendiculaire aux axes de rotation. Nous
les nommons courbes primitives, par analogie avec les circonfé-
rences primitives des engrenages ordinaires.

(*) Ce paragraphe est destiné à compléter les trois précédents dans les-
quels ont été étudiés plus spécialement les cas où le rapport des vitesses
angulaires des deux corps eu contact est constant.

Soient C et C« (6g« 71), les eeatres d^ rotation (le çe^ \
courbes^ O et 0« les deux poiots qui se troav^ept ^d cpntsçl
sur la droite CC« , à Tiostaiit indiqué par f = • ; Tj lo poi^t 4e
contact sur cette même droite à la fin do temps f; a e| ^, iQg
angles OCT et O.C.T, déplacements aqgul^re^ des 4eux POW
pendant ce temps | ; soient en^ r et r«, les deux distançai qu
rayons vecteurs varial)le§, ayant actuellement les vsileqf^ f^ï
et C,T, dont nous désignons la somme opostante €(^ par a.

De ce que les deux courbes se touchent continuellement sur
la droite CC^, il s'ensuit (80) : 1* Que les deux vitesses angu-
laires sont réciproques aux rayons r et r,, ce qui s'exprime par
r^uation

^'^^^^^'TT'i ^M Simplement rdarzr^da^ ;

2<> Que les deux courbes roulent sans glissement l'une sur
l'autre, de sorte que les deux arcs OT et 0,T sont égaux ; et
cette dernière prppriéjé PPtratP^ réfiiBroqueHtffi* 'ÇI dpux
autres (coptact sur CC, e( rapport des vitesses}-

125. Détermiiiatioii de^ eovrbes prfmltlTes. — I. Cette
détermination peut être obtenue comme une conséquence delà
loi, supposée donnée., du mouvement des deux corps que les
deiix coqrbes entraînent. En effet, les angles a et a^ étant
décrits dans le temps t^ posons les deux équations suivantes
(p.n (Jésign^nt par les notations ^ pt ^, deux fonctions qqel-
CQpqyeç) :

<^=^(f) et flF,=^,(r)5

chacune d'elles est Téquation du mouvement de rotation de
Tun des corps ou de Tune des deux courbes. Les vitesses an-
gulaires de ces mêmes corps, à la fin du temps ^ sont :

w^^=S'{t) et w,=:^ = rf/(0;

couuiFS EintiTiTva von filtCOUItlS. iSS

Qt pui$qti'e)!es soqt l'^iproques aux distânoea r et r^ en a

c(*où, |\ caisse de r + r, = c,, oq çonclqf :

éqqations qi^j, coçq^inéps avec |es ^e\\% ci (Jes^n^, flÇ=: ^(0 e|
a, = #^(/), condjiisei^t, pf|r l'élim|nHlion dp (, ^\\\ équatioqj
en coordonnées polaires dçs cp\^(*be^ QT et Q^f. 3i I élimj-:^
nation es( trop iljfi^cilf^;, on peut {(^signer ^ ( ui)^ ^uife de, valenr^
suffis^i|)menl rapprochée^ entre elles, pt, ppr Ip^ fonmil^ç préi
çédentes, calcule^ les valeurs $inrmlta|[)^Qs çprrç.^pQndantai 49
r et a pouf l'i^qe des com-bCsS, et de f* ^^ «< PQ.Mr i'^MH*^-.

11. Une des courbes primitives et la distance des centre^ ^iai^i
données^ tautre courbe s^^xmiU — K«i ^^^\% swRpçuiops que
pour réqu^tJQfl de la coqrbp ^qqq^e pfl £|i( « en wqe fonctiqft

En substituant «a=^*(r)dr et ensuite r=c— r^ dans
i'équation ràazurfia^ , on obtient

C-rrr

d«^= ^^'^c-rjdr,^

d'où l'on conclurait par une quadrature a^ en fonction de i-,, ou
tout au moins autant de valeurs approximatives qu'on voudrait
de i'qngie a, correspondantes à certaines valeurs du rayon
vecteur r.«.

)II. Procédé graphique. — Oq peut déterminer deux courbes
primitivea s^ oonvcinant mutuellement par taut autre moyen qui

i64 OMteÀTIQOR. SECT. I, CHÀP. m.

assure que ces courbes, en tournant autour de deux points
fixes^ se toucheront constamment sur la droite menée par les
deux centres de rotation, ou qu'elles rouleront sans glisser
l'une sur Tautre. De cette observation résulte un procédé gra-
phique pour construire Tune des courbes primitives lorsque
l'autre est donnée.

Soit TMM,]!!,... (fig. 72), cette courbe donnée, qui doit tour-
ner autour du point C, et soit C, sur le prolongement de CT, le
centre de rotation de la courbe à construire. On prend sur la
première les points T, M, M,, M,... assez rapprochés pour que
les arcs qui les joignent se confondent sensiblement avec leurs
cordes. On détermine le point M' par la double condition
TM'=TM et CM' = ce —CM; puis le point M', par les condi-
tions M'M',=MM, etC'M',= CC'— CM, ; puis le point M', par
M\M', = M,M, et CM', = CC — CM, ; ainsi de suite. Il
est clair que les deux courbes rouleront sans glisser Tune sur
l'autre.

IV. Courbes déduites les unes des autres. — Remarquons enfin
que, lorsqu'on a construit deux portions de courbes qui satis-
font aux conditions de deux courbes primitives correspondant
l'une à Tautre, on en peut trouver deux autres, en donnant à
celles-ci les mêmes rayons vecteurs, mais en diminuant ou en
augmentant, dans un rapport constant, les angles qu'ils forment ;
de sorte que si a = ^(r) et a, = ^,(r,) sont les équations des
premières courbes, nj3 = ^(r) et nj3, = #,(r,) sont celles des
secondes, qui, en effet, satisfont aux équations rdjS == r,dj3, et
r + r^ = c^ si n est un nombre constant et si /3 et ^^ sont
les angles des rayons vecteurs avec deux axes d'origine corres-
pondants.

126. Exemples. — I. Spirales logarithmiques, — Pour que les
deux courbes se touchent en T (fig. 73), il faut que le prolon-
gement de la courbe OT, à partir de T, fasse avec le rayon
vecteur CT prolongé le même angle que le prolongement de la

COURBES PRIMITIYBS NON CIRCCLAIEBS. 165

courbe TO, avec celui de C,T. Or, un moyen simple de satisfaire
à cette condition, c'est que, en tout point M, la première
courbe OMT, décrite dans le sens allant de O vers T, fasse avec
le prolongement du rayon vecteur un angle SMR qui ait une
valeur constante /3 ; ce qui exigera que la seconde courbe, dé-
crite dans le sens TM,0|, ait la même propriété, c'est-à-dire
que Tangle S.]I1,R. soit aussi égal à Pangle constant |3.

Cela posé, soient le rayon vecteur CM = r et Tangle 0€M =«,
coordonnées polaires de la courbe OM. L'angle SMR a pour

rûcc

tangente trigonométrique •--— . La condition dont il s'agit

est donc

ou, pour préparer Tintégration,

d«=tang/3— ,

et, par suite,

a==î!î5«ilogîl==iîî58ilogl,
loge ^r^ 0,43429 ®r/

r^ étant le rayon vecteur GO, à partir duquel est compté
Tangle a, exprimé par le rapport de Tare circulaire OX, qui le
mesure au rayon GO.

La courbe exprimée par cette équation, et dont une propriété
est que l'angle a est proportionnel au logarithme du rapport du
rayon vecteur r à sa valeur initiale r^, est connue sous le nom
de spirale logarithmique.

Il résulte de là que Ton obtient deux courbes primitives, pou-
vant se conduire l'une l'autre par contact sans glissement, en

166

taifÊlutlQuft. stetT. ti tftit». lit.

prenant deux spirales logarithmique^ ayant pour jpôles les
centres de rdt&tion G et G^ et caractérisées d'ailleuk^ pér te
même angle 0.

Si l'on fait, par exemple, ^'^ = 3 , ce qui correspond

ttpprotitaativéhiellt à tâtig |3 = 1,30, Téquâtioti des cbûtbes
devient

de sorte qu'aux valeurs ci-après de a en progression arithmé-
tique, répondent les valeurs suivantes de — en progression
géométrique :

a = -0,5

-0.4

F -0,3

-o,i

-b.l

^;s-

b.1

o.a

-=0,68l

^"0

0,736

0,794

0,858

0,936

1,000

1,080

1.166

a=0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8 1

0,9

1,0

-=1,259

1,359

1,468

1,585

1,711

1,848

1,995

a,t5i

ce qui permet He cdîiâtt'tilre pat polhW Ik courbe OMT, à
laquelle doit éti^ égè\'é \i èburbè TM.d, décrite en tournant
dans le même sens (dans la figure ce sens est de gauche à droite
|mr-dBssdu8). Quelle que soit là distance des deui pôles oti
«isntres de rotation G et t,, déut ct)urbes ainsi tracées potir un
même angle j3 se conviennent comme courbes primitives. Seu-
lement il sera inutile de {)rolohgé^ aucune des dêUt cout'bes au
delà du point dont le rayon vecteur est égal à la distance Qd^i
II. EllipseSi — Deux ellipses égales AMB...^ AM^Bi..:
(fig. 74), tournant autour de deux foyers F et Fj disposés de
manière que leur di&tance FFj soft égale âtkgrand diaitifetre AB,
roulent l'une sur l'autre sans glisser ) car si Ton eansidère deux

couUtl #Kt]iiTiVÉS ifdÎH ciktiJtiiilBS. IBt

ârbfi égatiit Alkf et AAt, , il est claib que F' ëiâtit le second fôyër
de la prehlière ellifisë, on a M,F, = MF\, et par conséquent
FM+ M ^F, = AB. Ainsi pour deux points M et H, quelconques
sâtttMftaht a i'ë^dlité

^ 1 (dra+r^da2)= f (dr.^+r.W,^)

Otl tt >• H^i ri = d ; on a donc âllssl rda = f-,iâ;.

Dti reste; il éât fàdle de voir, surabondattiment, qile les
atiglë^ deâ dëtix elllt)âëâ en fli et en M, avec les rayons vec-
tèuffe Mfr et li,F,, ont Tégàlité nécessaire t)dlir le contact des
deiii bôurbeâ, à Pihstànt où lesdetii poihtâ ili et At, boïticident.

Dhilà la âilufttidt) indiquée par là flgdlë, le raf^^Jort des Vi-
tesses angulaires autour des axes F et F, est -^ ; et après

une demi-révolution, ce rapport parvient graduellement à la
valeur inVersb

F.fi, tî' A

f¥ "" ¥J^

pdiS il recroît et repasse dans la demi-révolution suivante par
lei taleurs précédentes en ordre inverse.

III. Courbes déduites de t'ellipse. — Traçons (fig. 74) autour
de F divers rayons FO^ Fl, Fâ..., F6 dont les angles sont égaux
éi éqtliialeht ëtisèttlble à deiix angles drbitd. Fdt'mbns un angle
qilëlëdtlt|iié àîh (fig. 75), et divisohs-le en autant d'angles égaux
que nous en avons fait de FA à FB (fig. 74). Portons les lon-
gueurs fO, f 1 , f2...,ir6 respectivement égaies à FO, Fl jF^..., F6.
Prolongeons fa en faisant af, = AF, ; faisons af,b^ =z afb ,
et rét)étoh$ la eotistfuction précédente qui donne la courbe
a54...ib| égale à la courbe iài2...5b. Ces deux courbes for-
ment^ d'aprèâ la remarque IV du numéro 125, deux coiirbes
priitiitives 9 propres; dans leur rotation autour des points

168 CUfÉKÀTIQUS. SEGT. I, GHÀP. m.

fixes f et f| à faire passer graduellement le rapport des vitesses

de la valeur —î- à la valeur inverse -i— ou — .
af ffb af^

Maintenant, pour obtenir deux courbes primitives suscep*
tibles de faire, chacune en même temps, une révolution entière,
aux courbes ai2345b et a5432ib, faisons succéder deux arcs
circulaires bb' autour de f, et b,b', autour de f , , puis deux
courbes b'54324a' et b',12345a', , respectivement symétriques
aux courbes b5432ia et b,i2345a, enfin deux arcs circulaires
a'a et a'.a^ disposons d'ailleurs ces courbes de manière que les
arcs de cercles bb' et aa' de rayons diflérenls soient d'égales
longueurs, chose facile, car en appelant r le rayon fa , r, le
rayon fb = f,a, x l'angle afa' , et y l'angle bfb', on exprime la
condition dont il s'agit par rx = r,y ou (r -+- r,) x = r, {x +y),
d'où l'on tirera x , attendu que la somme jc -f- y , égale à
quatre angles droits, moins le double de Tangle afb^ est
connue.

D'après cela, il est visible, premièrement, que les deux con-
tours curvilignes égaux, a'bbVa et ab^b^a'^a, pourront tour-
ner autour de f et de t^ , en roulant sans glisser Tune sur l'autre,
et se touchant continuellement sur la droite des centres fff^;

secondement, que le rapport des vitesses, d'abord égal à --■ ,

décroîtra graduellement jusqu'à • — , puis restera constant

afj

pendant le parcours de l'angle y pour la première courbe et de

l'angle x pour la seconde, après quoi il repassera graduellement

à la valeur — ^ , qu'il gardera jusqu'à la fin de la révolution

complète.

Ceci n'est qu'un exemple des divers emplois, faciles à ima-
giner, qu'on peut faire des courbes déduites de l'ellipse*

IV. Exemple du procédé graphique. — L'une desjignes pri-
mitives est le contour d'un quarré dont les angles sont ar-

COURBES PRIMITITBS MON CIRCOLÀIRBS. ^ 169

rondis (Bg. 76). Ceci est un exemple du procédé graphique et
général, indiqué à l'article III du numéro 425. Soit ABDEF...
la ligne qui doit tourner autour de G, et qui se compose de huit
parties égales à AB, et symétriques deux à deux. Proposons-
nous de déterminer la seconde courbe, ayant la même propriété
et la même longueur de périmètre, de manière que ces deux
lignes primitives fassent en même temps une révolution entière
partagée en huit parties d'égale durée.

Sur le prolongement de l'apothème GA cherchons le second
centre de rotation G,. Evidemment, ce point ne peut pas être
pris arbitrairement pour satisfaire à la condition que les deux
périmètres soient d'égale longueur. Pour une première approxi-
mation on le prendra en G', en faisant AG' = GB. On con-
struira en conséquence (425) la courbe AM^B^ correspondante
à la ligne mixte AMB, et l'on vérifiera si le point B, se trouve
sur G'b faisant avec G'A un angle AGB, c'est-à-dire un angle de
-45 degrés. S'il ne s'y trouve pas, ce qui dépendra de l'arron-
dissement plus ou moins prononcé qu'on aura adopté en B, on
mènera par B^ une parallèle à G'b qui rencontrera GA prolongé
en un point G'' pour lequel on recommencera la construction
précédente ; et si le résultat donne encore une erreur, qui ne
sera que très-petite, cette erreur même indiquera la correction
à faire pour obtenir plus exactement le centre G, cherché. On
achèvera enguite la courbe AB,D,EjF,..., et à chaque quart
de tour des deux roues en contact sans glissement, le rapport
des vitesses angulaires variera de

AG B£

AG. BC. '

nombres qui, dans la figure 76, sont entre eux à peu près
comme 16 est à 25.

On remarquera que le même procédé graphique et d'essais
successifs s'appliquerait aux cas où la ligne donnée serait un
triangle ou toute autre figure fermée, et à ceux où l'on Voudrait

iiù CtltÉMlflQuit. SEtT. i, câÀP. ilt.

qu*à un tour de cette ligne correspondit un illStnbre elitier
(2,3,...) de tours de la seconde, ou réciprciquem&nt. Si^ par
exemple^ on voulait que, pendant un huitième de révolution
de la figure ABDE;.. ^ la courbe cberchée fit un quart de tour>
il faudrait trouver le centre G. tellement placé que Tangle XCfi^
fût un angle droit.

V. Secteurs circulaires successivement en cantaet. — On peut
remplacer les courbes continues que nous venons de considérer,
par des arcs de cercles qui se succèdent, comme on le voit dans
la figure 77. Autour du centre G sont disposés, par exemple,
cinq secteurs dont les angles sont désignés par a, p, y, dy e et
valant ensemble quatre àDgIes droits. Autour du centre C
sont de tnéme cinq secteurs dont les angles sont «', /3', y\ d', t\
Les rayons de deux secteurs correspondants sont réciproques
à leurs angles; soit a et a\ soit /3 et fi', fliiisi de suite^ et ont
ttne somme cdnstammeilt égale à la diMance des centres CG'.
Il en résulte ({ue les arcs de cei*cles de deux secteurs corres-
pondants sont de même longueur et peuvent rouler sans glis-
sement rtm sur Tautre. Dand ce cas, le rapport des vitesses
angulaires autour de Q et G'; prend successivediedt les valeurs

a_ fi y. jL 1 ?L fetd

a'^W' y" d'' e'' a" '
en passafat brusquenierit de Tiinê à l'autre.

127. Engrenages sabstltiiéiâ aéii eoîi^fiés ^riiftlliirés. —

Lorsque nous avons défini les courbes primitives par la propriété
de rouler Tune sur Tautrè Sans glissement, pendant le mouve-
ment simultané des deux corps auxquels on les suppose adhé-
tentée, ndus n'avons pas dit ()tie tiës coUrbe^ étant prises pour
sections droites de deux cylindres solides, feeux-cl pourraient,
bômme les cyllhdres fclrciilait»es, rettiplir la fonction de rouleaux
de friction dont l'un quelconque petit conduire Tdutrè dans les
détix Sens pdssibleà de sa rotatioii. Les courbes pHtnitives nm

ENGRBNmEd i VITESSE^ fel! àii»tbftt YÂRIÀBLB. 171

. Oitëulaibes tië jo^lissietit pas de bette propriété, ce qtti est mis
fert évidëtide par lei ([jùâtte cas dé là BgUrè 78. Sut* deUx arbres
cylindriqueé; {)duVâht lourilër nîltbui* de lëtirs aies G et fc',
s'enroulent deux cordes attachées, d'ailleurs^ Tune à un corps
BbHt le pdids est P, l'aUthe à Un traîileàU pôHàht bhë fchàt-ge Q.
Atii deUi arbres sôilWliéis respëctivértiëtit délii corjps solides,
appelés icatiies, (:)iii se touchent suivant les jpvoAk ÀB et Â'B'
él){5posës detix cobrbes prilnitiveâ coUjUguées. Dàhs les deux
fcas ihditjuês par les figUires 78^ et 78^, la commuhication
de mouvement de l'un des corps à Tâutre se réalisera, si le
poids P est cônvehïlbleitleht proportiotiné à là charge (?. Dans
le t)^eniier, la camé AB jfioasse à drbllé la cànië A'B' ; datis le
Second, la câhme A'B' pbuàsë Talltre S gauche; dans Tun et
l'ëUli*e ëas; le dor{)s niotëil^ en descendant, tehd là cbrde du
tr&îtieàii et Tëlitrâlhë: Il n'ëti efet pas âlhél dans les deui der-
niers cas : dans celui de la figure 78, , la came AB, en tôiirtiaht
ftéaUëhe^ éë aetâche rà^s glàÈeniertt de Id èartlè A'B'; retenue
ittirtidbilë par la tdt-tie dU ttaInèËtl ! dariS lé bë§ dé là flgùbe 78^,
c'est la came A'B' qui se détache & droite de l'autre restant sans
mouvement. On obvie à cette séparation des deux corps tour-
nants au moyen d'engrenages.

Pour que deux roues dentées produisent par leur contact
tt thétbe l^èlàtibti dé hioUVèiherit ttiië le ëôfatàët de bourbes pri-
mitives, 11 suffit iqUë lës p^bflls des detits soient trébés sbiv&ht
lëS pHncipes dëâ engrenages ordlhàires. Si Tôh se donné 16
profil d'une dent, celui de la dent correspondàttté sùi* Tâutte
roue est Tenveloppe des diverses positions que prend le profil
ddniié pendant qûë là prëttiiête coùlbe primitive i^dUlë feUr la
èëbdhde; db bien si Ton iniaginé tili'uHë bdurtë quelbôntiuë;
(in Cerclé par exemple, t'oille sur les detix bdurbès primitives eti
même tedips c|uè bellës-bi rouléfat Ttiné stir l'autre, tin point
qtieicdtîquë dtî bei'clë atlkiliairè dëbHt, relativement atix déUx
courbes primitives , detîx autres courbés qui conviennetit au
profil des dents ; généralement, pour conserver la relatioii dé

17â CIKfiMATIQUB. SBCT. I, CBÀP. m.

mouvement déterminée par deux courbes primitives, il faut et
il suffit que la normale commune à deux dents en contact passe
à chaque instant au point commun de ces deux courbes.

128. Roues deRoemer. — La figure 79 donne l'idée d'un
système de roue proposé par le célèbre astronome danois
Roemer (4644 à 1710) pour faire varier le rapport des vitesses
angulaires de deux arbres. Les deux axes AA^ , BB, , sont paral-
lèles. Autour du premier tourne un tronc de cône armé dans
toute sa hauteur de côtes saillantes analogues aux dents des
roues d'engrenages coniques. Autour du second tourne un autre
tronc de cône dont le sommet B, est opposé à celui du premier,
et il est garni de chevilles qui successivement viennent se loger
dans les cannelures de celui-ci. Soient r et R les rayons primi-
tifs des bases supérieures , r^ et R^ ceux des bases infé*
rieures.

Lorsque la cheville située dans la base supérieure engrène
avec le cône cannelé, le rapport des vitesses angulaires autour

de AA. et BB^ , est égal à .- ; lorsque c'est la cheville infé-

rieure^ ce rapport devient -^ ; les chevilles intermédiaires

établissent la transition de Tune à Tautre de ces valeurs^ et doi-
vent être disposées suivant une courbe qu'on trouvera par une
construction graphique exécutée sur le développement des
deux cônes primitifs.

Remarques. — Lorsque le mouvement du cône cannelé est
uniforme, le mouvement du cône à chevilles est périodiquement
uniforme, chaque période ayant la durée d'une révolution de
celte dernière roue. Si le nombre des cannelures et celui des
chevilles sont premiers entre eux, la même cannelure est suc-
cessivement en contact avec les diverses chevilles de la seconde
roue.

BNGRBNAGfiS A YITBSSES BK RAPPORT VARUBLB. 173

129- Roue dentée exeentrique et long pignon, de Hnygens.

—La figure SQ représente une disposition applicable au cals où les
deuxaxes de rotation concourent et sont à angle droit. La grande
roue dentée tourne autour d'un axe qui ne passe pas par son
centre. On comprend qu'il est diflBcile de donner à ce genre d'en-
grenage la précision d'un engrenage conique et qu'il ne con-
vient qu'à un mouvement lent.

130. Engrenage intermittent. — A et A' (fig. 81) SOnt les axes
de rotation de deux roues, dont la seconde ne fait qu'une fraction,
par exemple un dixième de tour pendant que la première fait
un tour entier. Si celte condition était la seule à remplir, il suflS-
rait de deux roues dentées ordinaires dont les nombres de dents
seraient dans le rapport de 1 à 10, qui serait constamment
l'inverse du rapport des vitesses angulaires. Mais, dans le système
représenté par la figure 81 , pendant que la roue A accom-
plit^ suivant une loi de mouvement quelconque, les 9/10 de sa
révolution, la roue A' reste immobile, après quoi les deux roues
tournent à la fois de 1/10 de tour. A cet effet, la première
roue A ne porte qu'une dent et est circulaire autour du
centre A, sauf le voisinage de cette dent, tandis que le profil de
la deuxième roue A' présente dix crans séparés par autant d'arcs
de cercle concaves, dont le rayon est égal à celui de la roue A. On
voit clairement que tant que la dent unique de A n'appuie pas sur
l'un des côtés d'un cran de A', cette seconde roue ne peut tour-
ner ni à droite ni à gauche, parce que la convexité de la roue A
s'oppose au passage sur la droite AA' des pointes saillantes de
la roue A'. Mais, lorsque la dent de A tournant, par exemple^
dans le sens de la flèche, vient s'engager dans le cran qu'elle
rencontre, le mouvement simultané dans ce même sens des
deux roues devient possible moyennant les deux creux ménagés
en avant et en arrière de la dent pour laisser passer les deux
pointes de la roue A'; et le mouvement de celle-ci cesse dès que
la dent abandonne le cran qu'elle a fait passer d'un côté h
l'autre de la droite des centres de rotation.

Sur Tarbr^ de la rpue A' est c^lée upe autre roue A, pareilk
il la première A qui engrène avec une roue h\ pareille à A',
dont rarbrpnefail qu'un tour, tandis que celui de la roue \ m
fait iûQ; aiqsi de suite.

151. ||{|9|lYf!»|{e o^ p^pç^if ^^^e e\rf^^^\rp et t{ffe fg^\^é^ ^
e»dre.— fjQUs avQfls vu préc^fJennnent (1Q4) |e piode çjfî \\^\s%
(1 une tige dentée, d\\e cvén\^\\lèv^^ armée de (Je^ts e(epgrfip^i^t
ayec qn^ rpue, qui, lorsqu elle tpqrnfi uï^iforinéraet^l, ^élerqf^ipê
daqs Iftcréiflfiillère pne translation également unifornfle. ]^||fijs '\\
^st so^vept wtilp de ff^ire correspondre 9 "Pe rotation ppîfpvïpfi
HP^ (r^p^latipn yariée, et l'un des c^^ de ce gep^e. qMÎ sp pfô-r
sente ^aps |^ pratique, e§t celui qu'indique lu figure 83. Uq
çylipdrP? donf Vs^xp çs\ projet^ pn q, e^t a^sujeitti à topr-poT
Autour d'un autjre $(xe qui, parallèle a\) prpmier, est projeté
en Ç, Çp p^êmP PXlJpdrfi est çoipp^s e^re deux barres p^ral-?
|è|f s i^4' et ÇB', qui 4>np p^rj Sjont liéps pqtrp eUps ^n AB
fit A'p', poqr fprmer pnp çoulis&çQh il peut ^e naquyoir, sqit qu'il
tpucl^p le^ deu3f l^arre^, pl^acune suiy^p|; upp de§ géppratripes,
spjt qu'il sqU ppveloppp dp deux pop^sjpetg fprm^pt une SQrte
{je boîte rectangulaire, qpi elle-ipêrpe gjisise daps l£| coulisse
§H»vap| des^ faces p^nps. D>ptrp p^pt ^ cppU^SP fajt çprps sp}id#
^veç les deux partips pF e\ qp d pnp tjgp assujettie p^ç fipi
guides à pp se mpHvoir qp'en ligpp drpjtp, pe^pepdicul^irppftpftl
a^x axps ç, p, et fiux f^ce^ de 1^ coulisse,

l^qr^qup^ Ç9^m dap§ jp pas de la figure 8?;, l'qxe Ç fie trpuye
hqr8 dlî eerplp O, Ip corps solide qui lie le pyljpdrp q p uq ^Y^
Jpqrp^nt autour de l'axe Ç s'appelle pnp mc^nivelle.

Une maqivplle, dans sa plus grande sirppliçité, p§t yne peti|e
barre ordinairement pp fpr q^ §p Qj^p p^f pQ |j(9jjt | r§j:tîéwité

MAHIVllXE QÇ inçÇBfïWQP» J? TOP ftUIDÉB. ITI

4'uq arbre iQuroant, à peu près perpendiculairement kVaxe de
fpmîpn, en dehors de Tintervalle des appuis, et qui, à Tautro
^pqf,est rfipli^^ par^Uèlernent ^ T^irbrei sou^ form^ d'un manche
cyljndriqqp sur l^quej on agjt de la n\m pour faire tourner
r^r|)re. Le ifl^nche e^t spuvent r^j^plaçé par un cylindre court
appelé bouton ou man^/on et embrassé par des coussinets, lesquels
tantôt glissent dans une coulisse, comme on vient de le voir,
tSptût sqnt fixés k Textr^n^ité d'une tige appelée kieUe et desti-
née ^ ^gir m 1^ manivelle qq i| recevoir SQU aetion.

Quelqpefqis |a f^arre c|e 1^ ruf^flivelle e^t trèsrcopvenablemeni
rempl^pép par upe roue eq{jèfe qui» pouvîint d'ailleurs avoir
ppe 3Htre fpqctJQn, comme roue 4'eugreRîige qu autre, porte le
f)Qpto|i fi^é 4^ns l'un 4e ^e§ bras, perpendieulaire h son plan
de rQ|atiqq.

(iQrsque |a îpgniyeUe doj^ faire upe révolution entière et
gp'elje est placée ^anç rintervalle ^es ?ippuis de l'arbre tour-r
pant, pn eiPpI^i^ V^^ne ()eP deux dispqsitiqqs ^uiv^ntes ;

X^ntOt le raypn du bou^pp e§t seuçjblen^ent plusi petit que la
distance fje l'^xe de rpt^tjon i( ç^l^i du boutop ; Tarbre est alorf
cqudéi et il pput y ayqir up qqpïbre illimité de telles ipanivellei
sur un même arbre.

T^Pt^t le rjyop dq bqqtpq e^pède la sepipie M br^s CO de
la raqpjyelle pt flu rftypq de T^rbre ; |^ fqrrpe de manivelle disr^
p^rfitt '^Ipr^, qppique la fonptipp subsiste. \je boutpn prend le
ïiQVH (l'çiçcenfr/j'Me (irc\iiqirfy et, Vî! e^t articulé à une bieUa,
Ç5§lle-pi se terq^jpp par pq anneaq qui l'eRibr^s^e et s'appelle
àqjiue (feo^ççntrique.

Si daq§ ja figura 8?, nous rerpplaçqn^ jp bputqn par PP e:|T

ppfltnqqe, r^pp^rpii prend raspept ipdiqué par la figure aa,

Q\i Q est Je ççntre dg fiçprp (}e l'expentçique pt C mxk peptre de
FQtfttjqp,

pans, le^ deu}( cas, le pepfre O reste tpujûur^ sqr \^ H9n$
moyenne MM de la coulisse, et, pendant qu'il tourne autpur du

476 cmteÀTiQUB, sbct. i, chàp. m.

rectangulaire du point O sur un diamètre de la circonférence
quMi décrit. Ainsi, par exemple, lorsque Tarbre et le point
tournent uniformément autour de G, un point quelconque de la
ligne UN et par conséquent de la tige, a le mouvement oscil-
latoire cité comme exemple du mouvement varié aux nu-
méros 16 et 19.

i32« Exeentrlqve trluiciilalre et tl^e guidée. — On appelle
excentrique triangulaire un plateau cylindrique de peu d'épais-
seur dont le profil ou la section droite ABC (fig. 84) se compose
de trois arcs circulaires égaux ayant pour centres les trois som-
mets d'un triangle équilatéral, et pour rayon le côté. Chacun
de ces arcs est donc i/6 de circonférence. Cette pièce est fixée
en saillie à l'extrémité d'un arbre tournant dont Taxe de ro-
tation perpendiculaire au plan du triangle passe en Tun des
sommets. Deux droites parallèles quelconques qui touchent
cette figure sont toujours entre elles à une même distance égale
au rayon des trois arcs. Cette distance est celle de deux côtés
parallèles d'un cadre qui embrasse l'excentrique et qui est assu-
jetti par des guides à ne se mouvoir qu'en ligne droite, perpen-
diculairement à ces deux côtés.

Soient UN et PQ ces deux côtés du cadre ; C est le centre de
la rotation qui s'effectue dans le sens indiqué par la flèche.

Pendant que le sommet mobile le plus avancé se transporte
de B en D, l'arc qui se déplace de Cb en CD pousse de PQ en
P'Q' le côté antérieur du cadre qui lui reste tangent, et par con-
séquent toujours à la même distance en avant du second som-
met mobile qui se transporte de A en B. Dans le premier tiers
de la demi- révolution le mouvement du cadre est donc celui
de la projection sur AE du sommet A par lequel, d'ailleurs,
passe continuellement pendant ce temps le côté situé d'abord
en MX ; le cadre s'avance ainsi de la moitié du rayon AC, vers
la droite.

Dans le second tiers de la demi-révolution le sommet le plus

EXCBKTRIQDBS. 177

avancé allant de D en E pousse le côté antérieur de P'Q' en
P'^Q", en lui faisant décrire des espaces égaux à ceux que par-
court en même temps sa projection sur AE, pendant que le
second côté du cadre reste tangentàl'arc de Texcentrique opposé
à ce sommet.

Enfin, dans le troisième tiers de la demi-révolulion, les deux
sommets mobiles comprenant entre eux le point de tangence
du côté du cadre parvenu en P''Q" , celui-ci reste immobile.
Pendant l'autre demi-révolution, les mômes faits se reprodui-
sent dans le même ordre, mais en sens inverse.

Dans les deux premiers tiers de chaque période, la vitesse du
cadre (16] est à celle d'un sommet mobile de l'excentrique
comme l'ordonnée, par rapport au diamètre AE , du sommet
qui parcburt soit Tare AB, soit Tare DE, est au rayon AG.
De croissante qu' elle était, elle devient brusquement décrois-
sante, jusqu'à ce qu'elle soit et reste nulle. Il y a temps cTarrêt
pendant 1/6® de révolution de Texcentrique.

f 53. Généralités sur les excentriques menant nn cadre
a bords parallèles. — G (fig. 85) étant l'axe de rotation
et TA le côté tangent supérieur du cadre, si Ton suppose
la rotation dans le sens de la flèche, pour savoir quel chemin
aura fait le cadre quand l'excentrique aura tourné de Tangle
a =z M'€M , il faut mener la tangente T'A' perpendiculaire à
CM^ , et comparer les distances GA' et GA dont la différence
est le chemin cherché. Si les tangentes opposées parallèles sont
toujours à la même distance, le mouvement alternatif du cadre
est formé de deux périodes égales et opposées. En effet, de
C;A-(-CB=GA'+GB' il résulte GB -GB'=GA'— GA; donc
à partir de l'instant où, l'excentrique ayant fait une demi-révo-
lution^ CB aura pris la direction primitive de GA, si un angle a
est alors décrit, le cadre baissera autant qu'il aura monté pour
le premier angle a.

Lorsque, outre cette condition de l'égalité de dislance des

178 CINÉMATIQUE. SECT. I^ CHÀP. TH.

tangentes parallèles, Texcentrique est formé de deux moitiés
symétriques, chaque période d'aller et de retour est aussi com-
posée de deux moitiés symétriques, c'est-à-dire que la course
entière du cadre étant «ft, il met le même temps à parcourir
les espaces égaux am et nh ; car la première condition lui fait
mettre le même temps à revenir de 5 en n qu'à aller de a
en m; et d'après la symétrie, il met le même temps à aller de
n en ft qu'à revenir de h en n. L'excentrique circulaire et
le triangulaire sont dans ce cas ; pour l'excentrique triangu-
laire, les deux périodes commencent et finissent au milieu des
temps d'arrêt.

Si les deux demi-oscillations ne sont pas égales en vitesse, le
cadre ne peut pas toucher l'excentrique par ses deux bords, et
Ton fait en sorte qu'il le presse continuellement dans le même
sens, en vertu, soit de la pesanteur, soit d'un ressort.

134. Came et tige guidée. — Il arrive fréquemment qu'une
tige, d'abord en repos, doit être mue en ligne droite dans un
certain sens, en surmontant une certaine résistance, au moyen
d'un arbre tournant, et ensuite ramenée, en un mouvement
rapide et contraire, à sa première position par la libre action de
la pesanteur ou d'un ressort, indépendamment de Tarbre qui
continue de tourner toujours dans le même sens. Tel est un pi-
lon qui est alternativement soulevé verticalement par une pièce
saillante, dite came, implantée dans un arbre tournant horizon-
tal, puis abandonné à l'effet de son propre poids qui le fait re-
tomber. Tantôt, pour recevoir l'action de la came, le pilon est
armé d'un corps saillant dit mentonnet^ tantôt, ce qui vaut
mieux, il présente à l'intérieur de sa figure prismatique une
rainure ou entaille dans laquelle la came s'introduit tout le
temps qu'elle agit sur le pilon.

Lorsque, supposé que l'arbre à cames tourne unifornaément,
on veut que pendant le contact de la came et de la tige gui-
dée, celle-ci ait aussi sa vitesse constante, cette relation de

EXCENTRIQUES. 179

mouvement est précisément celle qui a lieu dans la crémaillère
mue par une roue dentée, et la détermination de la figure de
la came poussant un mentonnet plan suit la règle établie au
numéro 104.

Si, au contraire, on veut varier la vitesse de la tige, en la fai-
sant d'abord assez petite pour atténuer le choc initial, il suffit,
en donnant au mentonnet ou à Tenlaille de la tige le profil
rectiligne, perpendiculaire à la direction du mouvement, de
traiter la came comme une portion d*excentrique et d'appliquer
les considérations du numéro précédent.

Soit, par exemple, ABDE (fig; 86) le profil d'une came
tournant, ainsi que son arbre, dans le sens de la flèche avec la
vitesse angulaire iv autour de Taxe horizontal G, et pressant
la face plane horizontale AH , qui appartient à la tige verticale.
A cet instant initial du contact, la tige vient d'acquérir brus-
quement la vitesse linéaire wAC. Si cette courbe ABDE
était la développante Aa du cercle dont le rayon est CA , la
tige continuerait à s'élever avec cette même vitesse, et le point
de contact des deux profils serait continuellement sur la verti-
cale passant en A. Mais le profil de la came a pour développée
de A en D la courbe AM, qui s'éloigne du centre C, et de
D en £ la courbe De, qui se rapproche de ce même centre.
Il en résulte que le mouvement de la tige est varié. Lorsqu'uD
point tel que B arrive au contact avec le mentonnet, la nor-
male Bb devient verticale; le rayon Cb, qui lui est perpen-
diculaire, est horizontal ; la lige s'est alors élevée de la lon-
gueur Bb transportée en B,b, ; sa vitesse est à cet instant
égale à tuCb , et l'arc parcouru, proportionnellement au
temps, par le point A de la came est égal à b'A . De même,
lorsque le contact a lieu au point D de la came, la normale Dd
devient verticale; le rayon Cd devient horizontal j la tige est
à la hauteur Dd au-dessus de sa position initiale, de sorte que
le point D de contact est parvenu en D, , et le mentonnet est
en AgO^ ; sa vitesse est alors tu«Cd, et Tare parcouru par le

iSO CINÉMATIQUE. 8BCT. I, CHAP. m.

point A de la came est Ad'. A partir de cet instant, la vitesse
de la tige diminue, parce que depuis D jusqu'à E la normale
se rapproche de Taxe C. Lorsque, enfin, le contact a lieu au
point E de la came, la normale Ee est verticale, le rayon Ce
vertical, de sorte que les deux points primitivement en A sur
le menloiinet et en E sur la came, se trouvent confondus en
A,. La vitesse du mentonnel redevient w Ce = wCA, l'espace
qu'il a parcouru est égal à Ee, tandis que l'origine A de la came
ne s'est déplacée que de l'arc Ae. Immédiatement après, la
came échappe, et le mentonnet et sa tige sont libres de retomber.
Cet exemple suflSt pour faire comprendre comment, à l'aide
de quelques essais, on trouverait le profil convenable pour la
came qui devrait satisfaire à des circonstances données d'élé-
vation et de temps. La figure 85 n'indique qu'une seule came,
mais on en place ordinairement sur le même arbre plusieurs
qui soulèvent successivement la même tige.

155. Excentriques on cames à. ondes menant une tige
guidée & roulettes (fig. 87). — Les considérations duj nu-
méro 142 s'appliquent à ce mécanisme en substituant aux
distances entre l'axe de rotation et les tangentes, les rayons
vecteurs partant de cet axe et aboutissant à une courbe qui
serait décrite par le centre d'un galet circulant sur celle de l'ex-
centrique. Ainsi^ lorsque deux galets touchent constamment
(la somme des deux rayons vecteurs opposés étant constante),
les deux demi-oscillations, l'une allant, l'autre revenant^ suivent
la même loi pour les espaces et le temps. Lorsque^ en outre,
l'excentrique est formé de deux parties symétriques, une sy-
métrie analogue a lieu dans chaque demi-oscillation.

Ce qui distingue ce mode de communication^ c'est que la
courbe de l'excentrique peut avoir des parties concaves.

Came en cœur (fig. 88). — La courbe est une spirale d'Ar-
chimède; la translation de la tige guidée est uniforme et alter-
native en même temps que la rotation de la came.

EXCENTRIQUES. 181

Si ie mouvement de la tige ne se compose pas de deux demi- t

oscillations égales, on n'emploie qu'un galet (fîg. 89) ou bouton li

circulant dans une coulisse fixée à l'arbre tournant, i

En général, les temps d'arrêt plus ou moins longs répondent
aux parties circulaires de l'excentrique ayant leur centre dans
l'axe de rotation.

L'inconvénient grave des excentriques, c'est le frottement
souvent considérable des deux pièces dont l'une conduit l'autre.

156. Bouton 9 excentrique ou eame en contact avec un
autre corps tournant. — Deux corps tournants OU oscillants
autour de deux axes fixes peuvent être en communication au
moyen d'un bouton de manivelle glissant dans une coulisse, ou
par l'emploi d'un excentrique ou d'une came qui, fixée sur
l'un des deux corps, agit sur une surface adhérente à l'autre.
On verra dans la seconde section plusieurs exemples de cette
liaison dont la théorie, d'après les explications qui précèdent,
n'offre aucune difficulté.

§8.

LIAISON DE BEtTX CORPS SOLIDES TOURNANTS PAR L^INTBRMÉDIAIRB
d'un TROISIÈME CORPS SOLIDE OU PLEXIBLE.

io DEVZ SOLIDE» TOURNANTS LIÉS PAR UVE BIBLLB.

157. Propriété générale de cette liaison. — Chacun des
corps extrêmes est assujetti, soit à tourner autour d'un axe
fixe, soit à se mouvoir en translation rectiligne (cas particulier
de la rotation) ; une bielle ou barre rigide est articulée en deux
de ses points avec deux points invariables des corps extrêmes.
Chaque articulation, analogue à l'assemblage à rotvle d'un pied
Je graphomètre, permet à la bielle de tourner en tous sens,

182 CmÉMÀTIQUE. SECT. I, CHAP. III.

relativement à Fun des corps extrêmes autour d'un de ses
points, dit centre de P articulation.

Les vitesses des deux centres d'articulation , situées sur une
même bielle, ont à chaque instant la relation remarquable qui
a été démontrée au numéro 37. Ainsi, les projections rectangu-
laires des vitesses de deux centres d'articulation^ sur la direction
actuelle de la droite qui joint ces deux points, sont égales et de
même sens.

Dans le cas particulier, le plus fréquent dans la pratique^ où
les axes de rotation sont parallèles et les centres d'articulation
dans un plan perpendiculaire à ces axes, on sait (55) quelle est,
dans chaque position donnée du système, la relation simple
entre les vitesses angulaires des deux corps tournants, on (56)
entre la vitesse angulaire de Tun et la vitesse linéaire de l'autre,
si celui-ci est en translation.

158. Balancier à bride. — Le cas d'une bielle qui oscille
dans un plan mérite une étude spéciale, à cause de ses appli-
cations dans beaucoup de machines à vapeur. Un corps solide
appelé balancier, analogue au fléau d'une balance et représenté
simplement par la droite OA (fig. 90), oscille autour d'un axe
fixe projeté en O, et que nous supposerons horizontal, C est
un second axe fixe parallèle au premier, et sur lequel oscille un
second système solide CB appelé contre- balancier ou onde,
formé de deux pièces qui laissent entre elles un intervalle,
comme les deux rênes d*une bride de cheval, et qui sont symétri-
ques par rapport au plan milieu du balancier pris ici pour plan de
la figure. AB est un autre système de deux pièces symétriques,
formant un lien articulé à charnière d'une part suivant la droite
projetée en A , sur le balancier AO , et d'une autre part siri-
vant la droite projetée en B , sur les deux parties de la bride ; i
les deux pièces du lien laissent entre elles un intervalle moin- '
dre que celui des deux pièces de la bride, de sorte que celles-
ci embrassent le lien de même que les deux pièces du lien em-

DEUX CORPS TOURNANTS LIÉS PAR UNE BIELLE. i83

brassent le balancier OA. Enfin, en M vers le milieu delà
distance AB et entre les deux pièces du lien est articulée la
tête d'une lige qu'il s'agit de faire mouvoir à très-peu près en
ligne droite. Dans la figure 91, le balancier OA , la bielle BG
et le lien AB sont supposés développés parallèlement à un
plan. Sauf les détails de construction dont nous n*avons pas à
nous occuper ici, les figures suâSsent pour faire voir que le
mouvement de la tête de la tige revient à celui d'un point H
pris sur uiie droite AB de longueur constante dont les deux
points A et B sont assujettis à se mouvoir sur deux circon*
férences décrites dans un même plan, autour de deux centres
fixes, O et G.

La courbe complète qui serait décrite par le point II , si on
supposait à la droite AB toutes les positions possibles, a sa
forme analogue à celle du chiffre 8 dont le point multiple est
sur la ligne des centres OG , et chacun des deux arcs qui s'y
croisent diffère peu d'une ligne droite aux environs de ce point.
C'est un de ces arcs que parcourt le point M , tandis que le
point A du balancier oscille entre deux positions extrêmes.

Le centre O étant connu, ainsi que la longueur OA du ba«
lancier et les deux parties AM et MB de la longueur du
lien AB, on pourrait se donner trois positions possibles et
d'ailleurs quelconques M^, M, et M^, du point mobile M, en
ligne droite ou autrement, et déterminer le centre G et le rayon
GB de la bride, de manière à faire effectivement passer le point
M par ces trois positions ; car ces données suffiraient pour trou-
ver très-facilement les trois points A^, A, et A, correspon-
dants de Tare circulaire A^A^, puis les points B^^, B, et B,, et,
par suite, le centre G.

17^9. Règles pratiques applicables aux balanciers des
maeiiiues & vapeur. — Watt a Utilisé les propriétés dont nous
venons de parler, pour guider presque exactement en ligne
droite l'extrémité supérieure de la tige d'un piston de machine

i84 CmtaATIQUB. 8KCT. I, CHAP. m.

à vapeur. Pour énoncer les règles qu'il a adoptées, désignons
par A^ et A, (fig. 92) les deux points extrêmes, et par A, le
milieu de l'arc circulaire décrit par l'articulation A du balan-
cier et du lien. Nous exagérons cet arc comparativement au
rayon, afin d'éviter, dans le reste de la figure, la confusion de
certains points qui, en réalité, sont fort rapprochés. A ces trois
points A^, A, et A, correspondent trois points M^, M, et M,
de la courbe décrite par le point M du lien^ Cela posé, les
quatre règles suivies par Watt sont les siîivantes :

Première règle, — Les trois points M^ , M, et M, sont pris
sur la droite passant au milieu D de la flèche A,P, et perpendi-
culaire à cette flèche.

De là deux conséquences qui deviennent évidentes, si Ton
trace la droite M,P : la droite M^M, est égale à la corde A<>A,. et
le point M, est son milieu.

Deuxième règle. — Le point mobile M est placé au milieu du
lien AB«

II en résulte que, les points B^, B, et B, désignant les trois
positions de l'articulation du lien et de la bride, premièrement,
les deux extrêmes B^ et Bj sont sur la droite menée par A^, paral-
lèlement à la corde A^A,, et leur distance B^h^ est égale à cette
corde ; secondement, le point intermédiaire B^ est sur la même
corde prolongée au besoin^ et sur la droite QB^ menée perpendicth
lairement à B^,Bj, par son milieu Q. D'où il suit que le triangle
isocèle B^B^B, est égal au triangle A^A,A, ^ l'arc circulaire
B„B,Bj a donc son centre C sur B,Q prolongée, et a son rayon
égal à OA •, de sorte que, si l'on projette en H, le centre C sur OA
prolongée y le point D, milieu de la flèche, est aussi le milieu de OH.

D'ailleurs, la distance GH égale à B^P est l'un des côtés de
l'angle droit d'un triangle rectangle dont Thypoténuse est la
longueur A^B^ du lien , et le troisième côté la flèche A,P.
C'est ce que nous exprimerons par la formule :

BALANCIER A BR1DB. 185

Une autre conséquence des deux premières règles de Watt,
c'est que, comme la figure 93 le montre clairement, la courbe
M^MfM, a son point milieu M, sur la droite des centres CO,
point qui est un centre de la courbe, composée, entre M^ et M,,
de deux moitiés égales, situées, l'une du côté droit, l'autre du
côté gauche de Taxe rectiligne M^M,. D'ailleurs, cette courbe
a sa tangente en M, dirigée suivant ce même axe, parce que, à
rinstant où le point décrivant est en M, Jes articulations A et B
sont en A, et B, , d'où il suit que le centre instantané de rota-
tion du lien, qui, en général, est à la rencontre des rayons OA
et CB, se trouve dans ce cas à l'infini sur une perpendiculaire
à M^M, ; en d'autres termes, tous les points du lien, à cet in-
stant, se meuvent parallèlement à cet axe. Donc la courbe, pas-
sant tangenliellement de gauche à droite de M^M,, a une in-
flexion en M f ; et, comme elle passe aussi en M^ et en M, ,
elle a deux autres inflexions. Tune entre M, et M^, l'autre
entre M^ et M^^. La figure 93 représente, en l'exagérant trans-
versalement, la forme de cette courbe. ^

Troisième règle. — La distance OH, double de la distance OD
de chaque centre de rotation, O ou C, à la droite M^M, prolon-
gée, est faite égale au triple de la corde A^A, ou des droites M^M,
^^B,B,

De là des relations également simples de la flèche A^P et du
rayon AO avec la corde A^^A,.

Posons

A^A, = c, A,P=/;

La troisième règle de Watt s'exprime par

a = 3e
OU

l(«-0=3c,

186 CniÉKÀTIQUB. SBGT. I, CHAP. UI.

De plus A^P ou ' est moyenne proportionnelle entre f et
iR—f:

Donc

Par suite

^ = 3c/, d'où f=l^

37
Jl = — c .
24

Si i'on veut exprimer les longueurs e, fet a en fonctions du
rayon l{, oo a

'' = 37«' ''=37'» ^» ''=[^-37J''-
Il résulte encore de la troisième règle que le sinus de Tangle

-c 42

A^OA,. Par suite, en général 2__^ est égal à ^ d'où il suit

que cet angle est de 18° 55' 28".

Quatrième règle. — Une cinquième quantité qui peut varier
indépendamment des quatre précédentes, c'est la longueur AB
du lien ; Watt la faisait égale au plus à la corde c, et au moins aux
6/7 de cette corde.

140. Calcul des eoopdonnées de la eoarbe de ViTatt. — Les

moyens graphiques seraient absolument insuffisants pour con-
stater combien peu la courbe décrite par le point mobile M

CALCUL DES COORDONNÉES DE LÀ COURBE DE WATT. 187

s'écarte de la droite M^M^. On y parvient par le calcul numé-
rique des coordonnées de cette courbe rapportée à deux axes
rectangulaires. Nous allons indiquer, pour faire ce calcul, uu
procédé un peu long mais facile. Nous poserons d^abord, sous
leur expression générale, les formules à appliquer, dans les-
quelles on introduira les données conformes aux règles de
Watt, ou d'autres qu'on voudra essayer.

O et C (fig. 94) étant les centres de rotation du balancier et
du contre-balancier^ nous menons par O deux axes rectangu-
laires Ox et Oy, et par A une parallèle AQ à Ox ; et nous
posons :

Myon OA = /l I lien AB = 1 ] les coordonnées C OH = a
rayoD€S=:r jdistanceARIssnf | du point C \ CH. = h

ce sont six quantités constantes^ supposées connues.
Nous posons en outre

, (AOx=:alCAB=^|. ^. (AC = 3116 périmètre )

lesanglesj^^ ^^|^^^ ^|les distances j^^J^^ ^^ A.cr*'

Ce sont sept variables auxiliaires à joindre aux deux coor-
données X et y du point M, variables principales.
On a successivement, d'après la figure.

X = il cos oc + nl cos y

y =z — jR sin a-^ ni sin y

2 y Alz

p = Z+ r + z
u
"^sîïTi

tang e =

a — R cos (X
u=zh'^Rs\na

équations qui permettent, en remontant de la dernière gux
deux premières, de calculer x et y quand on se donne a.

188

CIRÉVATIQUB. 8BCT. I, CHAP. m.

Exemple conforme aux règles de IVatt. — Les rayons R et
r étant égaux ^ prenons leur longueur pour unité. Choisissons
Taxe On suivant la position moyenne OA, du balancier. Faisons

(2* règle) ni= - et (4« règle) /=:c ; par conséquent (3» règle)
1 = ^, nl=:^ et « = S. Enfin («• et 3* règles)

h =1/1^ ^/^ = ll/ï^^) - 4 = 1 J/

443.

En attribuant à a diverses valeurs entre z^roet 18® 55' 28''
(3« règle), on trouvera les valeurs correspondantes de x et de y.
En comparant chaque valeur de jc à la distance CD égale à

— = 0,972 973 , on aura en une fraction très-petite du rayon

la distance du point cherché de la courbe à la droite M^^M, ; et

la différence -^k-^y sera la distance du même point à la

droite perpendiculaire à M^M. , menée par le point central M,.
C*est ainsi qu'ont été obtenus les résultats consignés dans le
tableau suivant :

ËCARTBMENT

DISTANCE

ËCARTEMENT

DISTANCE

ANGLE.

ANGLB.

.-0,

5-1/

5-^

j-y

0,000 000

0,000

0,000 278

0,2i0 8

0,000 025

0,086 9

UO30'

0,000 282

0.249 3

lOo

0,000 158

0,172 7

0,000 281

0,257 8

110

0,000 19i

0,189 8

0.000 265

0,274 7

120

0,000 228

0,206 8

0,000 217

0,291 7

130

0,000 258

0,223 8

0,000 128

0,308 6

13030'

0,000 268

0,232 3

18o55'28'

0,000 000

0,323 2

Ces nombres, qui permettent de construire la courbe de la

CALCUL DES COORDOMNfiES DE lA COURBE DB WATT. 189

figure 93, où les déviations horizontales sont amplifiées au
' centuple^ comparativement aux distances verticales, montrent
que le maximum d'écartement est, à un millionième près, égal
à la fraction 0,000282 du rayon OA, et qu'il a lieu à peu près
aux 3/4 de la distance du point central M^ au point extrême M..

Remarques. ^ Quelque petite que soit la déviation de la
courbe qui vient d'être étudiée, on pourrait la réduire encore.
Rien n'empêcherait, en conservant les deux premières règles
de Watt, de s'écarter de la troisième et de diminuer le rapport
de la distance M^M, aux rayons OA et GB, rapport qui semble
n'avoir été préféré par Watt qu'à cause de l'avantage qu'il offre,
quand la course M^M^ est donnée, d'exprimer très-simplement
la distance OH qui en est le triple, et la flèche f qui en est le
douzième, et, par conséquent, contient autant de pouces et de
lignes que la course contient de pieds et de pouces.

Du reste, en diminuant l'intervalle des deux points extrêmes
M qM, en ligne droite avec le point milieu M^ , on pourrait con-
server la longueur de la course égale aux 24/37 du rayon R, d'où
il résulterait que la courbe se prolongerait un peu en dessus et
en dessous des points M^ et M, , mais en s'écartant moins que
la courbe de Watt de Taxe rectiligne passant par M,.

141 (*)• Propriété du pantographe* lemme applicable au
numéro sniirant. — abBA (fig. 95) étant un parallélogramme
articulé en ses quatre sommets, de sorte que les angles peuvent
varier simultanément; st, sur trois côtés consécutifs ab, a A, AB,
prolongés selon le besoin, on prend trois points m, M, O, en ligne

(*) Bien que les numéros lit ei 142 traitent de cas qui ne sont pas com-
pris sous le titre du paragraphe 5, puisquMls coSsidèrent.run, une liaison
de quatre corps, et l'autre^ une liaison de cinq corps mobiles, néanmoins
les propriétés qu'ils déraontreiii se rattachent si ttroilement à l'emploi du
simple balancier à bride, quMI parait convenable de ne pas les séparer des
articles précédents.

i90 CmÉHATIQDB. SECT. I, CHÀP. ni.

droite t et d'ailleurs quelconques ; et qu'on fasse mouvoir cette
figure plane, en maintenant fixe Tun de ses points j O, par exemple,
et en assujettissant un des deux autres points à décrire une cer-
taine courbe j telle que MM'; le troisième point m décrit une se*
conde courbe mm' semblable à la première ^ et semblablement placée
relativement au point O, pôle commun de similitude.

En efiet, de ce que les points m, M, O, sont en ligne droite,
il s'ensuit que les points m', M, O, satisfont à la même condi-

tion, puisque de même que ^ = ^ on a ;^ = £§;

par conséquent^ le rapport des distances variables Om' et DM'

^ , ^ Oa' Oa

reste constant, étant égal à r-r-, ou —-- .
' ^ OA' OA

Un pantographe est formé de quatre règles aO, ab, AB, 1>B

articulées aux quatre sommets a^ b, B, A d'un parallélogramme.

On assujettit Tune des règles à tourner autour d'un axe immo*

bile O; on fixe en m et M en ligne droite avec O, deux pointes,

Tune sèche, l'autre traçante ; on promène la pointe sèche sur

une ligne donnée, située dans un plan perpendiculaire aux axes

d'articulation et de rotation ; l'autre pointe trace dans le même

plan une figure semblable; le rapport de similitude est celui

de OA à Oa.

142. Parallélogramme artienlé de Watt.^Si OAa (gg. 96)

est un balancier, GB une bride assujettissant le point M du
lien AB à décrire une courbe presque droite, en achevant le
parallélogramme articulé AabB, on obtient en m, à la rencontre
de ab et du prolongement de la droite OM, un point qui dé-
crira une courbe semblable à la première, presque droite, mais
plus grande dans le rapport de Oa à OA. Les deux points M
et m serviront donc à guider deux tiges parallèles. Tel est, en
effet, l'usage de cette disposition dans certaines machines à
▼apeur.
Pour faire connaître les règles pratiquées par Watt, inventeur

PÀRÀLLÉtOGRAHMB ARTICULÉ DE WATT. i9i

de cet appareil, ilsuflSl d'ajouter à celles du numéro 138, qu'on
fait ordinairement OA = Aa en même temps que AM = MB,
Il en résulte :

!<" Que le point m, se confondant avec b, est un sommet du
parallélogramme ;

2^ Que la courbe nio™*™» ^ longue inflexion qu'il décrit est
double de celle M,,M,M, que parcourt le point M, et est à une
distance double, de Taxe de rotation O;

3® Que, par conséquent, la droite m^m, passe par Taxe de ro-
tation C; et, comme le point M, est sur la droite CO (138 1»)^
il s'ensuit que m, position moyenne de m, y est aussi et consé-
quemment en G ;

4^ Que la course m^m^ double de M^^M, ou de A^A, est égale

2
aux ' de la dislance du centre O à la droite m^'ot^;

5* Que le rayon Oa du balancier est égal à cette course mul-»
tipliée par (- + -);

6* Que la flèche de Tare «o*!*» décrit par l'articulation a
i
est — de cette même course a^a; ou m^^ .

145. Joint brisé oa unUersel. — Ce mécanisme (fig. 97),
qu'on appelle aussi /oin/ de Cardan et joint deHooke^ établit une
communication de mouvement entre deux arbres tournants I
et K dont les axes fixes concourent en O. Ces deux corps sont
liés entre eux par un troisième corps MNinii, dît croisillon^
portant quatre tourillons, dont deux, M et m, ayant un même
a^e qui passe par O^ tournent sans glisser longitndinalement
•dans des ouvertures pratiquées aux extrémités de deux bran-
ches adhérentes au premier corps, et les deux autres, N et n,
dont Taxe commun passe également par le point O et est
perpendiculaire à Taxe Mm, tournent sans glisser longitndina-
lement dans deux ouvertures ménagées aux bouts de deux
branches faisant partie du second corps*

i92 CmÉMÀTIQDB. SBCT. I, CHAP. m.

Proposons-nous de trouver la relation des déplacements angu--
laires simultanés des deux arbres à partir d'une position déter-
minée, par exemple celle où l'axe Mm est perpendiculaire au
plan fixe lOK, tandis que Taxe Nn est dans ce plan.

Supposons que le premier arbre tourne autour de OI d'un
angle a (en avant du plan lOM) ; le rayon OM vient en OM',
Fangle MOM' est égal à a et son plan est perpendiculaire à
Taxe OI. En raéme temps, le rayon ON est venu en ON', en
décrivant un angle XOX' que nous désignerons par j3, et dont
le plan perpendiculaire à OK contient par conséquent la droite

OM» de sorte que l'angle MON' est égal à ^+ 13', de plus,

l'invariabilité du croisillon fait que Tangle M'ON' est droit.
Ainsi les trois faces ou angles plans de Fangle trièdre formé des

droites OM, OM' et ON' sont a, ^ + /3 et -. Enfin,

Tangle dièdre M'OMN'^ compris entre deux plans respective-
ment perpendiculaires aux axes OI et OK,a pour mesure l'angle
aigu PON, que nous désignerons par J^ et qui est supplément
de l'angle obtus lOK de ces deux axes. Cela posé, il ne reste
plus qu'à appliquer la formule connue de trigonométrie sphé-
rique, qui établit la relation entre les trois angles plans a, b, e
d'un angle dièdre et de l'angle dièdre A opposé à la face »,
savoir :

cos a = cos 6 cos c H- sin b sin c cos A
en faisant « = 5 , ft = « et c = |3-f- -, ce qui donne

= — cos a sin /3 + sin a cos j3 cos -^ ,
d'où la relation cherchée :

tang /3 = tang a cos ^ .

JOmT BRISÉ OU imiVBRSBL. i93

Les angles /3 et a sont donc en même temps nuls et en même
temps droits, mais inégaux dans l'intervalle. La transmission
de mouvement serait impossible si l'angle A était droit, et qu'il
en fût par conséquent de même de l'angle des deux axes.

144. Relation des vitesses anipilaires des arbres liés par
le ioiat brisé. — La différentiation de l'équation précédente

donne^ en appelant w la vitesse angulaire --^ du premier arbre .

dj3 wcos^ (i+tang^g) wcos^ (i+tang^g)

'it~ l+tang«/3 4+tang«gcos«^

w cos A w cos A

' cos*g 4- sin^g cos*-^ i — sin^-^^ sin^g

dâ
Ainsi, lorsque tu est constant, — est variable, et croit avec

g^ depuis la valeur tvcos^ qui correspond à g=0, jusqu'à

qui répond à g=90^. Les deux vitesses angulaires sont
quand g prend la valeur déterminée par Téquation

(4 4-tang* a) cos ^ = i +tang* « cos* A , '*

d'où

tang*g= 7

i4tt. Jrolnt d'Oiditam. — C'est une communication de mou-
vement par un croisillon entre deux arbres tournants voisins
et parallèles O, et O, (fig. 98). La différence entre cet appareil
et le précédent consiste : i*» en ce que les axes des deux arbres
tournants sont parallèles et à une certaine distance l'un de

194 aNÉMÀTIQDI. 8BCT. I, CH4P» IH.

l'autre; 2^ en ce que les tourillons du croisillon glissent en long
dans les ouvertures des branches où ils sont introduits.

Il est aisé de voir que les déplacements angulaires simultanés
des deux arbres sont égaux, et qu^il en est par conséquent de
même de leurs vitesses angulaires à un même instant. Soient 0^
et G, les deux axes de rotation des arbres, projetés rectangu-
laireraent sur le plan de la figure 99. Soient, dans ce même
plan, AB et CD les deux axes du croisillon, à l'instant où l'un
d'eux AB est dans le plan des deux axes fixes de rotation, et
l'autre CD est perpendiculaire à ce plan. Supposons qu'à partir
de cette situation le premier arbre tourne d'un certain angle ;
AB vient alors en A'B' passant toujours par G, , tandis que €D
vient en CD' passant en G,,. Or, l'angle de A'B' avec CD'
étant égal à celui de AB avec CD, et ces angles étant dans un
même plan, il s'ensuit que les angles BO,B' et DOj^D' sont égaux.
Les deux rotations autour des axes parallèles G, , G^, sont donc
égales.

3« deux corps tourkakts lliû par un corps flexible (*)
(corde, courroie, ou chaire).

146. Propriété ^nérale des poulies. — Lbs poulies et lê^
tambours sur lesquels s'enroulent et se meuvent sans glisser des
cordes, courroies ou chaînes inextensibles, ofiVent des exemples
bien connus de ce genre de liaison. Leur emploi se rattache à
une propriété générale à laquelle nous allons être conduit.

Soient deux corps solides pouvant tourner autour des axes
fixes parallèles C et G (fig. 400), et terminés par des surfaces
dont les sections faites par le plan de la figure, perpendiculaire
aux axes^ comprennent les courbes BAD et IVMP« Une corde
BAMP est tangente de A en M aux deux courbes ; elle est en-

(*] La liaison de deux corps soUdes par un liquide sera indiqua par un
exemple dans la deuxième section.

DfiPLÀGBVERTS glMULTAlIfiS DB MUX POULIBS. 198

roulée de B en A sur la première et de M en P sur la seconde*
On suppose que, le premier corps subissant un très-petit dé«
placement angulaire, la courbe BAD se transporte en B'A'D',
et que la corde, ne pouvant pas glisser, entraîne par conséquent
le.second corps dont la courbe NMP vient se mettre en N'M'P'«
Alors la corde est tangente suivant E'Q' et sa longueur B'E'Q'P'
est restée égale à ce qu'elle était en BAMP. De là une relation
nécessaire entre les déplacements angulaires de deux corps* On
conçoit aisément que si ces déplacements sont infiniment petits,
ils ont entre eux le iivême rapport que si la corde était rem«
placée par une bielle articulée en A et en M, que par consé-
quent les vitesses angulaires w et w' des deux corps sont réci-*
proques aux distances des centres G et G à la direction actuelle
de la tangente AM. On confirme rigoureusement cet aperçu en
remarquant que, dans la seconde position du système, la dis-*
tance du point A' à la tangente E'Q' prolongée est un infiniment
petit par rapport à A'ë', que de méme^ dans la première posi-
tion, le point Q, qui doit ensuite venir en Q', est à une distance
infiniment petite du second ordre de la droite AM prolongée j
d'où il suit que les distances AQ, A'Q égales peuvent être con*-
sidérées comme rectilignes, ce qui établit l'analogie de ce mode
de liaison avec celui qui a été rappelé au numéro i30< Si la tan-
gente AM rencontrait la droite €0 dans Tintervalle des deux
axea^ les rotations seraient de sens opposés, tandis que, dans le
cas contraire, qui est celui de la figure, les deux rotations sont
de même sens,

147. Poulie» ordinaires. — Lorsque, comme dans les pou-
lies et tambours ordinaires, les courbes sont des circonrérences
de cercles, ayant leurs centres sur les axes de rotation, les
vitesses de ces circonférences sont égales, et les vitesses angu-
laires sont réciproques aux rayons.

148. Déplaeements simultanés de deux poulies dont

l'une est oxeenirMine, -^ Les poulies dont les sections par un

J96 CIKÊHATIQDB. SBGT. I^ CHÀP. m.

plan perpendiculaire à leur axe de rotation ne sont pas des cer-
cles ayant leurs centres sur cet axe, sont dites poulies excen-
triques. Deux poulies, dont Pune est excentrique, établissent
entre les deux arbres, à axes parallèles, sur lesquels elles sont
calées^une communication telle, que si Tun a un mouvement
uniforme, l'autre, au contraire, a un mouvement varié.

On peut se proposer et résoudre la question suivante : Con-
naissant les deux courbes de deux poulies sur lesquelles la corde
est enroulée, Pune de ces courbes dont une portion est BAD (fig. i 01),
étant quelconque et tournant autour du point fixe €, tandis que
t autre est une circonférence NMP tou?mant autour de son centre
O, trouver la relation qui existe entre deux déplacements angu-
laires simultanés quelconques des deux poulies,

A l'instant où la première courbe avait la position indiquée
par la tigure, la portion de corde qui allait d'une poulie à l'autre
était tendue suivant la tangente AM . Après un certain temps,
la courbe BAD est venue en B'A'D' et la corde est tangente aux
deux courbes suivant E'Q. Le déplacement angulaire de la pre-
mière poulie est l'angle au centre de Tun des arcs semblables
AA', BB', DD'. Pour trouver celui de la seconde poulie, on
remarquera qu'une partie de la corde, qui s'étendait de A vers
M, est maintenant enroulée de A' en E' ; de sorte que, pour sa-*
voir quelle est sur E'Q la position m' du point de la corde qui
était d'abord en M, il suffit de faire la distance rectiligne £W
égale à la droite AM diminuée de Tare A'E' rectifié; or, pour
que ce point de la corde soit venu de M en m\ il faut que la
longueur de la corde m'in ait passé par le point géométrique M;
et comme elle n^a pas glissé sur la circonférence IVMP, le point
M de celle-ci a parcouru un arc MM' égal à la longueur m'QM,
c'est-à-dire qu'on obtient le point M' en faisant l'arc QM' rec-
tifié égal à Qm^ Enfin, le déplacement angulaire cberché de la
deuxième poulie est Tangle au centre de l'arc MM' ainsi dé-
terminé.

Maintenant^ remarquons qu'il n'est pas nécessaire de con-

XOUTBMimT ÉPICTCLOIDàL PLAN. 197

struire la courbe B'A'D'. En ejffet, supposons que la figure
CB'A'E'QM'O tourne en sens contraire de la rotation effective
autour de C, de manière à ramener B'A'D' en BAD, le centre O
vient au point O, déterminé par la condition que l'angle OCO,
soit égal au déplacement angulaire AGA', mais décrit en sens
contraire ; la circonférence NMP vient en N,1I,P,, la tangente
E'Q en EQ'. On obtient ainsi la longueur AEQ^M, et par con-
séquent son égale A'E'QM, ce qui suffit pour trouver le point
M'; car on a :

MM'= A'E'QM — A'E'm' = AEQ.M . — AM .

4fl DBtrX CORPS TOVaRÀRTS LliS Par VS TROMiftMB tV MOUYBIRHT £PICTGLOlOAL.

149. HouTemenl épleycloldal plan. — Autour d'un axe
géométrique fixe MN que nous supposerons vertical (fig. 102)
tourne un solide qui peut être une roue dentée ou poulie, mais
qui peut se réduire à une simple barre A. Ce corps entraîne
dans son mouvement un boulon ou arbre cylindrique vertical
PQ, sur lequel tournent deux pignons b et e formant un seul
corps solide. Ces deux pignons engrènent respectivement avec
deux roues dentées B et G, qui ont leurs centres sur MN, et
dont Tune, G par exemple, est immobile dans l'espace, tandis
que Tarbre qui la traverse tourne. Des deux corps A et B,
l'un, B par exemple, est invariablement fixé sur Tarbrc dont
MN est Taxe géométrique, tandis que la barre A tourne libre-
ment sur cet arbre. Ainsi les deux corps tournants A et B sont
liés entre eux par Tintermédiaire du système solide et mobile
des deux pignons b et e : il s'agit de trouver le rapport de leurs
vitesses angulaires que nous désignerons par ti>A et Wb et dont
le sens positif est celui qu'indiquent les flèches.

A cet etfet, prenons pour inconnue auxiliaire la vitesse angu-
laire du système des pignons b et c relativement à la barre A qui
entraîne leur axe PQ. Cette vitesse, que nous désignons par w^,

IM cnvAiÀTiQim. mct. i, chàp. m.

est eelle que constaterait, comme une rotation absolue, un ob-
servateur qui serait entraîné à son insu dans le mouvement de
la t>arre A. Désignons, d'ailleurs, par B, b, C et c, les rayons
des quatre roues dentées B, b^ G et e.

Cela posé, remarquons qu'au contact des roues b et B, le
point T^ considéré comme appartenant à la roue b, a sa vitesse
linéaire absolue exprimée par la résultante, qui est ici une
somme algébrique de sa vitesse d'entraînement wj^-B et de sa
vitesse relative — fV-hy tandis que le même point T, considéré
comme étant sur la roue B^ a sa vitesse linéaire absolue égale
à wm'B. De même, au contact des deux roues e et G, le point S
appartenant à la roue e» a sa vitesse linéaire absolue égale à
wa'C*^ f^'C, tandis que ce point, appartenant à la roue C, est
immobile. On a donc les deux équations

' ^ ou

B^mar^fies.-r- Selon que 7 est plus grand ou plus petit que

-5 les deu^ rotations wa et ii;» du bra3 A et de la roue B sont

du même sens^ comme nous l'ayons supposé dans l'établisse-
ment de la formule, ou de sens contraires. Si les deux rapports

B G

7- et - étaient égaux , wb serait nulle; la roue B serait en
9 c

repos comme ia roue G. Sans multiplier excessivement les '

nombres de dents des quatre roues on peut faire que le rapport

des deux rotations soit très-petit. Exemple : si Ton fait

6_18 €_39

B"^i9 G~37 '

MOUmiEin' ÉPICTCLOÏDÀL SPHÉKIQCB. 199

en adoptant pour les quatre roues b, B, C et c les nombres de
dents i8, i9, 39 et 37, on trouve

, / 702\ 1

^• = (^■^703] ^^=703^^-

C'est ^ cause de cette propriété que le mécanisme dont il s'agit
s'appelle engrenage différentiel.

L'une des roues B et C, ou toutes les deux pourraient être
à engrenage intérieur. Ainsi, par exemple, le rayon primitif de
la roue immobile C peut s'étendre depuis l'axe MX jusqu'à S'
où serait le contact de cette roue et du pignon c En répétant
dans cette hypothèse le raisonnement précédent, on verra que
les équations obtenues tout à Theure s'appliquent, avec cette

seule différence que le rapport - change de signe, de sorte

qu'on a

Dans ce cas d'engrenage intérieur, on peut réduire les deux
pignons b et e à un seul (fig. 103), qui engrène tout à la fois,
intérieurement avec la roue fixe C et extérieurement avec la
roue mobile B.

La formule devient alors :

f 80. Mouvement épicyeloldal spbériqae. — Ce mécanisme
indiqué par la figure 104 diffère de celui de la figure 102, en
ce que l'axe mobile PQ de la rotation relative du double pignon
est perpendiculaire à Taxe fixe MN, au lieu de lui être parai-

SOO CIHtHATIQUB. SVCT. I, CHAF. m.

lèle. Les quatre roues qui engrènent deux à deux sont coniques^
et Tune d^elles € est fixe.

En recommençant le raisonnement du numéro précédent, on
retrouvera les mêmes formules^ savoir : la formule [i], si les
contacts des roues sont du même côté de PQ en T et S; la
formule [2], s'ils sont de côtés différents en T et S'; enfin
tVB=2tt'A si^ b étant égal à c, les contacts sont en S et S\

Les systèmes épicycloîdaux^ dans lesquels il entre plus de
trois corps mobiles, seront décrits et examinés dans la seconde
section.

DEUXIÈME SECTION

APPLICATIONS AUIL MACHINES

CHAPITRE I.

GÉNÉRALITÉS ^R LES MACHINES CONSIDÉRÉES COMME APPAREILS
DE COMMUNICATION* ET DE TRANSFORMATION DE MOUVEMENT.

CLASSIFICATION DBS MACHINES ÉLfiMBNTAIRES.

iSI. Aneienne elasuiiaeatloii simplifiée. — Hachette, d'a-
près les vues de Monge^ et plus tard Lanz et Betancourt (Essai
sur la composition des Machinesy 1808) ont classé les mouve-
ments dont sont animés les divers points des machines en trois
genres, savoir : mouvement rectiligne, mouvement circulaire et
mouvement curviligne suivant une courbe autre que le cercle; et
ils ont subdivisé chacun de ces genres en deux espèces^ selon
que le mouvement d'un genre quelconque est ce qu'ils ont ap-
pelé continu (c'est-à-dire progressif^ toujours de môme sens) ou
qu'il est alternatif {dit aussi de va-et-vient). Toute machine de-
vant lier ou faire communiquer entre eux deux de ces mouve-
ments, sans exclusion du cas où ils seraient de même espèce,
Lanz et Betancourt ont indiqué vingt et un groupes de deux
mouvements considérés comme transformés Tun en l'autre.

SOS CnVtHATIQUB. 8BCT. n^ CHàP. I.

Hais le nombre de combinaisons binaires qu'il est utile de
distinguer est beaucoup moindre. D'abord^ tous ou presque tous
lea mécanismes qui établissent la liaison de deux mouvements
progressifs, servent également à lier deux mouvements alterna-
til^, dont les instants d'arrêt sont simultanés. En second lieu^
les seuls exemples que nous ayons à citer d'un mouvement cir-
culaire ou rectiligne alternatif produisant un mouvement recti-
ligne progressif peut être considéré comme un cas particulier
d'un mouvement circulaire alternatif transformé en circulaire
progressif. Troisièmement, les mouvements curvilignes non
circulaires qui se rencontrent dans la pratique ordinaire, sont
dérivés des deux mouvements simples circulaire et rectiligne,
savoir : le mouvement épicycloïdal ou simplement cycloïdal, et
le mouvement hélicoïdal. Ainsi les diverses dispositions dites
machines élémentaires^ servant à lier deux mouvements, se
trouvent rangées dans les cinq classes que nous définissons
ci-après, en commençant par les mouvements circulaires, parce
qu'ils sont les plus fréquents dans les machines, les plus faciles
à régulariser, et enfin parce que le mouvement rectiligne n'est
qu'un cas particulier du mouvement circulaire. Chaque classe
se divise en genres relatifs aux conditions concernant les rap-
ports et les directions des vitesses ; et chaque genre sera sub-
divisé, au chapitre il, en considération des moyens employés
pour réaliser les liaisons indiquées : soit communication par
contact immédiat, soit emploi d'intermédiaires flexibles ou
solides.

L'ensemble et les détails de cette classification seront facile-
Inent saisis, à l'aide des figures réunies, à la fin de ce Traité,
en tableaux synoptiques, sous des numéros d'ordre spéciaux.
Ces figures ne sont d'ailleurs que de simples croquis, destinés
seulement à faire comprendre le principe et le caractère dis-
tinctif de chaque mécanisme.

CLÀSSIFICATIOlf DBS MÂCBINCS ÉLfiSBirTÀIRBS. 203

I'« Classe. Liaison de deux inoavements circulaires simulta-
nément progressifs ou aiternatife.

l«r Ordre. Rapport dw vitesse» constant.

1«' Genre, Axes parallMes.

8* — • Axef eoneoaniits.

3e ^ Axe» non situés dans un plan.

î« Ordre^ Rapport des vitesses variable.

!«' Geiure, Axas parallèles.
2® — Ajies non parallèles.

II« Classe. Liaison de deux mouvements, l'un circulaire, l'autre
rectiligne ou héliço!de, changements de sens
simultanés.

}•' Genr^, Translation paraUèle au plan àa la rotation.

2« » Translation parallèle 4 Taxe de la rotation*

III* Classe. Liaison de deux mouvements rectilignes.
Un seul Genre,

IV'' Classe. Liaison de deux mouvements circulaires, Tun pro-
gressif, Tautre alternatif.

1er Genre, Axes parallèles.
2e — Axes non parallèles.

V* Classe. Liaison de deux mouvements, l'un circulaire pro-
gressif, Tautre rectiligne alternatif.

!«' Genre, Translation parallèle au plan de la rotation.
2e ^ Translation parallèle à Paxe de la rotation.

(Voir, pour la subdivision des genres, le chapitre II ou la
table des matières.)

904 CmtBÀTIQlIB. SKT. n, CBAP. I.

§2.

■0TE1I8 d'àSSUIIBR LA DIRECTION DU MOUYEMENT CIRCULAIBE
OU RECTIU6NB DE CERTAINES PIÈCES DES MACHINES.

ItS2. Appnis des arbres tonntamto. — Un COrpS qu'on vent
assujettir à un mouvement de rotation est ordinairement tra-
versé par une pièce solide sur laquelle il est fixé et qu'on ap-
pelle arbre tournant ou simplement arbre, nom qu'on ne devrait
pas remplacer, comme on le fait quelquefois, par celui d'aore, qui
appartient proprement à certaines lignes géométriques, et no-
tamment à la droite autour de laquelle un arbre tourne.

Pour assurer la fixité de cet a\e^ pendant la rotation de l'ar-
bre, celui-ci a des parties exactement arrondies^ par lesquelles
il est mis en contact avec des appuis immobiles. Si ces parties
sont cylindriques et convexes, on les appelle tourillons. Un
tourillon est terminé d'un côté au moins par un épaulement^
offrant une zone plane perpendiculaire à Taxe de rotation, et se
raccordant avec la surface cylindrique du tourillon par un congés
pour obvier aux chances de rupture que présenterait un angle
vif rentrant.

Un tourillon horizontal s^appuie sur un coussinet formé ordi-
nairement de deux pièces de rechange dites coquilles. Tune in-
férieure posée dans un corps fixe, l'autre supérieure maintenue
par un chapeau. L'ensemble de ces diverses pièces s'appelle un
palier. Un coussinet est terminé au moins d'un côté par une
face plane contre laquelle s'appuie l'épaulement du tourillon.
Deux épaulements en contact avec leurs coussinets empêchent
l'arbre de se mouvoir parallèlement à l'axe.

Quelquefois, par exception, on fait reposer les tourillons d'un
arbre horizontal chacun sur deux ou trois roulettes ou galets^ afin
de diminuer l'effet du frottement, comme nous ^expliquerons
dans un autre Traité. Si le mouvement de l'arbre ne doit être

GUIDES DU MOUYBHENT. 205

qu'oscillatoire , les galets complets peuvent être remplacés par
des secteurs.

Un corps qui tourne autour d'un axe horizontal peut être
porté et assujetti par des pointes immobiles (comme les pointes
d'un tour ordinaire), qui entrent dans des trous coniques prati-
qués dans le corps tournant. ^

Quelquefois ce corps, roue, poulie ou autre, est percé d'un
trou cylindrique appelé œil, dans lequel entre avec un faible
frottement un essieu^ qui peut être fixe ou tourner lui-même in-
dépendamment de la rotation du premier corps autour du même
axe. Si le trou cylindrique est un peu long, en comparaison de
l'épaisseur de la roue ou de la poulie, Tespèce de moyeu où il
est pratiqué s'appelle manchon ou canon. L'arbre est alors muni
d'épaulements faisant corps avec lui, ou de rondelles mobiles,
qui empêchent le canon de glisser parallèlement à Taxe. Un ca-
non porte souvent plusieurs roues ou poulies.

Lorsqu'un arbre tournant est vertical, il est ordinairement
supporté et assujetti dans sa rotation au moyen d'un pivot^ corps
cylindrique tournant dans une pièce creuse qu'on nomme cra-
paudine. Tantôt le pivot est une sorte de tourillon appartenant
au corps tournant , et la crapaudine est immobile ; tantôt c'est
le contraire. Au fond de la crapaudine est une plaque mince en
acier, appelée grain, qu'on remplace si elle s'use. Quelquefois
on dispose la crapaudine de manière à pouvoir être facilement
élevée ou abaissée à volonté (exemple : arbre des meules des
moulins à blé).

A une distance plus ou moins grande du contact du pivot et
de la crapaudine, l'arbre vertical est presque toujours maintenu,
en un endroit où il est parfaitement arrondi, par un collier qui
fait fonction de palier. Le plus souvent le collier est immobile
dans toutes ses parties ; mais quelquefois, si Parbre qu'il em-
brasse est gros, on interpose entre lui et le cylindre creux et
jBxe dans lequel il tourne un système de galets ou roulettes des-
tiné à diminuer le frottement.

806 CINteÀTIQVB. 8IGT. U^ GHÀP. I.

Les plaques tournantes des diemins de fer donnent l'exemple
d'un autre moyen d'assurer le mouvement de rotation d'un
corps autour d'un axe verticaL

Outre qu'elle a un pivot cylindrique inférieur, qui tourne dans
une crapaudine fixe, la plaque repose sur un système de galets
qui ne sont pas cylindriques comme dans le cas précédent ; ils
sont en troncs de cônes ayant leur sommet en un point de Taxe
de rotation de la plaque; ils roulent entre deux surfaces coni-
ques qui ont leur sommet en ce même point, Tune fixée sur le
sol inférieur, Tautre mobile avec la plaque à laquelle elle appar*
tient. Pour trouver la relation qui existe entre le mouvement de
la plaque, celui des axes des galets, et celui des galets eux-*-
mêmes, on remarque que ceux*ci roulent sans glissement sur la
surface conique fixe inférieure ; que par conséquent, à un instant
quelconque, leur arête de contact sur cette surface est leur axe
instantané de rotation» d'où il suit que si Ton considère une seo*-
tion circulaire faite dans un galet par un plan perpendiculaire à
son axe^ la vitesse du centre est la moitié de celle du point de
contact de ce cercle avec la surface conique qui forme le des*
sous de la plaque ; donc la vitesse angulaire de la plaque est
double de celle des axes géométriques des galets* Quant à la
vitesse angulaire d'un galet, elle est à celle de son axe comme
la distance d'une des deux bases circulaires de ce galet à Taxe
vertical de la plaque est au rayon de cette même base.

185. Afisemblage fixe des roues sur lenij^ arbres. -^ Les

roues qui doivent être invariablement liées à leurs arbres y sont
fixées par des coins appelés cales, si les arbres sont polygonaux.
Lorsque la roue et l'arbre sont métalliques, l'une s'assemble fa-
cilement et avec précision sur l'autre : l'arbre porte un renfle-
ment cylindrique de même diamètre qu'un œil ménagé dans le
moyeu de la roue; il s'introduit à frottement doux dans cet œîl,
et Tassemblage se fixe par une cale appelée languette ou aavette^
qui se loge à frottement dur dans deux rainures ménagées dans
les deux pièces

GUIDES DU MOUTBMBnT* 907

154. Artieniations à eharnière. -^ Ce mode d'assemblage
se rattache par une grande analogie au sujet qui vient de nous oc-
cuper . Deux corps articulés à charnière tournent, dans leur mou-
vement relatif, comme les deux branches d'un compas, chaoun
autour d'un axe géométrique invariablement lié aux deux corps.
Telles sont les articulations ordinaires des bielles avec les balan-
ciers et les manivelles. Une tète de bielle (fig. 105 et 106) est
ordinairement formée d'une bande de fer AAA appelée chape^
qui embrasse les deux coquilles d'un coussinet destiné à entou-
rer le bouton ou tourillon fîxé au balancier ou à la manivelle».
Cet assemblage des coussinets et du corps de la bielle est main-
tenu au moyen de deux coins, nommés clef et contre-clef à talon^
ayant le même angle et posés en sens inverses, de manière que
les faces par lesquelles ils ne se touchent pas, sont et restent pa-
rallèles, quand on les éloigne ou qu'on les rapproche Tun de
1 autre, en enfonçant ou en retirant la clef. Les talons de la
contre-clef empêchent les branches de la chape de s'écarter.

On distingue deux espèces de têtes de bielle, Tune à chape mO'
bile (fig. 105), l'autre à chape fixe (fig. 106). Quand on serre la
clef dans la première^ on raccourcit tant soit peu la bielle ; dans
la seconde, on l'allonge ; c'est-à-dire que dans l'une on rapproche,
et dans Tautre on écarte du corps de la bielle le centre d'arti-
culation. Dans le premier cas la clef fait mouvoir la contre- clef, et
celle- ci agit sur la chape qui rapproche les coquilles du coussi-
net ; dans le second cas la clef agit immédiatement sur Tune des
deux coquilles. On emploie ces deux espèces de têtes aux extré-
mités d'une même bielle, afin que la distance des articulations
reste la même, malgré Tusure des boutons et des coussinets.

155. Guides da mouvement rectiligne. — Plusieurs moyens
très-connus sont employés pour assujettir un corps solide à un
mouvement de translation rectiligne. Nous citons notamment les
suivants :

V Rainures et languettes de diverses formes,

i06 CIRÉBATIQ1IB. SICT. U, CHAP. I.

2« OEiliets oa douilles glissant le long de tiges fixes,
3* Tiges mobiles Inversant des douilles fixes,
k" Galets cylindriques roulant dans des rainures immobiles,
5* Galets à gorge roulant sur des guides saillants,
6* Roues à un seul rebord, analogues à celles qui roulent sar
les rails des chemins de fer.

7<> Balancier à bride (138), servant à diriger à très-peu près
en ligne droite une des extrémités d'une tige, dont Tautre se
meut sur la même droite suivant l'axe d'un cylindre.

CHAPITRE IL

MÉCANISMES DES TRANSFOEHATIONS DE MOUVEMENT.

§4.

V'^ CLASSE. LIAISON DE DEUX MOUYEHENTS GIBCULAIRES PROGRESSIFS,
AVEC CHAIiGEMENT DE SENS SIMULTANÉ.

l«r GENRE. RAPPORT DBS TITESSES CONSTANT. AXES PARALLÈLES.

156. Contact immédiat. — 1. (Tableau Synoptique.) Cylin-
dres roulants. — 2. Engrenage extérieur. — S. Engrenage inté-
rieur. — 4. Engrenage héliçoïde. Nous n'avons rien à ajouter
ici, en ce qui concerne ces quatre mécanismes de deux corps
tournants, à ce qui a été dit au § 1, chapitre m de la l'« section.
Il n'y manque, au point de vue théorique, que ce qui regarde
les forces, y compris les frottements, objets d*étude compris
dans un traité subséquent. On y verra, par exemple, quelle doit
être, suivant les circonstances, la pression mutuelle de deux
cylindres roulants, pour qu'ils ne glissent pas Tun sur l'autre.

157. Poulies et courroie, corde on eliaine dans nn même
plan moyen. — 5. Courroie directe. — 6. Courroie croisée. Ce
mécanisme est très-fréquemment employé, à cause de la sim-
plicité de son installation, même pour deux arbres fort éloignés
Tun de l'autre, et parce que le mouvement s'y accomplit sans
choc et sans bruit. Un fait important à remarquer, et dont la
théorie sera étudiée ailleurs, c'est que le corps flexible qui em-
brasse et unit les deux poulies, peut glisser lorsqu'il n'est pas

210 CINfiHÀTIQDB. SECT. 11^ CHAP. H.

assez tendu ; or ce glissement, qu'on doit et qu'on peut ordi-
nairement éviter, lorsque le maintien du rapport des vitesses
angulaires est une condition essentielle de la machine, est au
contraire un avantage dans certains cas de résistances accideD-
telles qui arrêtent brusquement Tune des deux poulies. L'emploi
d'une courroie est alors préférable à un engrenage, dont les
dents pourraient^ en pareille circonstance, être rompues.

Lorsque la liaison des deux rotations se fait par une corde
sans fin, les poulies ont une gorge dans laquelle cette corde
s'engage. Hais lorsqu'on emploie une courroie, les poulies ne
sont ni creuses dans leur profil méridien, ni munies de rebords
saillants qui occasionneraient souvent un frottement nuisible.
Il suffit que ce profil soit un peu bombé pour que la courroie
en mouvement se maintienne d'une manière stable au milieu
de la poulie. L'expérience a inspiré l'idée de cette disposition
si simple : lorsqu'on se sert de poulies, ou plutôt de.tambourS;
en forme de troncs coniques, on reconnaît que la courroie, en
mouvement sur une pareille surface tournante, se déplace con-
tinuellement en se portant vers la plus grande base du tronc, à
moins qu'un guide n'y mette obstacle. On en a conclu que si la
poulie était formée de deux troncs de cônes opposés ayant leur
grande base commune, les causes qui tendent à f^ire monter la
courroie sur chacune des deux moitiés de la poulie la feraient
rester au oiilieu. En pratique les deux troncs coniques sont
raccordés par un bombement curviligne.

Quant à la loi que suit l'ascension de la courroie sur un tam-
bour conique, elle ne parait pas avoir jusqu'ici été étudiée, et
elle est probablement assez compliquée, dépendant de la lar-
geur, de la nature plus ou moins élastique, et même do la vi-
tesse de la courroie. On voit bien que si une courroie, qui foime
naturellement une bande plane, est appliquée sur la surface
conique, développable, sans allongement d'un des bords et sans
froncement de Tautre, ces deux bords, d'abord perpendiculaires
à une génératrice du cône, sont ensuite obliques et de plus en

UÉCANISMBS. i^* CLASSE. i«' GENRE. 211

plus obliques à toutes les autres en s'éloigaant de plus en plus
du sommet, de la même manière que si laf bande restant plane
était appliquée sur la surface conique développée dans un plan.
Les choses ne se passent pas tout à fait ainsi dans la courroie
^'enroulant sur le tambour conique d'une machine; sa tension,
agissant plus fortement sur le bord le plus rapproché de la
plus grande base, l'oblige de s'allonger plus que l'autre^ ce qui
atténue mais ne détruit pas entièrement sa tendance au dépla-
cement.

Lorsque les courroies ou cordes sans fin sont directes ou non
croisées (n*" 5), les rotations des deux poulies sont de même sens.
Si les cordes ou courroies sont croisées (n° 6), les rotations sont
de sens contraires. Dans les deux cas 4es vitesses angulaires se-
raient exactement réciproques aux rayons augmentés de la
demi-épaisseur de la courroie, si celle-ci, quoique parfaitement
flexible» était tout à fait inextensible dans sa ligne moyenne.
Mais en réalité sop allongement momentané dans la partie qui
se meut de la poulie conduite à la poulie motrice fait que la cir-
conférence de la première a sa vitesse moindre que celle de l'au-
tre. Suivant M. Kretz [Annales des mines j 6« série, 1. 1), ce ralen-
tissement est, d'après Texpérience, d'eiiviron un cinquantième.

Lorsqu'une courroie sans fin est croisée, on la dispose de
manière que sa face rugueuse (indiquée en pointillé dans la
figure 6) s'applique sur les deux poulies, et qu'à l'endroit du
croisement, ses deux parties glissent à plat, presque sans frotte-
ment, l'une sur Tautre.

158. Cominiiiiicatioii de deux rotations par rintermé-
diaire de bielîes. — 7. Roues accouplées, — 8. Arbres coudés.
— 9. Bras oscillants. Les figures 7 et 8 indiquent comment les
manivelles et bielles peuvent lier la rotation -d^un arbre à celle
d'un autre, dans le cas où les axes sont parallèles et où les vi-
tesses angulaires sont à chaque instant égales. Les roues accou-
plées des, grandes locomotives de ofceminS de fer en offrent des

212 cmÊHÀTiQnB. SEcr. n, chap. n«

exemples. Dans la figure n* 8, les arbres coudés ont chacun
trois manivelles^ et les bielles^ pouvant être flexibles, agissent
par tension.

Deux bras oscillants d'égale longueur (fig. 9), et unis par une
bielle égale et parallèle à la distance des axes de rotation, ne
diffèrent (sauf les détails de construction) du cas de la figure 7
qu*en ce qu'ils n'accomplissent pas des révolutions complètes.

159. GommnnieaCion par nn eroislllon. — 10. Joint d'Old-
ham. Ce mode de liaison a été expliqué (145) page 193.

160. TraiiM de roues dentées on de poulies à axes paral-
lèles. — il. Quatre roues dentées. Elles établissent une rela-
tion entre les rotations de trois arbres. La roue 1, montée sur le
premier arbre, engrène avec la roue 2, fixée sur le second, le-
quel porte aussi la roue 3, engrenant avec la roue 4. Si Ton dé-
signe par D, , D, , D, , D^ les diamètres primitifs des quatre
roues, par X,, N„ N^, N^ leurs nombres de dents, par w, w\ w"
les vitesses angulaires des trois arbres, on a, en exprimant que
la vitesse linéaire est la même au point de contact de deux
roues, soit qu'on le considère comme appartenant à l'un ou à
l'autre de ces deux corps,

d'où

wD,=w'D, et ti/D,=:w"D^,

w" D.D, N, N

— = -_! » ou — i.— =^.

Exemple :

W lia

Il ne serait pas possible d'obtenir ce mêmerapport de vitesses
avec deux roues ayant moins de 575 et 72 dents. On voit d'ail-

MÉCANISHBS. 1'" CLASSE. !«' GENUB, 213

leuis^ue les deux coues extrêmes, i et 4, tournent en sens con-
traires si les deux engrenages sont extérieurs.

La figure n® 12 indique une relation analogue obtenue par
deux eordes ou courroies sans fin, entre les rotations autour de
triiîs4(xes dont les distances peuvent être grandes. En désignant
par D, , Bj , D, , D^ les diamètres des poulies, et par w, w\ w"
les vitesses angulaires des trois arbres, on trouve aisément que
les équations précédentes subsistent. Le sens de la rotation
cbangt d'une {youlie à celle qui lui est conjuguée si la corde ou
courroie est croisée.

IS. Roues de vitesses différentes autour du même axe. Les deux
roues extrêmes 1 et 4, liées entre elles par les roues 2 et 3, peu-
vent tourner autour d'un même axe géométrique. Dans ce cas
l'une de ces deux roues est calée sur son arbre, tandis que
l'autre Test sur un manchon ou canon dont la vitesse angulaire
^$t différente de celle de l'arbre central. Si, ce qu'il est facile
de réaîîs&i, le rapport des vitesses angulaires du canon et de
l'arb^e-est très-grand, à un grand nombre de tours de l'un ré-
pond un petit déplacement angulaire de l'autre.

i.6i. Roue on poulie intermédiaire. — Ces dispositions,
représentées par les figures n^ 14, sont des cas particuliers des
précédentes. 1° Deux roues 1 et 3 sont liées entre elles par une
roue unique î2, intermédiaire, avec laquelle elles engrènent;
leurs rotations sont de même sens ; elles ont d'ailleurs même
pas et le même rapport de vitesse que si elles engrenaient im-
médiatement ensemble. 2"* Deux poulies i et 3 sont liées par
deux courroies embrassant un même tambour 2, ou bien 3* une
même corde embrasse les trois poulies 1 , 2 et 3. Le sens de
rotation de deux poulies diffère ou est le même selon que la
corde qui les joint rencontre ou ne rencontre pas la ligne des
centres dans Tintervalle de ces deux centres.

162. Communication par mouvement épicycloidal plan.

214 cnvftiÂnQnB. sicr. n, chap. n.

— Le mécanisme classé sous le n* 15 est one extayytt de
celui qui a été étudié au d*" 149 (fig. 102). La barre .É|flmaut
autour de Taxe MK porte et entraine un donble i)s^;fij^^iobi!e
relativement à la barre autour de Taxe PQ, parallâ^ w^fH. Les
deux roues b et e de ce double pignon engrènentrÊspeétivàgritot
avec les deux roues B et C qui tournent autour del^Ke g^ô*
métrique MN. On demande la relation qui existe entre les vi-
tesses angulaires wa , Wb et wc de la barre et des roues B et G.

Désignons par les lettres italiques B^ C^ heic les rayons
primitifs des roues que ces mêmes lettres en caractères romiuns
nous servent à indiquer dans la figure; et prenons pourilloÉftiie
auxiliaire la vitesse angulaire ff^ du double pignon rekdwemerU
à la barre A.

En raisonnant comme au n» 149^ nous avons :

en S, waB — ^Fi=:ii%a,

enT, waC— ^F^c=wcC,

d'où

IB C\ B C

[1]

Ainsi, connaissant deux des trois vitesses angulaires autour
de MIV, on calculera la troisième^ puis, si Ton veut,, la vitesse
relative fV,

Si par un mécanisme très-facile à imaginer on fait en sorte
que le rapport de deux des trois vitesses ait Une valeur connue,
on en conclura le rapport de la troisième à chacune des deux
autres.

Remarques. — L Si la roue B enveloppait la roue b et était
par conséquent à dents intérieures, les équations précédentes

subsisteraient moyennant le changement de signe de —, comme

il est facile de le vérifier.

MÉCANISKBS. 1'^ CLASSE, l'^' GEHRE. 215

li Si Tune des pièces A, B, C tourne en sens contraire du
sclis que supposent les formules, celles-ci subsistent moyen-
nant le changement du signe de la rotation de cette pièce.

Dans le cas particulier où les deux roues B et C ont des vi-
tesses égales (ce qu'on réaliserait par divers moyens, et entre
autres en fixant (fig. 107) sur les canons de ces deux roues deux
roues coniques égales B' et C engrenant avec une troisième D
à axe fixe), la formule [1], dans laquelle il faut faire wc = — wb,
devient

w^ (Bc — Cb) = Wb (Bc + Cb).
Soit, par exemple,

Jgc_ 61.Al _2501
&C "51.49 ""2499'

il en résulte

ivj^znSSOOw,.

Ainsi, pendant que chacune des roues B et C fait un tour,
le bras A et son arbre en font 2500.

Les rayons des quatre roues du système épicycloïdal doivent
satisfaire à la condition B 4- 6 == C+ c?; les nombres 61, 51,
49 et 41 sont ceux de leurs dents,

III. Dans les figures nM5 et 107 la barre A est liée invaria-
blement à l'arbre MIV, qui participe à la rotation w^. Il pourrait
en être autrement : les trois corps A, B, C qui tournent autour
du même axe géométrique MN peuvent être libres sur l'arbre,
ou bien Tun quelconque des trois peut y être fixement attaché
et par conséquent l'entraîner dans sa rotation. Dans la figure 15,
le double pignon est partie au-dessus, partie au-dessous de la
barre ; il peut au besoin être tout entier d'un côté ou de Tautre,
comme dans les figures 102 et 107.

216 CnftHÀTIQUB. SECT. 11^ CHÀP. II.

1 65. Exemple : Horloge hebdomadaire et lunaire. — Dans
le système de rouages indiqué par la figure 108, les rotations des
deux arbres parallèles KL et MJV sont liées de manière que,
tandis que le premier, KL, mené par un mécanisme d'horloge
ordinaire, fait un tour en une semaine, le second, MX, doit
faire le sien en un mou lunaire, dont la durée moyenne est de
29 jours, 530 588.

Des aiguilles étant fixées sur ces arbres ou sur d'autres ayant
le même rapport de vitesses angulaires, la première marque
sur un cadran le jour de la semaine, et l'autre indique Tâge de
la lune. Le tour du cadran est donc divisé pour la première ai-
guille en 7 parties égales, et pour la seconde en 30 parties, dont
la dernière n'est que les 0,53 de chacune des 29 autres.

Le rapport des vitesses angulaires réciproques aux durées des

' 1 *• ^ ♦ A* 29,530 588
révolutions doit être — - — =— — .

Voici comment Pecqueur, mécanicien constructeur à Paris, a
réalisé cette condition très-approximativement.

La roue a, calée sur son arbre KL, engrène avec la roue A,
folle sur son arbre MX, laquelle porte et entraîne un canon
creux où tourne librement Tarbre PQ, lié aux deux roues b et c.
La roue b engrène avec la roue B, qui est immobile et dont le
centre est dans l'axe géométrique de Tarbre MX. La roue o en-
grène avec une roue C calée sur ce même arbre MX.

En conservant les notations précédentes et faisant Wb = o
dans la dernière équation [1], on en tire

wa hC

d'où, à cause de wj,'Azizw9,'a, on conclut

Wa A bC

Wc a bC — cB
Pour obtenir les valeurs qu'il convient de donner aux quan-

MÉCANISMES. !'• CLASSE, i" GENRE. 217

tités A, a, B, ft, C et c, qui seront les nombres entiers de dents
des six roues, on remplace le rapport donné par une fraction
ordinaire qui en diffère très-peu et qu'on obtient par la mé-
thode des fractions continues.

On décompose les deux termes de la fraction approxirilative
en leurs facteurs premiers. On est ainsi conduit à poser

wa _ 188490 _ 2 27>5i7.4i
wc"" 44609" 3M439 '

expression qu'on parvient sans grande difficulté à identifier avec
la formule [2] en faisant, comme a fait Pecqueur,

A_54 bC __ 85»41

a^Jï^^ cB~"62.33'

ce qui donne

wa _ 84 8541 _ 84.8844 _ 188190

wc"" 31* 8541— 6233" 3M439 ~ 44609 '

Cette expression fractionnaire ne diffère presque pas du rap-
port indiqué, car elle est égale à

29,830 585 7... ,. ^ 29,830 888

au lieu de = ,

7 7

de sorte que l'horloge dont il s'agit pourrait marcher pendant
7000 jours ou 19 ans, avant de se trouver en retard de 0,0023
de jour ou 3 minutes 4/3 sur l'âge moyen de la lune.

Le nombre 1439, qui entre en facteur dans l'expression du
rapport approché, étant premier, on n'aurait pu réaliser ce rap-
port par un train de roues à axes fixes, à moins que l'une d'elles
n'eût eu 1439 dents. On voit que la communication des ro-
tations par mouvement épicycloïdal réduit la difficulté à rem-

218 ClNÉMAnQUB. 8BCT. U, CHÀP. II.

placer ce nombre par la différence de deux nombres^ dont l'un
soit le produit de deux facteurs de 188 190, et Tautre décom-
posable en deux facteurs qui ne soient ni trop petits ni trop
grands pour être les nombres des dents des roues e et B.

164. Exemple de l'emploi de plusieurs mouvements épi-
eyeloldaux sur un même bsas. — La pièce A (fig. 109) tour-
nant autour du même axe MN que les deux roues B et C porte
trois doubles pignons formés des roues b' et B', b et e, C" et c".
En appelant W, W et W" les vitesses angulaires de ces trois
doubles pignons relativement au corps tournant A, on verra,
toujours d*après la considération de la composition des vitesses,
qu'on a

en S, W6 = Wn',

enT, Wc = W"C\

hh"

en S', WBiï = WAi> + W'i'=:wAB+W--;-,

en T% WcC = wj: + W V'= wj: + W — - ;

d'où

IBÉ C(f\ Bg ce

formule dont Tanalogie avec* l'équation [\] du n» 162 est facile
à apercevoir.

Remarque. — Les communications de rotations qui viennent
d'être supposées obtenues par des engrenages pourraient être
réalisées par des poulies et courroies sans fin, si ce n'est que
l'exactitude précise des rapports risquerait d'être altérée par le
glissement de ces organes.

165. Communication par mouvement épicyeloidal sphé-

HÉCAmSlIEli. V"" CLASSE, i"^' GENRE. 219

riqne (n° 16 du tableau synoptique). — Le mécanisme mis sous
le n° 16 est une extension de celiji qui a été indiqué précédem-
ment (150) par la figure i04.

La pièce A, qui peut être une roue ou une poulie tournant
autour de Taxe MX, porte et entraîne un double pignon bc mo-
bile, relativement à cette pièce A, autour de Taxe PQ, perpen-
diculaire à MN. Les deux roues coniques b et c fixées sur un
canon engrènent respectivement avec les deux roues coniques
B et C, qui tournent toutes deux autour de Taxe géométri-
que MN.

On trouve, en suivant la même marche qu'ali n* i(\% la relation
qui lie les vitesses angulaires w^, w^.et ivc du corps A et des
deux roues B et C.

En désignant par £, €, &, c les rsyons primitifs des quatre
roues, et par fV la vitesse angulaire du double pignon relative-
ment au corps tournant A, on a

en S, wxB + Wb = WBB,

en T, wjiÇ -r- We c= wqC ;

d'où

(B C\

wx (r + ri =wb^+wc^

formule générale quant aux ^nes des rotations, qui détermine
une qnelG()nque des trois vitesses angulaires autour de MN^ en
fonction des deux autres, ou l'un de leurs deux rapports en
fonction de l'autre.

Remarque. — Si la roue conique C, au lieu d'être au-des-
sous de Taxe PQ, était au-dessus, du môaie côté que la rouç B,
il faudrait dans la dernière formule changer le signe de c.

Cas particulier. Addition de deux vitesses angulaires. Si dans

la formule précédente on fait ^ =r -^ ou^ plus^kulement,

fig. HO, si Ton réduit le double pignoa à une seule roue en
mouvement épicycloïdal, engrenant avec deux roues égales B
et C, ce qui revient à faire 6 = c et en même temps B = C,
réqualion devient, comme il serait très-aisé de le voir direc-
tement,

SwaKwb + wc;

ainsi, lorsque w^ et Wc sont variables, wa varie proportionnelle-
ment à leur somme.

166. Théorie générale des trainlfei épieycloidaux. — Les

exemples précédents indiquent une marche facile et sûre pour
résoudre toutes les questions analogues à celles qui viennent
d'être traitées; il suffit pour cela de s'appuyer sur la notion évi-
dente de la composition éhe deux vitesses de même sens ou de
sens contraires suivant une même droite. Mais les relations qui
existent entre les vitesses absolues ou relatives des diverses par-
ties d'un système en mouvement épicycloïdal peuvent être ex-
primées par des formules générales^ dont l'emploi est utile, sur-
tout lorsque, comme dans l'exemple du n« 164, plusieurs axes
de rotation relative sont entraînés dans un même mouvement
circulaire absolu autour de l'axe principal.

La figure 4 H aidera à comprendre ce qu'il faut entendre par
un train épicycloïdal (*).

AA est un corps solide tournant autour de Taxe géométrique
fixe MIV. Il entraîne dans son mouvement un système d'arbres
tournants PP, QQ, RR, ..• dont les axes sont fixes relativement

(*) Les notions qui suivent sont la plupart empruntées poar le fonJ à
l'ouvrage déjà cité de M. Willis (Prtnciples ofmechanism), pages 361 et sniv.
Les démonstrations qu'<m va lire sont différentes des siennes et plus sim-
ples, parce qu'elles sont tirées immédiatement de la théorie de la conipo*
sillon des rotations numéros 61 et suiv.

THÉORIE GÉNÉRALE DBS TRAINS ÉPICTCLOÏDAUX. 221

à ce corps solide AA, lequel remplit à l'égard du système la
fonction du bâti ou support fixe d'un mécanisme ordinaire com-
posé de diverses pièces tournantes. Ce support tournant, auquel
M. Willis a donné le nom de bras porte-train (train-bearing arm),
a le plus souvent la forme d'une simple barre ; mais en général
sa forme est appropriée aux pièces qu'il soutient et emporte
dans SQn mouvement circulaire.

[> Les arbres PP, QQ, RR, ... ainsi entraînés^dx le support AA,
sont en relation entre eux par engrenages ou pîff poulies et
courroies sans fin, de manière que ces corps étant considérés
relativement au support pris pour système invariable de com^
paraison, le mouvement de rotation du premier arbre PP se lie
en rapport déterminé à celui du second QQ, celui-ci à la rota-
tion du troisième RR^ et ainsi de suite. (Les axes de ces arbres
successifs peuvent n'être pas dans un même plan, comme la
figure fil les suppose pour plus de simplicité.)

De plus, le premier des arbres entraînés, PP, est lié par en-
grenage ou par courroie à une roue B tournant simplement,
comme le support AA, autour de l'axe géométrique MN, mais
avec une vitesse angulaire généralement différente.

Enfin le dernier des arbres entraînés (dans la figure 111 c'est
l'arbre RR) peut aussi être lié par roue dentée ou par poulie et
courroie sans fin, à une autre roue ou poulie G, tournant sim-
plement comme B et AA, mais avec une vitesse angulaire géné-
ralement différente, autour de Taxe MIV.

Cet ensemble est appelé par M. Willis epicyclic train, qu'on
peut traduire par train épicychïdal.

Un cas particulier qui pourrait se réaliser est celui où les trois
vitesses angulaire des deux roues extrêmes B et G et du sup-
port AA seraient égales et de même sens. Alors tout Pensemble,
roues B et G, support et ses rouages, tournerait autour de l'axe
géométrique principal MN, comme s'il était solidifié. Il serait
en repos relativement au support tournant.

Un autre cas particulier utile à considérer est celui où le bras

222 CINtMATIQDR. SBCT. n, CHIP. II.

porte-traîn est en repos. Le mouvement de chaque pièce de
l'ensemble est alors une rotation simple, et toutes le8 rotati(His
ont entre elles des rapports conformes aux règles précddentpient
établies (169).

Dans le cas général où le support AA et la rou9 B ont des
vitesses angulaires différentes, ie mouvement d'une quelconque
des pièces entraînées est un mouvement composa de la rotation
d'entraînement du support et de la rotati4)n simple de cette
pièce relati^ment au support pris pour système solide de com-
paraison.

Cela posé et bien compris, deux questions se présentent :

Première question. Les proportiom des divers rouages étant
données^ trouver la relation entre les trois vitesses du bras porie^
train A A et des deux roues extrêmes B e^ C.

Appelons ces trois vitesses wa, wb et wc, supposées positives
quand elles sont dans un certain sens autour de MX, et négatives
dajjjis le cas contraire ; introduisons dans le calcul les vitesses
angulaires des roues B et G relativement au support AA, et
désignons ces vitesses relatives par ff^B et #^c, dont les valeurs
sont également susceptibles de l'un ou Tautre signe.

La rotation absolue wb est la résultante de la rotation d'en-
traînement wa et de la rotation relative ^Vb ; et comme ces vi-
tesses sont autour d'un même axe, il en résulte, eu égard aoi
signes, l'équation

Wb=Wa+«^B. [*1

De même wc est la résultante ou la somme algébrique de la
même vitesse d'entraînement et de la rotation relative ^c;
ainsi

ii^c==ti;A^'+^c. [21

Or les rotations fF» et f^c ont entre elles un rapport facile
à trouver quant à sa valeur numérique et à son signe,. lorsque
les proportions du train sont données, puisque ce rapport, h-

THfiORIB QfiRÉRALB DBS TRAINS fiPICTCLOÏDACX. 298

dépendant du mouvement du support, est précisément celui
des vitesses angulaires qu'auraient les roues B et G si le bras
porte-train était en repos et les rouages en mouvement. On est
ainsi conduit à tirer des deux équations précédentes la relation
demandée

wç — wa _Wc

M. Willis désigne ce rapport — ^, tantôt positif et tantôt

négatif, par la lettre unique e; en l'adoptant, mais en conser--
vant les notations expressives wa , 11% et tvc au lieu des lettres
a« m et n par lesquelles il indique les trois rotations, nous avons
la formule

— = e. [4]

Wb — Wl

Cette formule, nous le répétons, s'applique à tous les cas
possibles, pourvu qu'on ait égard aux signes, c'est-à-dire aux
sens des vitesses angulaires. Les proportions des rouages du

train étant données et par conséquent le rapport e égal à -—

étant connu, on peut disposer à volonté de deux des trois vi-
tesses angulaires waj wb, wc^ et calculer la troisième. Ainsi,
par exemple, on peut mettre Téquation générale sous la forma

Wc = Wa (1 — e) +WBe, [5]

où Ton remarque que wc est la somme des deux valeurs parti-
culières que cette rotation prendrait si Ton supposait successi-
vement les rotations Wa du bras et vo^ de la première roue
séparément nulles.

Si l'une des rotations, wa par exemple, était constante, et
une autre iub variable, la troisième tvc se composerait de deux

2^ CINÉMATIQUE. SBCT. I, CHAP. n.

parties, l'une constante proportionnelle à wj,j l'autre variable
proportionnelle à w^.

Le lecteur vérifiera facilement l'accord de la formule générale
avec celles qui ont été obtenues directement pour les questions
posées aux articles 162, 464 et d65.

Deuxièmb question. Les proportions des divers rouages étant
données depuis la première roue h jusqu'à un arbre quelconque Q
du train {dont le reste depuis l'arbre RR jusqu'à la roue C peut
être supprimé), trouver la relation entre les deux vitesses angu-
laires absolues Wa du porte-train et w^ de la roue B, et les vitesses
qui caractérisent le mouvement composé de t arbre Q.

L'axe de Tarbre entraîné Q peut être parallèle à Taxe com-
mun MN de la rotation du bras AA et de la roue B ; il peut
concourir en un point avec cet axe; enfin il peut n'être pas avec
lui dans un même plan. C'est ce qui constitue trois cas que nous
allons considérer successivement.

Prehibr cas. Axes parallèles. L'axe de l'arbre QQ décrit
alors un cylindre. Soit q sa distance à Taxe commun MN. Le
mouvement de Tarbre QQ est alors composé 1® d'une transla-
tion circulaire dont la vitesse linéaire est celle de son axe^ ex-
primée par qwj^j et 2° d'une rotation simple que nous dési-
gnons par îvq, parce qu'elle est égale à la vitesse angulaire de
Tarbre QQ autour de son axe instantané de rotation (66).

Le mouvement de l'arbre QQ peut aussi être considéré
comme composé de la rotation d'entraînement wa du porte-
train et de la rotation ^Fq de Parbre QQ relativement à ce
support. Or les deux axes de ces rotations étant, par hypothèse^
parallèles, on a (63), quels que soient les signes, Téquation

Wtt = WA+^Q, [6]

laquelle, jointe à celle-ci qui subsiste, comme dans la première
question, [1],

WB = WA + fFB,

THÉORIE GÉNÉRALE DES TRAINS ÉPICTCLOÏDAUX. 2^5

donne une équation semblable à celle qui a été tout à l'heure
obtenue, [3],

Wb — Wa ^b' ^

Ce dernier rapport dépend uniquement, grandeur et signe, des
liaisons qui existent entre l'arbre Q et la roue B. C'est le rapport
des rotations de ces deux corps, dans le cas où le support AA
serait immobile et les rouages en mouvement. On peut encore
le désigner par la lettre unique s, qui signifiera toujours le quo-
tient algébrique obtenu en divisant la rotation, relative au sup-
port, du dernier arbre considéré par la rotation, relative au même
support, de la première roue. La formule devient ainsi

Wq Wx

=£, ou WQ=Wj^(i — e)+WBe. [8]

Wb — Wa

Decxiéue cas. Axes MN et QQ concourants. L*axe de l'ar-
bre QQ décrit un cône, ou un plan s'il est perpendiculaire
à MIV. Soit a son angle avec MN. Le mouvement absolu de
Tarbre est une rotation instantanée iuq autour d'un axe mobile,
mais passant constamment au point de concours des deux
axes (48).

Cette vitesse angulaire tvq est la résultante de la rotation
d'entraînement wx et de la rotation ff^q de l'arbre considéré
relativement au porte-train. On a donc (61)

WQ^zswA^+fFQa-hSwA^^QCOSa. [9]

On a d'ailleurs toujours [1]

JffT

Wb=Wa + ^^b ou WB=^Wii + ~-,fVQ,

226 CINÊKÀTIQUE. SECT. U, CHAP. n.

OU encore

Le rapport —^ ou e est donné par les proportions du

train; il ne reste donc dans ces deux équations [9] et [I] que
deux inconnues fV^ et wq.

Troisième cas. Axes MX et QQ non situés dans un même
plan. L'axe de l'arbre QQ décrit un hyperboloïde de révolution
dont l'axe est MiV et dont le cercle de gorge a pour rayon la
distance perpendiculaire aux deux axes. Le mouvement de
l'arbre solide, quel qu'il soit, peut (67) se réduire à une transla-
tion circulaire et h une certaine rotation autour d'un axe instan-
tané. Nous désignons encore cette rotation par wq, en con-
tinuant d'appeler ^Fq la vitesse angulaire du même arbre
relativement au porte-train.

On a toujours la relation [1]

Wb = Wa + ^^b,

et comme le rapport -— est encore donné par les propor-

tions du train, on obtient ^^q comme précédemment en fonc-
tion très-simple des deux rotations de A et de B, savoir

et il ne reste plus qu'à composer JV^ , rotation relative, avec wa,
rotation d'entraînement, et avec la translation circulaire com-
mune à un point de l'axe Q, suivant les règles établies à Tar-
ticle 67 et mises en pratique à l'article 115, pour obtenir
toutes les circonstances du mouvement de Tarbre QQ dans
l'espace.

THÉORIE GÉNÉRALE DES TRAINS ÉPlCYCLOÏDAUX. 227

Emploi pratique des trains épirycloïdoux. M. Willis range en
quatre classes les divers usages qu'on peut en faire.

Premikr usage. Il a lieu lorsque le mouvement épicycloïdal,
cVst-à dire celui d'un corps tournan* autour d un axe qui tourne
lui-même autour d'un autre axe/fixe, est le but spécial qu'on se
propose.

Tracé mécanique des courbes épicycloïdales. Si, par exemple,
Taxe de Tarbre QQ mobile est parallèle à l'axe fixe MX, un
point quelconque adhérent à cet arbre et plus ou moins éloigné
de son axe, décrit dans l'espace une courbe plane qui peut être
dessinée sur un plan fixe par une pointe traçante T.

Le mouvement du corps QQT est alors, comme nous Pavons
dit (2" question, i" cas), composé de la translation circu-
laire ^ii^A et de la rotation ii'q.

Mais il peut, pins simplement encore, se ramener à une rota-
tion unique, instantanée, équivalente à un roulement cylin-
drique, suivant ce qui a été expliqué à larticle 66. Le plan de
la figure H2 étant perpendiculaire aux axes de rotation,
soient M la projection de l'axe fixe, et Q celle de l'axe mobile
à un instant quelconque. La vitesse de la rotation xv^ étant dans
le sens de la flèche, la vitesse de la translation circulaire est re-
présentée par QV = 9r-WA. La rotation composante wq étant
supposée de même sens que xv^, l'axe instantané O du corps
entraîné s'obtient en écrivant que, considéré comme invariable-
ment lié à ce corps, il a actuellement et instantanément sa vi*
tesse nulle dans Tespace. Or en représentant la distance OQ
par X, on remarque que la vitesse du point O se compose de
la translation q.voj^ dirigée au-dessus de MO, et de la vi-
tesse jc.wq en sens contraire due à la rotation wq. Donc la si-
tuation de l'axe instantané O est donnée par l'équation

X'Xjo^=zq.xx)i,. [10]

Ainsi il suffirait de connaître le rapport des rotations tvq et wa ,
et la distance q de leurs axes, pour en conclure l'autre dis-

â2d CINÉMATIQUE. SECT. 11^ CHaP. II.

tance a-, et se iigurer que le corps entraîné QQT se meut
comme s*il était invariablement lié à un cylindre dont le rayon
serait x, roulant sur un cylindre fixe qui aurait MX pour axe
et MO ou q^x pour rayon.

Les vitesses angulaires wq et w^ sont d'ailleurs^ comme on
Ta vu, liées à la rotation wn par Téquation [8]

tt'Q =: w^ (1 — s) + w,.e .

Concluons : i"" que si Ton se donne un train épicycloïdal et
par conséquent les quantités e et 9 et si Ton assigne une va-
leur déterminée au rapport — des rotations de la première

roue B et du porte-train A, on pourra calculer — et par

suite X. Si Ton se donne en outre la distance r de la pointe
traçante à Taxe Q, la courbe décrite sera parfaitement déter-
minée et pourra être graphiquement construite par points.
Dans le cas particulier où la distance r serait prise égale à jc,

c'est-à-dire à q — , le point décrivant serait sur la sur-

face même du cylindre roulant et la courbe serait une épicy-
cloïde.
2° Réciproquement, si Ton se donne .x et y — jc, rayons des

deux cylindres dont Tun roule sur l'autre, on en conclura —

h - et il ne restera plus qu*à déterminer — et e de
X r T ^^

rùanière 11 satisfaire à l'équation [8]

Wjk Wa

Cela pourra se faire d'une infinité de manières; et ce qui sera
le plus simple, sans altérer la courbe décrite, sera de

THÉORIE GÉNÉRALE DES TRAINS ËPICYCLOÏOAUX. 2S9

faire wb = o, c'est-à-dire de rendre la roue B fixe dans Tes-
pace. La courbe sera alors décrite par Teffet du nnouvemenl du
porte-train, et la dernière formule se réduira à

— =î— s, [H]

en laissant subsister Téquation [10]

Wa X *

Construction graphique de la courbe êpicycloïdale. L'équa-
tion [H] fournit le moyen de construire par points la courbe

dont il s'agit. Il suffit pour cela de considérer le riipport —

comme étant celui des déplacements angulaires simultanés du
corps QQT entraîné et du porte-train. Ainsi la figure 113
étant dans le plan de la courbe, M son intersection avec l'axe
fixe MRT, et Q^ son intersection avec Taxe mobile QQ à un
instant initial, soit T^ la position à ce même instant du point
décrivant. Pour obtenir un autre point T, de la courbe, on
supposera que le porte-train a tourné d'un angle a, ce qui a
amené l'axe mobile en Q, , et Ton tracera Q,1V, parallèle
à QoTo, puis la droite Q,T, égale à Q^T^ et faisant avec Q,1V^
l'angle P égal à (1 — s) a , ce qui revient à faire avec le pro-
longement de MQ, un angle ea en sens contraire de l'angle a,
si 6 est positif; (et en effet dans ce cas la rotation relative Wq
du rayon QT doit être de même sens que la rotation rela-
tive Wb, et puisque la roue B est immobile dans l'espace, sa
rotation relativement au porte-train est égale en sens contraire
à la rotation w^ de ce support; c'est ce que dit d'ailleurs l'é-
quation [1] quand on y fait Wb = o).

La construction qui vient d'être indiquée est conforme h. ce
qui a été décrit à l'article 65 pour la figure 2C.

230 CINÉMATIQUE. SECT. ïl, CHAP. II. '

Le tracé mécanique des courbes épicycloïdales fournit des
figures très-variées applicables au dessin d'ornement. Le Traité
de Cinématique de M. Ch. Laboulaye, pages 583 à 587, en offre
des exenjples curieux.

Deuxième usage des trains épicycloïdaux. Ce genre de méca-
nisme sert à établir entre les vitesses angulaires de deux arbres
un rapport exprimé par deux nombres dont les facteurs premiers
sont Irès-f^rands. Nous en avons vu un exemple à Tarliele 163.
A cette classe des applications se rapporte le cas où, deux rota-
tions étant données, on en obtient une troisième égale à la demi-
somme des deux autres, comme il est expliqué à Tarticle 165.

Troisième usage. 11 a lieu lorsque, une rotation étant donnée^
on veut en obtenir une autre beaucoup plus lente. L'article 162
en indique un exemple.

Quatrième usage. Ce dernier emploi d'un train épicycloïdal
se réalise lorsque, comme nous Pavons dit en terminant la so-
lution de la deuxième question, page 223, deux rotations étant
données, l'une constante, Tautre variable, il s'agit d'en obtenir
une troisième, composée de deux parties respectivement pro-
portionnelles à ces deux rotations.

2® 6BNRE. RAPPOBT DES VITESSES CONSTANT. AXES CONCOURANTS.

167. Contact immédiat d7. Cônes roulants.-^ {8. En-
grenage conique. Nous n*avons rien à ajouter ici à ce qui a^été
dit au chapitre Hî, articles 106 et 107. Les mécanismes indiqués
ci-api'os (1()9, 170 et 171) soiiî aj^plioabips au cas particulier oii
les axes exliéuips ^ont dans un même plan.

3 GI NI'.E. RAI'POUT DI S VirPSTS CONSTANT. AXES NON SUCÉS D\N.S ON MÊMK PL*H.

î 6îV Axes rei*:iîiit;iilalrcs, fontact immédiat. — 19. Vis

sans fin, La the(»rie dp ce u)é(;anisme a été expli(|uée aux ar-
tic:es llOpt suivants, où l'on a vu la distinction à faire entre la
vis sans tin à simple contact et la vis à contact curviligne con-
nue sous le nom abrégé de vis tangente.

HÉCàNISHBS. i^" CLASSE. 3« GBIfBE. S3i

IGO. Axes pouvant faire un angle quelconque, contact
Immédiat. — 20. Engrenage hyperholoîde. Ce sujet a été déve-
loppé aux articles H 4 et suivants. Ce genre d'engrenage peut
être employé lorsque les axes sont trop rapprochés pour per-
mettre l'emploi de la vis sans fin. Il est d'ailleurs plus favorable
sous le rapport du frottement.

170. Axe intermédiaire concourant avec les deux autres.

— 21. Quatre roues coniques, La figure indique suffisamment
cette combinaison.

171. Axe intermédiaire concourant avec l'un des axes
extrêmes, et parallèle à l'autre. -* 22. Deux roues dentées co-
niques et deux roues cylindriques. Ces deux dernières peuvent
être remplacées par deux poulies et une courroie sans fin.

172. Deux axes intermédiaires. — SS. Poulies de renvoi.

Quels que soient les deux axes A et B des deux rotations à
mettre en communication, on peut se les représenter comme
horizontaux. Les plans moyens des deux poulies sont verticaux
et se coupent suivant une verticale II. Des points C et D pris
à volonté sur cette droite, on mène les tangentes CE, CF,
DG9DH; dans les angles ECF, GDII, on dispose deux poulies
dites de renvoi, C et D, dont on assujettit les axes perpendi-
culairement aux plans de ces deux angles; la corde sans
fin ECFHDGE embrasse les quatre poulies, de manière que
le mouvement de Tune d'elles entraîne la rotation des trois
autres.

175. Courroie sans fin oblique. — 24. Une seule courroie
sans fin sur deux poulies non parallèles. Cette disposition est fon-
dée sur un fait remarquable : lorsqu'une courroie pas^^e sur une
poulie, il faut, pour qu'elle s'y maintienne, que la partie AB
(fig. 114) qui se transporte vers cette poulie ait sa ligne -milieu
dans le plan moyen de la pculic, ;>erpendiculaire à son axe de

232 ClNÉaiATIQUE. SECT. II, CBAP. H.

rotation ; mais il est sans inconvénient que la partie CD, qui
quitte la poulie, ail une certaine obliquité. Cela vient de ce
qtie la courroie, une fois appliquée en B sur la poulie, tourne
avec elle et y est retenue par le frottement. La force qui agit
suivant CD tend la courroie et lui donne cette direction à
mesure qu'elle quitte la poulie, mais ne la fait pas glisser.
Aussi est-ce sur la partie AB qu'on agit transversalement,
quand on veut désembrayer la courroie, la retirer de la poulie
en mouvement, comme nous le verrons, article 212.

Cela posé, le mécanisme représenté sous le n* 24 du tableau
synoptique, par deux projections verticales et une horizontale,
est facile à comprendre. Le mouvement a lieu dans le sens
marqué par les flèches. La branche montante de la courroie,
oblique sur le plan de la poulie inférieure qu'elle quitte, se
^neut dans le plan de la poulie supérieure vers laquelle elle se
transporte; la branche descendante, oblique sur la poulie su-
périeure d'où elle vient, se meut dans le plan de la poulie infé-
rieure où elle va. Si Von faisait tourner les poulies contrairement
au sens indiqué, la courroie se désembrayer ait spontanément.

La figure il 5 va nous servir à étudier d'une manière plus
précise les conditions géométriques de cette disposition. On
connaît les rayons des deux poulies, la distance h de leurs axes
supposés horizontaux, et leur angle a. On prend pour plan
horizontal de projection celui qui contient l'axe inférieur KO',
et, pour plan vertical de projection, un plan perpendiculaire à
l'axe de la poulie supérieure. On trace à volonté la ligne de
terre x'x, puis, par un point quelconque M du plan horizontal
on mène Taxe KO' de l'arbre inférieur, faisant avec une per-
pendiculaire à la ligne de terre l'angle a. Prenant à volonté le
centre O' de la poulie inférieure, on construit l'ellipse BCA,
projection verticale de la circonférence de cette poulie. Il ne
s'agit plus que de trouver sur l'horizontale NO,, située à la
distance h de x'x, le centre O, d'une circonférence dont le
rayon est connu, et qui doit satisfaire à cette condition : que

MÉCANISMES. i^° CLASSE. 4® GENRE. 233

AB et DA, étant les deux tangentes communes à la circonfé-
rence et à l'ellipse, les deux points de contact A et A, soient
sur une môme verticale qui sera la commune intersection* des
plans moyens des deux poulies; de sorte que le point A, où la
courroie quitte la poulie supérieure, est dans le plan de la poulie
inférieure, et le point A, où elle quitte cette dernière est dans
le plan de Tautre. On résout graphiquement ce problème par
tâtonnement, en essayant successivement quelques positions
du centre 0, et construisant une courbe d'erreur qui coupe
l'horizontale NO, au point cherché.

Lorsque les axes des poulies sont suffisamment éloignés l'un
de l'autre, comparativement à leurs rayons, les tangentes AB,
A,D sont à peu près perpendiculaires au plan parallèle aux deux
axes, et par conséquent les distances A'O' et A'0\ sont très-
peu différentes des rayons.

4<' OEKRE. RAPPORT DES VITESSES YABIADLE. AXES PARALLÈLES.

174. Contact de deux cames. — Exemple : 25. Spirale
logarithmique. Voir pour la théorie des cames les articles 124,
125 et 136.

175. Engrenages divers. — 26. Engrenage elliptique, —
27. Engrenage dérivé de V ellipse. — 28. Engrenage de qua^^rés
arrondis. Voir pour la théorie de ces mécanismes les arti-
cles 126 et 127. — 29. Engrenage de trois roues dentées ordi-
naires dont tune est excentrée. Ce mécanisme (indicjué en plus
grand dans la figure 1 16) comprend trois roues dentées de même
pas. L'une, dont le centre de figure est A, tourne autour de
l'axe a fixe et excentrique; l'autre tourne autour de Taxe B
fixe en son centre; la troisième, intermédiaire, a son centre C
assujetti à se mouvoir en restant à dislance invariable des cen-
tres A et B des deux autres. Appelons A, B, C les rayons
des trois roues, et soit r la distance aA, rayon de la circonfé-

234 CmÉHATIQUB. SBCT. II, CHÀP. II.

rence que décrit le centre A. La distance constante des cen-
tres C et A est égale à C + A, La distance variable Ca, à
cause du triangle CaA, est assujettie à deux conditions, savoir
d'être inférieure ou tout au plus égale à CA + r, et supérieure
ou tout au moins égale à CA — r. C'est pourquoi le point C,
mobile sur un arc de cercle dont le rayon est B-l-C, oscille
entre deux positions, savoir : C' dont la distance C'a au centre
de rotation est C + ^ + r, et C" dont la distance C"a au
même point est C + A — r. Dans chacune de ces positions
extrêmes le rapport des vitesses angulaires Wa et w^ des
roues a et B est facile à calculer, parce que le centre C est
sans vitesse, et est par conséquent le centre instantané de rota-
tion de la roue intermédiaire. On a donc dans les deux cas ex-
trêmes :

ihi;B=(-4 + r) Wa, et Bw^^:z[A — r)w^.
Le rapport des vitesses angulaires — varie donc entre
A+r A — r

-B- '' -F-'

de sorte que si Ton veut que w^ étant constante, wb varie
dans le rapport de n à 1 , il faudra faire

A + r A n + i

ou — r—

A — R r n — i

SO. Cônes inverses de Roemer. La figure donne l'idée d'un
système de rouage proposé par le célèbre astronome danois
Uoemer (1644 à 1710) pour faire varier le rapport des vitesses
angulaires de deux arbres. Les deux axes AA, et BB, sont
parallèles. Autour du premier tourne un tronc de cône armé
dans toute sa hauteur de côtes saillantes analogues aux dents
des roues d'engrenages coniques. Autour du second tourne un

ENGRENAGES DIYERS. 235

autre tronc de cône dont le sommet B, est opposé à celui du
premier, et il est garni de chevilles qui successivement se lo-
gent dans les cannelures de celui-ci. Soient r et R les rayons
primitifs des bases supérieures; r, et JR, ceux des bases infé-
rieures. Lorsque la cheville située dans la base supérieure en-
grène avec le cône cannelé, le rapport des vitesses angulaires

autour de AA, et BB, est égal à —; lorsque o/est la che-

ville inférieure, ce rapport devient — ^. Les chevilles inter-

médiaires établissent la transition de Tune à l'autre de ces
valeurs, et sont disposées suivant une courbe primitive qu'on
déterminera par une construction graphique exécutée sur le
développement des deux cônes primitifs.

Remarques. — I, Lorsque le mouvement du cône cannelé est
uniforme, le mouvement du cône à chevilles est périodique-
ment uniforme, chaque période ayant la durée d\me révolution
de cette dernière roue ; si le nombre des cannelures et celui des
chevilles sont premiers entre eux, la même cannelure est suc-
cessivement en contact avec les diverses chevilles de ta seconde
roue. Cette propriété distingue essentiellement les roues dont
il s'agit ici de celles qui sont indiquées à l'article 174.

IL Les deux axes de rotation pourraient n'être pas paral-
lèles; il suffirait que les deux cônes primitifs fussent tangents
suivant une génératrice commune et quo, par conséquent, les
axes fussent dans un ujôine plan. L'un des cônes pourrait de-
venir un cylindre.

31. Secteurs dentés en g 7'enant altentafivemenl. Ce mécanisme
est une application imméiliale de ce qui e.^l expliqué à l'ar-
ticle 126, V.

32 Engrenage intermittent. Voir sur ce sujet l'article 130,
où les deux roues font simultanément un dixième de tour,
après quoi Tune des roues s'arrête pendant que Tautre achève

23G CINÉMATIQUK. S£CT. H, CHAP. II.

d'accomplir un tour entier. Ajoutons seulement ici que si les
deux roues devaient se mouvoir ensemble pendant une plus
grande fraction du tour entier, il faudrait que la roue qui tourne
conlinuellement portât plusieurs dents consécutives s'engre-
nant dans un môme nombre d'intervalles creusés au pourtour
de la roue intermittente. C'est ce qu'indiquent la figure 1 17 et
le n° S*^ du tableau synoptique, dans les(^uels la roue intermit-
tente C fait un quart de tour à chaque révolution complète de
l'autre roue C.

Les mécanismes intermittents ont en général un inconvé-
nient : c'est celui du choc qui a lieu chaque fois que la pièce
en mouveiTiont continu recommence à agir sur l'autre pièce en
repos, choc (Paiitant plus sensible que la vitesse du corps cho-
quant, à Tenflroit du contact, est considérable. La tigure 147
montre un moyen d'atténuer cet effet nuisible; deux cames AB,
A'B', sont fixées sur les faces latérales d'un même côté des
roues C et C; la came AB est en saillie sur la projection du
contour de la roue intermittente C, l'autre came, A'B\ est en
dedans du contour de la roue C. Ces deux cames sont dispo-
sées de manière à se toucher en B et B', à l'instant où la dent
D' de la roue C, tournant dans le sens indiqué par la flèche,
va bientôt atteindre la dent D de la roue intermittente. Ainsi
au lieu d'un choc il y en a deux, mais beaucoup moindres.
Nous démontrerons théoriquement ailleurs l'avantage de ces
chocs échelonnés.

Dans la figure 117, les rayons CT, C'T, des cercles primitifs
de Tengrenage sont égaux, mais cette condition n'est pas né-
cessaire.

176. Manivelles. — SS. Deux manivelles, Vune à bouton,
Vautre à coulisse. Soient A et A' les axes de rotation proje-
tés sur un plan qui leur est perpendiculaire. Soit leur dis-
tance AA' = fï (fig. 'H8), et soit r la distance constante du
centre B du bouton de la manivelle AB à son axe A: En ap-

MÉCANISMES. 1'® CLASSE. 4« GENRE. 237

pelant a et a' les angles BAC et BA'C des deux manivelles
avec le plan AA', on a

rsina ,, , da' r^ — arcosa
tang a' = , d ou 5—; = rr^da .

da , _ . , . . . .

— est le rapport des vitesses angulaires w' et iv, qui varie

dûc

entre les deux valeurs qu'il prend quand les angles a et a' sont
nuls, et quand ils sont égaux à 180'.

Les équations précédentes confirment, ce qu'on reconnaît
immédiatement, qu'on a :
dans le premier cas,

tu.r = iw'(r — a),

et dans le second ,

v).r:=:w' {r + a),

34. Deux manivelles égales unies par une bielle. Cette bielle
est plus grande que la distance des deux axes de rotation. Le
rapport des vitesses des deux manivelles est déterminé par la
théorie du n° 55, déjà rappelée au n** 137.

177. Communicatioii par un corps flexible. •— S5. Fusées,

Deux cônes, ou un cône et un cylindre cannelés en spirales sur
lesquels s'enroule une corde ou une chaîne, servent à faire va-
rier le rapport des vitesses angulaires de deux arbres parallèles,
suivant une loi évidente.

S6. Deux poulies dont Pune est excentrique, La théorie de ce
mécanisme est expliquée aux n°» 146 et 148. Un poids dit ten-
deur sert à maintenir la tension de la corde sans fin.

37. Pédale du tourneur. Ce mécanisme imprime au cylindre
sur lequel s'enroule la corde une vitesse angulaire à peu près
proportionnelle à celle de la pédale où cette corde est attachée.
Le ressort supérieur maintient la tension.

238 CINÉMATIQUE. SECT. II, CHÀP. II.

5* GENRE. BAPPORT DES VITESSES VARIABLE. AXES NON PARALLÈLES.

178. CommunicaCion par croisillon. — Z&. Joint brisé de
Cardan. Voir à ce sujet le n*» 143. Lorsque l'angle des deux
axes est trop grand pour qu'on puisse lier leurs rotations par un
seul joint, ou Lien encore lorsque les deux axes ne sont pas
dans un même plan, on peut h's lier |)ar un arbre intermé-
diaire et par deux joints établis à ses inlerscclions avec les deux
arbres donnés.

1 79. Communication immédiate par eno^renage. — S9 /iou€
dentée excentrique et long pignon. Ce mécanisme, imaginé par
Huyghens, est applicable an cas où les deux axes concourent et
sont à angle droit. La roue, armée d'un grand nombre de dents,
forme une sorte de couronne dont la base plane et circulaire
tourne autour d'un axe qui lui est perpendiculaire et qui passe
en un point intérieur autre que le centre. Le pignon parallèle
à cette base est assez long pour pouvoir engrener avec la roue
dans ses diverses positions. Les dents du pignon étant cylin-
driques ne peuvent à chaque instant toucher celles de la roue
qu'en un point. Aussi ce genre d'engrenage ne pourrait-il être
convenablement employé que dans le cas où la pression mu-
tuelle des dents serait faible et leur mouvement très-lent.

40. Vis sans fin à inclinaison variable. Si l'on modifie la vis
sans fin en donnant à ses filets parallèles une inclinaison va-
riable, il en résulte que tandis que la vis tourne uniformément
autour de son axe, la roue avec laquelle elle engrène a une
vitesse angulaire variable par périodes dont la durée est celle
d'une révolution entière de la vis.

41. Engrenage d'angle intermittent. Le mécanisme décrit à
l'article 174, n° 32, est applicable par analogie au cas où les
deux axes de rotation, au lieu d'être parallèles, se rencontrent
en un point. Les courbes de la figure i 12 sont alors tracées sur
une sphère dont le centre est au point de concours des axes.

HÉCANISIHBS. i^ CLASSE. 5« GENRE. 239

et les surfaces de contact, cylindriques dans l'hypothèse de la
figure 117, deviennent coniques, ayant pour sommet ce même
point.

180. Commanication par bielle. — 4*2.. Deux balanciers
oscillant simultanément , Ces deux corps, assujeltis chacun à un
axe de rotation, sont liés par une bielle. Si les deux axes étaient
parallèles, les articulations de la bielle et des balanciers seraient
simplement à charnière. S'ils ne sont pas parallèles, et si les
articulations doivent être assujetties sans ballottement possible,
il faut qu'elles soient à rotule ou à joint brisé. Mais si cette pré-
cision n'est pas nécessaire, l'assemblage s'obtient en terminant
chaque balancier et la bielle par des anneaux circulaires qui
s'engagent mutuellement Tun dans Tautre, disposition qui ne
serait pas praticable pour un balancier qui devrait faire sa ré-
volution entière. Du reste, les vitesses simultanées des deux
articulations sont soumises à la règle de l'article 37, puisque
ces deux points sont à une distance invariable. •

4S. Renvois de sonnettes. Ce mécanisme, très-simple, est analo-
gue au précédent. Des fils métalliques faisant fonctions de bielles
sont attachés aux bras des balanciers par de simples nœuds.

§2.

2<' CLASSE. LIAISON DE DEUX MOUVEMENTS, l'UN GIRCULAIREi

l'autre regtiligne ou HÉLIÇOIDE,

AVEC CHANGEMENTS DE SENS SIMULTANES.

1er gehre. translation parallèle au plan de la rotation.

181. Communication immédiate. — 44. Rouleau menant
une tige. Dans la figure la tige, étant horizontale, est maintenue
et pressée contre le rouleau par son poids. Si elle était verticale,
il faudrait un autre moyen de pression dont on verra plus loin
un exemple.

240 CINÉMATIQUE. SBCT. II, CHAP. II.

45. Roue dentée et crémaillère. La forme des dents a été étu-
dié à l'article 10-4. On voit dans la figure deux rouleaux qui
empêchent la crémaillère de s'écîirter de la roue. De plus, pour
l'empêcher de se mouvoir parallèlement à Taxe de la roue, on
guide ses deux extrémités, ou bien, si Ton n'en guide qu'une,
on munit la roue de deux joues entre lesquelles glissent les
dents de la crémaillère.

46. Balancier à coulisse et tige guidée à bouton. La figure
suffit pour montrer en quoi consiste ce mécanisme fort simple.
La relation variable de la vitesse linéaire de la tige et de la vi-
tesse angulaire du balancier se calcule ainsi que la vitesse de
glissement, comme l'explique l'article 8i2.

47. Balancie?' à bouton et tige guidée à coulisse, La ligne-
milieu de la coulisse étant perpendiculaire à la translation de
la tige, un point quelconque de celle-ci supposée verticale se
meut comme la projection verticale du centre du bouton qui
décrit un arc circulaire. II est utile, pour diminuer l'usure,
d'entourer le bouton d'un coulisseau rectangulaire, suivant une
indication de l'article 131, page 174.

i89>. Communication par l'intermédiaire d'un corps
flexible. — 48- IreuiL Ce mécanisme, très-simple, est bien
connu. Sur l'arbre cylindrique et horizontal, mis en mouvement
de rotation au moyen d'une manivelle ou d'une roue à che-
ville, s'enroule une corde qui s'y applique en héHce et dont la
partie verticale pendante supporte un fardeau. Le mouvement
d'un point de cette partie de la corde est rectiligne, mais non
exactement vertical, puisque à Chaque tour du treuil ce point
s'élève d'une quantité égale à la longueur d'une spire de l'hé-
lice tandis qu'il s'avance horizontalement d'un pas.

49. Double treuil à gorges. Dans le treuil ordinaire dont nous
venons de parler, la corde ne peut avoir qu'une longueur limi-
tée par celle du cylindre, à moins qu'elle ne s'y enroule par
couches, ce qui fiiit varier le rapport des vitesses. On évite ces

HÉCÀKISHBS. 2® CLASSB. l""' GENRE. 241

deux conditions dans l'appareil indiqué par la figure 119 et le
n*" 49 du tableau synoptique. Les deux arbres AA et A'A' sont
parallèles dans un plan que nous supposons horizontal, quoi-
qu'il puisse être quelconque. Ils tournent dans le même sens et
avec une même vitesse, au moyen de deux roues dentées
égales, calées sur ces arbres et engrenant avec un pignon inter-
médiaire fixé sur l'arbre BB. Aux extrémités des arbres AA
et A' A' opposées aux roues sont deux rouleaux cannelés trans-
versalement, offrant par conséquent la forme de deux systèmes
de poulies égales, C, D, E,- d'une part, C, D', E',-- de
l'autre. Une corde NN -MM s'engage du côté de MM dans la
poulie C où elle occupe un quart de circonférence, passe en-
suite de cette poulie G à la poulie G' par-dessus; elle occupe
sur G' une demi-circonférence, puis elle passe, par-dessous,
de G' à la poulie D ; elle revient par-dessus et passe à la pou-
lie D', d'où elle va par-dessous à la poulie E', puis par-dessus
à la poulie E'^ où elle n'occupe, suivant la supposition de la
figure, qu'un quart de circonférence, après quoi la corde descend
du côté de NN. Comme on le verra plus tard dans le traité où
il sera question du frottement, une faible tension de la corde
en NN sufiit pour empêcher la corde de glisser, quoique la ten-
sion en MM soit considérable. II est évident que le mouve-
ment uniforme de rotation de la manivelle et des arbres déter-
mine le mouvement uniforme et rectiligne de la corde du
côté MM, mouvement prolongé autant que le permet la lon-
gueur quelconque de cette corde.

50. Treuil conique. Dans ce cas, la vitesse de la manivelle
et celle d'un point de la corde sont dans un rapport variable
qu'on pourrait même assujettir à une loi donnée en rempla-
çant le tronc conique par une surface de révolution d'un profil
convenable.

61. Bobine. La corde, ordinairement plate dans ce cas, s'en-
roule par couches successives les unes sur les autres, et le rap-
port des vitesses varie en conséquence.

242 CINtMATlQUJt. SBCT. II, CHàP* U,

52. Treuil différentiel. Il est formé de deux cylindres iné-
gaux sur lesquels les deux parties extrêmes d'une même corde
sont enroulées en sens contraire. La partie intermédiaire
embrasse une poulie mobile dont la chape supporte un fardeau.
JR et r étant les deux rayons des cylindres, pour un déplaca-
ment angulaire a du treuil^ la corde s'enroule d'un oâté de aH
et se déroule de l'autre de ar. La partie pendante de la corde
diminue de a (R — r) ; et la poulie s'élève à peu près de

- a (It — r) , tandis que l'extrémité de la manivelle dont le

JR — r

bras est b décrit l'espace ah. Le rapport des vitesses

peut être rendu aussi petit qu'on veut (d'où Ton conclut en dy-
namique que le rapport de TefTort exercé sur la manivelle au
poids du fardeau peut être aussi arbitrairement diminué).

L'inconvénient le plus palpable qui s'oppose à l'emploi pra-
tique de ce mécanisme est la grande longueur de corde néces*
saire, pour une médiocre élévation obtenue. Soient h cette
hauteur et / la longueur de corde qui se déroule de dessus le
petit cylindre. On a, d'après ce qui vient d'être dit^

2 ^ ^ ' R—r

il faut donc que la longueur totale de la corde soit plus grande
que

2/*r ^, 2AJR

+2* ou

R — r JR — r

52. Palan différentiel de Wilson. Cet appareil de nouvelle in-
vention a une grande analogie avec le treuil différentiel; il en
diffère principalement en ce que la corde, au lieu d'être fixée
par ses deux extrémités sur les cylindres inégaux, est une corde
ou plutôt une chaîne sans fin. Les deux cylindres sont rempkh
ces par deux poulies R et R' calées sur un même arbre toumanl.

HÉCANISMES. S"" CLASSE. !«' GENRE. 243

et creusées chacune en gorge dans laquelle la chatne s'engage
sans pouvoir glisser longitudinalement. Les quatre parties verti-^
cales de la chaîne supportent deux poulies p eip' k l'une des-
quelles est suspendu un fardeau qu'il s'agit d'élever en impri-
mant un mouvement de rotation au système des deux poulies
supérieures. La figure montre comment la chaîne sans fm est
disposée. Un de ses points pris d'abord sur la partie A monte»
passe sur la grande poulie R, descend suivant la droite B, par-
court le dessous de la poulie p', puis remonte suivant G vers la
petite poulie R' ; il en parcourt la demi-circonférence supérieure,
puis il redescend vers la poulie chargée p sous laquelle il passe,
après quoi il remonte suivant D vers la grande poulie supé-
rieure R, et ainsi de suite. La somme des longueurs des quatre
parties de la chaîne étant constante, il en résulte qu'^i^Unt la
poulie p monte^ autant la poulie p descend. Il ne reste qu'à
trouver la relation de la vitesse angulaire tu de l'arbre supé**
rieur ou de sa manivelle avec la vitesse linéaire v du centre de
la poulie montante;». Or, pendant Tunité de temps, un point de
la partie A de la chaîne s'élève de wRy tandis qu'un point de
la partie D s'abaisse de wH'; donc l'ensemble de ces deux par-
ties s'est raccourci de wR — wR', et par conséquent la poulie p
s'est relevée de la moitié de cette quantité. On a donc

W(R~ R')

"= — T-

d'où il suit que dans cet appareil, comme dans le treuil diffé-
rentiel, le rapport de la vitesse wb de la manivelle à la vitesse v
de la poulie ascendante est

R — R'

54. Tambour ou secteur lié à une tige tangente, par des chaînes

244 GOIÉHATIQUE. SBGT. U, CHIP. O.

OU des lanières. Le tambour ou secteur est mis en mouvement
par une manivelle ou par un balancier plus ou moins long.

55. Tambour ou secteur et corde passant sur deux poulies de
renvoi. A la corde est attaché un corps dont le mouvement alter-
natif est guidé.

56. Archet et foret. Ce mécanisme, bien connu dans les ate*
liers, s'explique par la figure.

185. Goiiimiiiileatloi& par l'Intermédiaire d'un eorps s»«
llde. — 57. Balancier, bielle et tige guidée. Le rapport des vi-
tesses du balancier et de la tige se détermine par les considé-
rations de Tarticle 56.

58. Balancier à support oscillant et tige guidée. Le balancier
est immédiatement articulé, d'une part^ en A à la tige assujettie
à un mouvement rectiligne; d'autre part, en B^ au support oscil-
lant autour d'un axe fixe G. A chaque instant le centre instan-
tané de rotation du balancier est à la rencontre de la droite €B
et de la perpendiculaire en A à la direction de la tige.

59. Balancier à bride. — 60. Parallélogramme articulé de
Watt. La théorie de ces mécanismes est étudiée aux articles 438
et 139.

6i. Zigzag. Ce mécanisme se compose d'une suite de lo-
sanges articulés dont le premier a son sommet fixe en G^ et le
dernier a son sommet A sur une tige guidée AB. En appelant n
nombre des losanges, a la longueur de leurs côtés^ a Tangle
variable de ces côtés avec la direction de la tige, x la distance
de Taxe de rotation fixe G au dernier sommet A, on a

^ dx da

x = 2nacosa, d'où — = 2nasma — ,
dl dr

relation de la vitesse linéaire de la tige et de la vitesse angu-
laire des leviers disposés en prolongement de deux côtés du
premier losange.

2« CBIIRB. TIUHSLATIOH PARALLiLE A l'aZE DE LA ROTATION.

184. Commimleailoii immédiate. — 62. Cylindre à rainure
et bouton glissant. Dans le cylindre est creusée une rainure de
largeur constante, où pénètre une cheville cylindrique dont le
diamètre est presque égal à cette largeur. La cheville liée à un
corps solide guidé ne peut se mouvoir que parallèlement à Taxe
du cylindre. Celui-ci^ en tournant, détermine la translation rec-
tiligne de la cheville, suivant une loi qui dépend de Tinclinai-
son de la rainure sur les génératrices qu'elle traverse.

6S. Vis sans fin et crémaillère. -^Gi, Vis tournant simplement
et écrou guidé en translation. Ces deux cas ont une analogie évi-
dente avec le précédent. Dans Texemple 62 la vis est assujettie
par un collier A à ne se mouvoir que circulairement et non
longitudinalement ; Fécrou guidé ne peut tourner.

65. Tracé mécanique d'une hélice. La fonction de ce méca«*
nisme est, pour ainsi dire, réciproque de celle du numéro 62. Le
cylindre sur lequel il s'agit de tracer Thélice est mis en mou-
vement de rotation à Taide d'une manivelle ou autrement. Ce
mouvement, au moyen d'un engrenage^ détermine la rotation,
sans translation, d'une vis dont Taxe est parallèle à celui du
cylindre. La vis fait mouvoir en translation un écrou guidé qui
porte une pointe traçante en contact avec le cylindre. Cette
pointe décrit sur le cylindre une hélice dont le pas est à celui
de la vis dans le rapport inverse des vitesses angulaires du cylin-
dre et de la vis^ ou dans le rapport direct des diamètres primi-
tifs des deux roues dentées.

66. Foret à vis. Une tige verticale en forme de vis à filets
fortement inclinés porte à une'extrémitè un outil à percer les
métaux, dit foret; à l'autre extrémité est un pivot engagé dans
une sorte de pomme de canne qu'un ouvrier tient à peu près
immobile d'une main, tandis que de l'autre il saisit un long
écrou que la vis traverse et qu'il fait mouvoir alternativement de

246 CmtHATlQtS. SBCT. Il, CBAP. 0.

ba^it en bas et de bas en haut; d'où il résulte que la vis et le
foret tournent borizontalement et alternativement dans les deux
sens. Ce cas est géométriquement analogue aux précédents*^ la
différence est quMci c'est l'écrou qui fait mouvoir la vis.

67. Ecrou tournant simplement et vis en translation. A chaque
tour de l'écrou, la vis s'avance d'un pas des filets, quel que
soit leur nombre.

68. Deux vis inverses. Ces deux vis en prolongement Tune
de l'autre ont leurs filets de sens contraires ; elles s'engagent dans
deux écrous qui, ne pouvant tourner, se rapprochent ou s'é-
loignent suivant qu'on donne à la vis à droite la rotation directe
ou la rotation rétrograde.

69. Vis tournant dans un écrôu fixe. Dans ce cas la vis n'a
plus un mouvement simple de rotation, mais un mouvement
héliçolde composé de translation et de rotation. La presse à vis
et la presse à timbrer offrent des exemples vulgaires de cet
emploi de la vis.

Si la vis doit recevoir son mouvement hélicoïde d'un engre-
nage ou d'une courroie, il faut que la roue dentée ou la poulie
qui tourne autour du même axe géométrique que la vis ait an
mouvement de rotation, c'est-à-^ire ne se déplace pas suivant
l'axe. On obtient ce résultat par la disposition qu'indique le
numéro 69 du tableau. La roue ou poulie est liée à une gorge
tournant dans un palier fixe. L'arbre qui traverse la roue tourne
forcément avec elle, mais peut y glisser longitudinalement, ces
deux pièces n'étant assemblées qu'à frottement doux, avec rai-
nure et languette. Ce même arbre a une portion filetée, c'est-
à-dire taillée en vis, qui, lorsqu'elle tourne, s'avance ou recule
dans l'écrou fixe où elle est engagée*

70. Vis différentielk. Deux vis de pas différents sur un même
arbre tournent dans deux écrous, l'un immobile A, l'autre
guidé B et ne pouvant avoir qu'un mouvement de translation. A
chaque tour de l'arbre, celui-ci s'avance d'un pas de l'écrou im-
mobile et de sa vis; mais si les deux vis sont de même sens,

MÉCÀNlSltfiS. 2' CLASSE. S« GENRE. $47

récrou mobile recule, sur Tarbre, d*un pas de sa tîs; donc il ne
s'éloigne de l'autre écrou que d'une quantité égale à l'excès du
premier pas sur le second. Si, par exemple, la différence des
pas .est de 1/10* de millimètre, la vis tournant de 2°, angle facile
à mesurer sur un limbe gradué, fera théoriquement marcher
récrou tnobile de 1/1800® de millimètre. Mais ce mécanisme n'a
pas l'utilité pratique qu'on pourrait lui attribuer, parce que la
précision dés mouvements est altérée par le jeu inévitable des
vis dans leurs écrous, et de Técrou mobile entre ses guides.

188. Connunnicatioii par engrenages intermédiaires. — ^

7i . Machine à aléser. Un arbre cylindrique creux A A A' A' tourne
sans translation sur leâ deiix paliers fixes B, B', reposant sur
deux poupées CB, C'B'. Il reçoit son mouvement par une
roue DD câlée à l'une de ses extrémités ; il entraîne dans sa rota-
tiôn la roué EË calée aussi sur lui, vers l'autre extrémité, mais
dans l'intervalle des poupées. A l'intérieur de cet arbre creux
est un arbre plein cylindrique FF', portant une longue vis à
filets quarrés dans Tespace compris entre là roue ÊE et la pou-
pée C'B' ; et à son extrémité F, étl dehors de l'Intervalle dés
poupées, est calée une roue HH, dont le tnouVement est lié à
celui de la roue EË au moyen des roues dentées t et ft calées
sur le petit arbre LL tournant sur deux paliers fixés à la pou-
pée C.

Sur la vis de Tarbre FF' se meut un écrou al faisant corps so-
lide avec \e porte-outil NK, auquel se trouve fixé le ciseau qui
rabote ou alèse la paroi intérieure du cylindre immobile OO.
L'écrou M, intérieur à l*arbre creux, et Panneau extérieur qui
entoure ce même arbre et sert de base aux branches IV, HT, du
porte-outil , sont liés entre eux par une languette qui glisse
dans une rainure PP, ouverture longitudinale pratiquée dans
l'arbre creux. Il en résulte que le porte-outil possède un mou-
vement composé d'une translation le long de la rainure (transla-
tion déterminée par la rotation de la vis relativement à Parbre

S48 CDftlATIQCK. 8BCT. H, CHAP. H.

^reux), et d*une rotation égale à celle de l'arbre creux qui l'en-
traîne.

Comme il importe que l'outil aléseur ait une translation très-
lente comparativement à sa vitesse rotatoire dans le cylindre OO,
les engrenages des roues E, K, I et H, sont calculés de manière
que la vitesse angulaire de la vis soit très-petite comparative-
ment à celle de Tarbre creux. Si les quatre roues avaient un
même nombre de dents, les deux extrêmes E et H auraient la
même vitesse angulaire^ dans le même sens; la vis et son écrou
seraient en repos relatif dans Tarbre creux; par conséquent le
porte-outil serait comme fixé sur cet arbre ; il .tournerait sans
avancer. Pour obtenir une marche longitudinale très-lente^ on
fait en sorte que la vitesse angulaire de Técrou et par conséquent
de la roue E excède un peu celle de la vis et par conséquent de
la roue H^ ce qu'on réalise en donnant à la roue E moins de
dents qu'à la roue H , tandis que les roues I et K en ont un
même nombre d'ailleurs quelconque. Soient E et H les nom-
bres de dents respectifs des roues E et H. Pendant que les
roues D et E font H révolutions, le nombre de dents qui passe
au contact des roues E et K, et par conséquent aussi au contact
des roues I et H, est égal à HE ; d'où il suit que la roue H fait E
révolutions. Ainsi la vis, liée à la roue H^ fait E révolutions pen-
dant queTécrou, comme Tarbre creux, en fait JJ; donc J'écrou,
relativement à la vis, fait H — E tours pendant que les roues D
et E et l'oulil en font H. Or, à chaque tour qu'il fait relative-
ment à la vis , récrou s'avance d'un pas de cette vis, ainsi que
Toutil qu'il entraîne; donc pendant que la roue D, l'arbre creux
et l'outil font H révolutions^ l'outil avance de H — E pas, oa
bien, le pas étant désigné par p^ à chaque tour de la roue D et

de l'outil, celui-ci avance de p .

Exemple : Jï=:40, 1^=39, ;>=:0«*,01. A chaque tour de la
roue D et de l'outil, celui-ci avance de 0-,00025.

Remarque. — Les deux roues presque égales H et E pour-

■ÉCAiiiBin. 3* clàmb. 249

raient être situées Tune près de Tautre, en dehors de Tinter-
valle des poupées^ et les deux roues I et K confondues en une
seule. On sait en efifet que, dans le système des profils de dents
en développantes de cercle, des roues différentes peuvent en-
grener avec une même roue, et que la distance des centres, pour
deux roues données de cette espèce, est arbitraire entre cer-
taines limites; par conséquent elle peut rester la même, quoique
le nombre de dents varie quelque peu.

§3.

3* CLASSE. LIAISOIV DB DEUX MOUVBMSNTS BBGTaiGlUBS.

- 186. Communication Immédinte. — 72. Plan incliné en
translation conduisant une tige guidée^ ou deux tiges guidées^ Vune
à coulisse^ Pautre à bouton. Ces mécanismes, qui, au point de vue
géométrique, ne diffèrent pas, offrent des applications faciles de
la théorie de Tarticle 83.

187. Commnnieatlon par rintermédiaire d'an eorps so-
lide. — 7S. Deux tiges guidées^ unies par une bielle. C'est un cas
particulier du numéro 55. Si les axes des deux tiges sont dans
un même plan, le centre instantané de rotation de la bielle est
à l'intersection O des droites AO et A'O menées par les centres
d'articulation A et A' perpendiculairement aux directions des
tiges. Donc, en désignant par v et v' les vitesses des tiges, on a

V v'

-— - = "ZTr ou V sin a = v' sin a' .
AO A'O

Cette dernière relation résulte immédiatement de l'article 37,
et subsiste même dans le cas où les articulations, étant à rotule
ou à joint brisée ne se meuvent pas dans un même plan.

S50 CINfiHATtOtt. SBCT. 0, CfiÀP. II.

188. Conimiuiitratloii par èomie et poulies stmpleè. —

74 a. Poulie fixe. On appelle ainsi une poulie dont Taxe géo-
métrique de rolation est fixe. Les deux portions rectilignés de
la corde, courroie ou chaîne qui enveloppe partiellement la
poulie ont la même vitesse ; Tune d'elles doit avoir son axe ou
ligne moyenne dans un plan perpendiculaire à Taxe de rotation
de la poulie ; mais l'autre peut s'en écarter sensiblement (47S),
pourvu que la poulie tourne dans un sens déterminé. —
74 b. Deux poulies fixes ou de renvoi. La corde ou courroie a
trois parties rectilignés dont la seconde, intermédiaire, ren-
contre les directions des deux autres prolongées. Pour que le
mouvement soit possible dans les deux sens, chaque poulie a
son axe de rotation perpendiculaire au plan des deux directions
qui lui sont tangentes. — 75* Poulie mobile et poulie fixe de renvoi.
Si les deux portions rectilignés de la corde, tangentes à la poulie
mobile a, Tune en repos^ Tautre en mouvement, sont parallèles,
ce qui est le cas ordinaire, un point de la portion mobile et de
son prolongement au delà de la poulie de renvoi b a une vitesse
double de Taxe et de la chape de la poulie a qui se meuvent en
ligne droite. En effet la poulie mobile roule sans glissement sur
la portion immobile de la corde, et par conséquent sa circon-
férence a une vitesse double de celle de son centre.

149. Gommimleatloa par «ne earde et an palan. — On ap-
pelle une moufle un assemblage de plusieurs poulies, tournant
dans une même chape, tantôt autour d'un même arbre» tantôt
autour de divers axes parallèles situés dans un même plan.
Deux moufles liées par une même corde allant alternativement
de Tune à l'autre forment un palan. La chape d'une des moufles
s'attache à un point fixe, l'autre chape est mobile et supporte
une certaine charge. L'une des extrémités de la corde s'attache
à la Chape d'une des deux moufles. Chaque portion tectlligne
de la corde entre les deux moufles s'appelle uii courant. Tous
les courants sont très-approximatlvemént parallèles entre eux.

MÉCÀNISHCS. 2^ CLASSIS. 251

La dôrnièfe portion de la corde, celle (}ui quitte une des mou-
fles sans aller passer sur une poulie de l'autre, s'appelle le garant.
En général la vitesse des deux courants consécutifs qui abou-
tissent à une même poulie fixe ont même vitesse en deux sens
contraires, tandis que des vitesses en sens contraires des deux
courants qui aboutissent aune poulie mobile, l'une est en valeur
absolue plus grande que l'autre d^une quantité égale au double
de la vitesse de la chape ; c'est ce qui résulte de ce que les deux
points de contact diamétralement opposés des garants et de la
poulie, étant considérés dans leur mouvement relatif à la chape
et à Taxe de cette poulie, ont des vitesses égales et de sens op-
posés.

Il y a lieu de distinguer les deux cas ci-après indiqués; nous
supposons, pour faciliter l'explication, que les courants sont ver-
ticaux ainsi que le garant, et que la moufle mobile monte avec
une vitesse t; .

1&. Palan dont les deux moufles ont le même nombre n de poulies.
Dans ce cas le premier courant peut être attaché à la chape de
l'une ou de l'autre des deux moufles. S'il est attaché à la mou-
fle fixe, 76 a, le premier courant est immobile et le garant des-
cend avec une vitesse égale à 2nv; s'il est attaché à la moufle
mobile, 76 b, le premier courant a la vitesse v et le garant monte
avec une vitesse (2it + 1) v .

77. Palan dont une moufle a une poulie de plus que VauJtre.
Dans ce cas le premier courant doit être attaché à là chape de
la moufle qui a le moins de poulies. S'il est attaché à la moufle
fixe, 77a, le premier garant est immobile et le garant monte
avec une vitesse {2n + 2) v, le nombre total des poulies étant
2»-+-l. S*il est attaché à la moufle mobile, de n poulies,
77 b, le premier courant a la vitesse v, et le garant descend
avec une vitesse égale à (2» + i) v .

iOO. Palans eoniaspnés. — Nous appelons ainsi deux palans
dont les mouvements sont liés entre eux comme on le voit aux

859 cmtiiAnQiJB. ibct. u» chap. n.

numéros 78 et 79 du tableau synoptique. Ces assemblages sont
de deux espèces.

78. Palans conjugués liant deux vitesses dont le rapport est le
produit de deux nombres entiers. Le garant du palan a est atta-
ché à la moufle mobile du palan b. Supposé que le palan « ait
A poulies et que le palan b en ait 5, si la moufle du premier a la
vitesse v, son garant a la vitesse 4v et par suite le garant du
palan b , dont le mouvement est 5 fois plus rapide, a la vi-
tesse 20 V.

79. Palans conjugué^ liant deux vitesses en rapport fraction"
naire. Les chapes des deux moufles mobiles sont liées par une
corde distincte qui, dans la figure, passe dans une poulie de
renvoi. Supposé que le palan m ait 5 poulies et que le palan b en
ait 4, si la vitesse de la corde de communication est v, la vitesse
du garant du palan a est 5 v et celle du garant du palan b est 4v;
le rapport des vitesses des deux garants est donc 4/5.

191. Gommnnleation par des cbaines, — 80. Balancier à
deux secteurs et deux tiges. C'est un double emploi de la liaison
indiquée à l'article 489, n° 51. Les vitesses des deux tiges sont
dans le rapport des rayons des secteurs qu'elles touchent.

192. Transmlaslon de moiiTemeiit par un liquide. —

81 . Deux pistons et un tuyau de communication. Le liquide étant
incompressible et ne pouvant fuir entre les pistons et les cylin-
dres où ils se meuvent, le rapport des vitesses des pistons est
inverse de celui des aires de leurs sections droites. La garniture
qui s'oppose à la fuite du liquide peut être adhérente au piston
mobile, ou au cylindre fixe. Dans ce dernier cas le piston est
dit plongeur; c'est un cylindre convexe dont la longueur excède
celle de l'espace quMl doit parcourir.

HtCAinsinn. 4* classi. 1" awM. 2S3

§4-

4^ cxassb. liaison db deux mouvements circulaires
l'un progressif, l'autre alternatif.

1^' OBHKI. Ans PAEALLÈLBS.

195. Commiudeatioii immédiate. — 82. Balancier appuyé
sur un excentrique à révolution entière. — 83. Balancier à bouton
qui circule dans une rainure d révolution entière, — 84. Manivelle
à révolution entière dont le bouton se meut dans une coulisse oscil"
lante. Le rapport des vitesses angulaires se trouve dans les trois
cas, d'après la théorie de Tarticle 80, p. 89. Dans le troisième,
le bouton de la manivelle a dans la coulisse du balancier oscil-
lant un mouvement relatif, rectiligne et oscillatoire, dont il peut
être utile de connaître la loi. Soient a la distance des deux cen-
tre de rotation G et C\ h le bras GB de la manivelle, x la
distance variable BG' du bouton à Taxe G' de rotation de la cou*
lisse, a Pangle variable G'GB de la manivelle et de la droite des
centres de rotation. On a

djc clûc

jc3 = a3-|-&S'— 2a&cosa d'où x — = afrsina — ,

^ dit dt ^

relation entre la vitesse — du bouton dans la coulisse, et la

vitesse angulaire — de la manivelle.

Dans la machine à vapeur à cylindre oscillant de Gavé, le
cylindre oscille avec la coulisse, et le piston participe au mouve-
ment alternatif du bouton dans la coulisse.

85. a martinet y b mxirteau frontal Les dents qui font lever le
marteau s'appellent des cames. Le rapport des vitesses angu-
laires du marteau et de l'arbre à cames résulte encore de la

254 CIIffiHÀTIQUB, 6BCT. II, CHÀP. U.

théorie de Tarticle 80. Ce qui distingue ces mécanismes des pré-
cédents, c*est que la came échappe et laisse retomber le marteau
par l'action de la pesanteur.

194. Commanlcation pur bielle ov par eBellquetag^e. —

86. Manivelle, bielle et pédale, — 87. Manivelle, bielle et balan-
cier, — 88. Excentrique circulaire et balancier. Dans ces trois
mécanismes la manivelle ou Texcen trique qui la représente
tourne à révolutions entières dans l'un ou Tautre sens, à la vo-
lonté du conducteur de la machine. Cette disposition est fré-
quemment employée, notamment dans les machines à vapeur
à balancier. La théorie de Tarlicle 55 s'applique ici. Les deux
positions extrêmes du balancier, où sa vitesse est nulle et sur le
point de changer de sens s'appellent points morts du balancier
et répondent aux deux cas où les deux articulations de la bielle
et le centre de la manivelle sont en ligne droite. Les deux points
où passe dans ces situations le centre du bouton de la manivelle
s'appellent points-morts de la manivelle.

89. Manivelle, bielle et balancier intermittent avec choc.
Autour de l'axe géométrique A (fig. 120) tourne un arbre au-
quel est lié invariablement le balancier AB. Sur le même arbre
est articulé à frottement doux un balancier auxiliaire AD^ qui
peut par conséquent se mouvoir en laissant le premier en repos.
Ce second balancier porte une coulisse BC dans laquelle est en-
gagé sans frottement un bouton B faisant partie du balancier
principal AB. De plus le balancier auxiliaire AD est lié par une
bielle DE à une manivelle OE qui tourne à révolution entière
autour de O . Dans la position indiquée par la figure le balan-
cier AD mené par la bielle vient d'achever son oscillation de
droite à gauche et il a entraîné de ce côté le balancier AB*
Maintenant supposons que le balancier AB ne puisse pas, par
la seule action de la pesanteur^^ se mouvoir vers sa position ver-
ticale (condition qui peut se réaliser soit parce que le système
solide dont ce bakncier fait partie a son centre de gravité dans

MfiCAmSIISS. 4« GUS8B. 1*' QllIftB. 3BB

l'axe A, soit par des frottements qui font que ce système reste
dans toute position où il est laissé sans vitesse). Cela étante pen-»
dant que le balancier AD recommencera son oscillation de gau*
che à droite, le bouton B^ libre dans la coulisse, restera immo-
bile, jusqu'à ce que l'extrémité C de cette coulisse vienne
Tàtteindre^ ce qui arrivera lorsque les articulations de la bielle
auront pris les positions D' et E' faciles à déterminer. A partir
de cet instant le bouton sera entraîné à droite par la coulisse et
s'arrêtera en G" lorsque les articulations de la bielle seront en D^
et E^. Il y restera jusqu'à ce que l'extrémité de droite de la cou-
lisse vienne le reprendre» ce qui aura lieu quand les articulations
de la bielle seront en D"' et E'"; après quoi le balancier auxi-*
liaire^ revenant à la position AD, ramènera le bouton en B. Ainsi
le balancier principal s'arrête dans la position AB pendant que
le bouton de la manivelle parcourt Tare EE' ; il oscille à droite
pendant le parcours de lare E'E''; il s'arrête en AC" pendant
que l'articulation de la manivelle va de E'^ en E"'; il oscille à
gauche pendant le parcours de Tare E'^'E.

Ce mécanisme a l'inconvénient du choc que la coulisse opère
sur le bouton B au commencement de chaque oscillation du
balancier principal, mais qui devient peu considérable lorsque
la manivelle ne tourne pas trop rapidement. (On va voir^ n<» 91,
un balancier intermittent sans choc.) La coulisse circulaire du
balancier auxiliaire a d'ailleurs l'avantage de n'exercer aucun
frottement sur le bouton pendant les temps d'arrêt du balancier
principaL

90. Manivelle et balancier à quadruple oscillation par tour. Le
bouton d'une manivelle décrit la circonférence ABCb, âg. ISi,
autour de O; il est lié par une bielle BB' à un balancier OB'
qui oscille autour de O'; une autre bielle B^B'' lie ce balancier
à un second balancier 0''B'' qui oscille autour de O". Or il ré^
suite des dispositions de la figure que, tandis que le bouton B de
la manivelle fait un tour entier, l'articulation B' du premier ba^
lajieier décrit deux fois l'arc A'C'^ en allant à gauche puis en

256 CmtMATIQUB. SI^GT. II, CHAP. II.

revenant à droite, et, dans la même période, l'articuiation B'
du second balancier décrit quatre fois Tare A''E", en descen-
dant et remontant alternativement.

Pour simplifier la figure, sur le prolongement du diamètre AC
on a pris les distances AA' et CC égales à la longueur BB' de
la première bielle, et le centre O' à égale distance de A' et
de G'; ainsi A et G sont les points morts de la manivelle; puis
on a fait D'A, = O'G. ; ensuite sur la bissectrice O'E^ de
Tare A,E,C, on a pris les points A'' et E", de manière que les
distances A,A'' et E,E" sont égales à la longueur B.B" de la
seconde bielle ; enfin on a fixé le point O" à égale distance de A'^
et de E'.

On remarquera qu'en supposant la rotation de la manivelle
uniforme, les deux oscillations successives du premier balan-
cier, bien que d'égales durées, ne se font pas tout à fait avec les
mêmes vitesses prises en ordre inverse^ parce que si BB' et bB
sont les deux positions de la bielle aboutissant au même point B,
les deux arcs AB et Ab ne sont pas exactement égaux. Quant
aux oscillations du second balancier, les deux premières ont
ensemble la même durée que les deux suivantes ; mais elles sont
un peu inégales entre elles.

91. Manivelle et balancier intermittent sam choc. Ce méca-
nisme consiste, comme le précédent^ en un balancier intermé-
diaire O'B' lié d'une part à une manivelle OB par une bielle B'B,
et d'autre part à un second balancier 0"B" par une bielle B,B".
La difiérence de la disposition indiquée par la figure 122 et de
la précédente, c'est que la droite O'E' (dont le prolongement
contient la corde A''E'' de Tare décrit alternativement par l'ar-
ticulation de la seconde bielle B^B^' et du second balancier)^
divise l'angle A'O'G' en deux parties inégales, dont Tune est assez
petite pour que l'arc C,E, diffère peu d'une droite perpendi-
culaire à O'E^ , et soit d'une petite longueur comparativement à
la seconde bielle B,B". Il en résulte que, si l'on fait E,Df=:C^Ef ,
pendant que Tune des articulations de la seconde bielle parcourt

HfiCAlQSnS. 4'' CLASSB. 1*' GBinui. 257

alternativement dans les deux sens l*arc D,C, , l'autre reste
sensiblement immobile en E''. Ainsi Ton voit que si^ sur la
circonférence décrite par le bouton de la manivelle, on déter-
mine les points d et D de manière que les distances D'd et d'D
soient égales à la longueur BB' de la première bielle, l'articu-
lation du deuxième balancier parcourt Tare de E" en A'' pen-
dant que le bouton va de d en A, puis immédiatement elle
revient de A'' en E'' pendant le parcours de l'arc AD, après
quoi elle reste sensiblement stationnaire pendant que le bouton
va de D en d en passant par G; et ces diverses alternatives de
mouvement et d'arrêt s'opèrent sans choc.

92. Levier de Lagarousse. Ce mécanisme est susceptible de
deux dispositions a et b. Dans les deux cas, le levier oscille
autour d'un axe fixe et est lié par articulations à deux pièces
légèrement courbes, dites cliquets ou rockets y dont les deux
extrémités s'engagent entre les dents d'une roue dite roue à
rocket y dents d'une forme particulière qu'indique la figure.
Lorsque l'extrémité de droite du levier tourne en montant, le cli-
quet supérieur oblige la roue de tourner dans le même sens,
tandis que le cliquet inférieur est successivement repoussé par
une dent sur laquelle il s'appuie, puis obligé par son poids ou
par un ressort do s'engager avec bruit dans le cran suivant.
Lorsque ensuite le moteur rabaisse le levier, c'est le cliquet
inférieur qui force la roue à rochet de tourner, toujours dans
le même sens que d'abord, tandis que le cliquet supérieur
glisse et saute d'un ou de plusieurs crans. Dans la figure 92a
les cliquets agissent sur la roue en la poussant. Dans la figure 92b,
ils agissent en tirant. Quant à la théorie de cette transmission
de mouvement, on voit que les cliquets fonctionnent comme
des bielles dont une articulation se déplace par intermittence
sur la roue.

93. Levier à encliquetage intermittent. Ce mécanisme diffère
du précédent en ce que la roue à rochet ne tourne que pendant
Tune des deux oscillations alternatives du levier. Dans Texem-

238 CWfilUTIQCB. SBCT. D^ CHAP. U.

pie indiqué par la figure 93, le levier est terminé par un anneau
ou bague tournant librement, à frottement doux, autour d'un
cylindre qu'il embrasse. Ce cylindre repose par deux tourillons
sur deux paliers fixes, et le levier, en oscillant, doit le faire
tourner toujours dans le même sens pour élever un fardeau at-
taché à l'extrémité d'une corde qui s'y enroule* A cet effet, on
a fixé, sur le cylindre et contre Panneau, une roue à rochet dans
les crans de laquelle s'engagent deux cliquets : Tun moteur,
dont Taxe de rotation est fixé sur le levier mobile ; l'autre, dit cli-
quet d'arrêt^ dont Taxe de rotation est immobile sur le bâti de
la machine. Quand on abaisse le levier a, le cliquet moteur, qu'un
ressort maintient entre les dents de la roue à rochet, appuie sur
cette roue et la fait tourner ainsi que le cylindre qui élève le
fardeau, tandis que le cliquet d'arrêt saute d'une ou de plusieurs
dents. Quand ensuite on soulève le levier, la roue à rochet em-
pêchée par le cliquet d'arrêt ne peut se détourner, pendant
que le cliquet moteur remonte d'un ou de plusieurs crans sur
la roue. Il résulte de là que pendant l'ascension du levier l'ef-
fort des ouvriers est employé à le soulever, et que pendant sa
descente leur effort agissant en sens contraire concourt avec le
poids du levier pour élever le fardeau.

Si, comme le suppose la description précédente, le cylindre
n'est armé que d'une roue à rochet et d'un levier, le cylindre
nn tourne et le fardeau ne monte que pendant que le levier
descend. Pour éviter les temps d'arrêt, on adapte au cylindre
deux roues à rochet et deux leviers pareils, dont l'un descend
pendant que l'autre monte.

Remarque. — Il n'y a aucune nécessité que le levier portant
le cliquet moteur oscille autour de Taxe géométrique de la roue
à rochet. On emploie dans les scieries la dispositon indiquée
en lignes pointillées : quand le levier b se lève, la roue à ro-
chet tourne dans le même sens ; quand il s'abaisse, elle reste
stationnaire.

MÉGAIIISIIKS. 4i^ GLÀSSB. l''' OINRB. 259

94. Encliquetage Doho. Un arbre dont Taxe est OO (fig. 123),
ne peut, à cause d'un frottement ou d'une résistance analogue,
tourner autour de cet axe, si ce n'est moyennant une ou plu-
sieurs forces P d'une intensité suffisante. Sur cet arbre est
calé à demeure un disque cylindrique ABC entouré d'un an-
neau DDEE assemblé avec lui à languette et à frottement
doux. C'est sur cet anneau qu*agissent^ au moyen de leviers,
les forces P qui doivent faire tourner le disque ABC et son
arbre, dans le sens de la flècbe. Mais on veut, de plus, que
lorsque les forces P changent de sens, l'anneau tourne en sens
contraire de la flèche sans entraîner l'arbre. On satisferait à
cette condition par une roue à rochet fixée sur le disque et un
cliquet adhérent à l'anneau ; mais les oscillations des leviers
devraient correspondre à un nombre entier de dents de la roue.
L'encliqnetage Dobo n'est pas soumis à cette restriction. Dans
le creux cylindrique HIKL compris entre la paroi intérieure
d'une partie de l'anneau et la face plane IL du disque sont
établies quatre pièces, dont chacune, telle que abe^ pouvant
tourner sur le plan IL autour d'une goupille c solidement
fixée dans le disque AB, est en contact avec l'intérieur de l'an-
neau par une surface cylindrique adb dont le rayon est tant
soit peu moindre que celui de l'anneau. Un petit ressort o
presse faiblement cette sorte de secteur dans le sens de adb,
et la goupille e est située hors de la normale dû commune
aux deux surfaces, de manière que l'angle Ode ait au plus 9 de-
grés. La théorie du frottement, exposée dans un autre traité,
démontre que l'angle Ode étant moindre que Y angle de frotte*
ment des matières en contact, il en résulte que le mouvement
de Panneau dans le sens de la flèche est impossible sans en-^
tratner celui du disque et de Parbre^ et qu'au contraire^ dans le
sens opposé à celui de la flèche, un faible cflbrt suffit pour faire
tourner l'anneau autour du disque resté fixe.

95. Balancier et double crémaillère guidée. Ce mécanisme, qui
a une grande analogie avec le levier de Lagarousse, établit une

260 CmÉKÀTIQCB. 8BCT. U, CHAP. II.

liaison entre le mouvement circulaire alternatif du balancier et
le mouvement rectiligne progressif de la crémaillère (ce mou-
vement rectiligne est considéré ici comme un cas particulier
du mouvement circulaire).

i9B» Commnnleatioii par engreiiaf^e. — 96. Bielle à roue
dentée circulante^ dite roue planétaire de Watt. La roue, dont
le centre C est à l'extrémité inférieure de la bielle, est fixée
invariablement sur cette pièce et ne se meut par conséquent
qu'avec elle. Le point géométrique C^ centre de celte roue,
tourne autour de Taxe fixe G' de la seconde roue dentée avec
laquelle elle engrène et qu'elle entraine dans son mouvement.
Cette seconde roue est calée sur un arbre tournant qui porte
un volant destiné^ comme on le verra en dynamique, à régu-
lariser la rotation. L'invariabilité de distance entre les deux
centres des roues dentées est établie par une verge rigide CC
articulée à ses deux extrémités et tournant autour de l'axe du
volant^ mais avec une vitesse angulaire différente.

Soit w cette vitesse angulaire et soit GG'= a, de sorte que
la vitesse linéaire du centre G est wa. Soit vj/ la vitesse an-
gulaire du volant qui est aussi celle de la seconde roue. Pour
simplifier l'expression du rapport de ces deux vitesses angulaires
tu et w\ supposons que la bielle soit assez longue comparati-
vement au lien GG' pour qu'elle puisse être considérée comme
se mouvant parallèlement à elle-même^ de sorte que tous ses
points et ceux de la roue qu'elle porte à son extrémité ont une
vitesse linéaire égale à wa. Cette vitesse est donc celle du point
de contact des deux roues dentées. Donc si Ton appelle r' le
rayon de la seconde roue, on a

relation cherchée. Watt> qui dans ses premières machines à
vapeur a employé cette disposition^ faisait a=:2r', de manière
qu'il obtenait une vitesse angulaire double de celle qu'a le vo-

HfiCAmSHBS. ^^ CLÀSSB. ^ GBHRB. 261

lant quand on supprime, comme aujourd'hui, les deux roues
dentées et qu'on remplace ie lien GG' par une manivelle fixée
invariablement sur l'arbre central. Le volant faisait deux révo-
lutions à chaque double oscillation du balancier; mais on a re-
noncé, et Watt le premier, à ce mécanisme, qui offre peu de
solidité.

97. Roue partiellement dentée et pignon alternativement exté^
rieur et intérieur. Par cet ingénieux mécanisme employé dans^
les métiers de filature, un pignon tournant toujours dans un
même sens imprime à une roue, dentée sur une partie seule-
ment de la circonférence, un mouvement circulaire alternatif.
L'arbre du pignon repose sur deux supports qui lui permettent
de petites oscillations dans un plan horizontal passant par le
centre de la roue : à cet effet, l'un das supports consiste dans
un coussinet à pivot, l'autre est une coulisse horizontale. Le
pignon peut ainsi passer de l'extérieur à l'intérieur de la den-
ture de la roue sans cesser d'engrener, son écartement étant
empêché soit par la coulisse du support voisin et par un butoir
fixé sur la roue, soit par une rainure continue creusée dans la
roue et oii circule l'extrémité cylindrique de l'arbre du pignon.

La machine étant dans la situation indiquée par la figure, si
le pignon tourne dans le sens de la petite flèche, il oblige la
roue de tourner dans le sens de la grande, jusqu'à ce que la
dent extrême A étant venue en contact avec le pignon ne puisse
plus descendre, soit parce que le butoir touchant l'arbre du
pignon s'y oppose, soit parce que la rainure arrondie amène le
pignon au-dessus de cette dent. Alors le pignon continuant de
tourner s'appuie sur cette même dent pour passer à l'inté-
rieur de la denture, qu'il fait par conséquent tourner dans le
sens contraire à celui de la grande flèche.

2« GBRRB. AXES KON PARALLÈLES.

196. CommanleaUon Immédlato. — 98. Marteau à soulève-
ment latéral. Il diffère du marteau frontal (80) en ce que Taxe

de rotation de l'arbre à cames et Taxe de rotation du marteau,
situés dans un plan horizontal, sont perpendiculaires Tun à
l'autre. Les surfaces de contact des cames et du manche doivent
être de forme conique, ayant le sommet à la rencontre des deux
axes. — 9 9. Balancier appuyé sur un excentrique conique, i 00. Ba-
lancier appuyé sur un filet de vis (Tinclinaison variable. Si la
pression mutuelle des deux corps en contact était considérable,
ces deux dernières dispositions auraient Tinconvénient d'une
grande résistance due au frottement.

197. Commaaleatloii par bielle. — i 01 . Manivelle, balancier
et bielle à joint brisé. Ce mécanisme, employé dans les métiers
de filature^ ne diffère du numéro 87 qu'en ce que la bielle
est articulée à joint brisé, ou plus simplement à double char-
nière, de manière à pouvoir s'écarter un peu (tantôt d'un côté,
tantôt de l'autre) du plan du cercle décrit par l'extrémité du
bras de la manivelle.

§5.

5^ CLASSE. LUISON DE DEUX MOUYEMENTS, l'uIV CnCULÀniE PROGRESSIF^
l'autre REGTaiGNE ALTERNATIF.

1" 6BNRE. TBAH8LATI0R PABiLLÈLE AU PLAN DE LA ROTATIOH.

198. Commiuleatioii immédiate par exeentrique. —

102. Manivelle et tige guidée à coulisse.— 103. Excentrique cir-
culaire et tige guidée à cadre. Pendant que le centre du bouton
de la manivelle ou le centre de figure de l'excentrique décrit
une circonférence, le cadre ayant ses côtés à une distance in-
variable de ce centre, parallèles au plan de la circonférence et
perpendiculaires à la direction de la tige, un point quelconque
de celle-ci se meut comme la projection du centre mobile sur
cejte direction (art. 131). Les changements de sens du mouve-
ment alternatif se font ainsi sans choc.

KÉCAmSMSS. b^ CLASSE. i«' OBIIRB. 363

104. Excentrique non circulaire et tige à cadre. Ce genre de
liaison a été étudié à Tarticle 132.

105. Excentrique et tige à deux roulettes, — 106. Coulisse
excentrique et tige à bouton. — 107. Excentrique et tige à rou-
lette et à ressort. Ces mécanismes^ dont la théorie est très-
simple, ont été déjà indiqués à Tarticle 135.

1 99* Cominimication immédiaCe par engrenage on came,

— 108. Pignon partiellement denté et cadre guidé à deux cré-
maillères. Ce mécanisme est représenté à une plus grande
échelle par la figure 124. Le pignon partiel tourne autour de
Taxe fixe O, dans le sens indiqué par la flèche, et porte un
petit nombre de dents^ trois, par exemple, A, B et G. Un
cadre lié à une tige assujettie au mouvement rectiligne par
deux guides HI, H'I', présente intérieurement deux crémail-^
1ères, abcd, a'b'c'd', unies entre elles par deux arcs demi-cir-
culaires ad', a'd. On voit facilement que les trois dents A, B
et du pignon poussent successivement vers la droite les
dents de la crémaillère abe, et par conséquent le cadre et sa
tige, après quoi les trois mêmes dents du pignon poussent à
gauche les dents de la crémaillère a'b'o' et ramènent le cadre
de ce côté. Mais si ^appareil se réduisait aux parties qui vien-
nent d'être indiquées, il y aurait au commencement de chaque
course de la tige un choc qui serait plus ou moins violent, selon
la rapidité du mouvement du pignon. On atténue ce choc au
moyen d'une plaque DEFG fixée latéralement sur le pignon,
et d'une came de même épaisseur detg fixée sur le cadre. A
rinstant où l'appareil est dans la situation représentée par la
figure, la dent A du pignon étant près de la courbe a de la
crémaillère et ne l'ayant pas encore atteinte, la courbe DE de
la plaque touche en d la courbe de de la came, et par consé*
quent commence par imprimer au cadre une vitesse égale à
celle du point D, et plus petite que celle qu'il acquerra à l'in-
stant du contact des dents A et a ; et le passage de Tune à

CllffilIÀTIQUB. SBCT. U, CHÀP. II.

Tautre de ces vitesses se fait très-rapidement mais sans choc,
si les courbes DE et de sont convenablement tracées.

109. Pilon et arbre à cames. La théorie de ce mécanisme se
trouve à Farticle 133. C'est un cas particulier du marteau fron-
tal (art. 492). Nous ajouterons ici l'indication d'un moyen d'at-
ténuer rintensité et les effets du choc qui a lieu entre la came
et le pilon. La figure 125 en offre un exemple. La came se com-
pose de trois parties à peu près d'égales épaisseurs et superpo-
sées ; leurs profils sont des développantes de cercles dont les
rayons sont proportionnels aux nombres i, 2 et 3. Ces cames
sont disposées de manière à attaquer successivement leurs
mentonnets respectifs fixés sur le pilon. Dans la figure^ le mé-
canisme est représenté à l'instant où la première came attaque
en A le mentonnet saillant du pilon. Lorsque l'arbre à cames
aura tourné de Tangle AOA' et que le pilon se sera élevé de la
hauteur X'fi égale à l'arc AB, alors la seconde came A' atta-
quera le mentonnet X\ parvenu au plan horizontal de l'axe O.
Lorsque, bientôt après, Tarbre à cames aura encore tourné d'un
second angle A'OB', moitié de AOB, et que par conséquent le
pilon se sera élevé d'une nouvelle hauteur A/'D égale à Tare
A'B' et à l'arc AB, alors la troisième came A'', passant derrière
le pilon, attaquera le mentonnet A'' parvenu à son tour dans le
plan horizontal de Taxe O. Les deux premières cames sont très-
courtes^ parce que chacune d'elles cesse d'agir aussitôt que la
suivante est en prise. La troisième a toute l'étendue nécessaire
pour la course qu'on veut donner au pilon. Il résulte de cette
disposition que la première came imprime au pilon une vitesse
qui n'est que le tiers de celle qu'il doit avoir définitivement, la
seconde came la double et la troisième la triple. De là trois pe-
tits chocs successifs substitués au choc violent qui aurait lieu
par l'emploi d'une came produisant immédiatement la même
vitesse finale du pilon. C'est encore un exemple des chocs éche-
lonnés dont on verra ailleurs l'avantage sous le rapport de l'é-
conomie du travail mécanique.

HÉCANISHES. 5* CLÀ8SB. i" GBNRB. ^65

110. Arbre à camés à mentonnets intérieurs. Un arbre por-
tant trois cames A^ B et G (fig. 126), et tournant continuelle-
ment dans le sens ABC autour de Taxe G, communique un
mouvement alternatif à un cadre aa'be lié à une tige guidée.
Dans la situation représentée par la figure, la came G qui pous-
sait à gauche le cadre par son mentonnet o échappe au contact,
et le cadre s'arrête. Bientôt après, la came A attaque le mep-
tonnet a et le pousse à droite jusqu'à ce que leur contact arrive
en a'. Alors cette came échappe, le mentonnet a et le cadre
s'arrêtent, et au même instant le mentonnet e amené en c' est
sur le point de recevoir la pression de la came B. On voit que
la longueur de la course alternative du cadre est égale à aa'
ou bb', et qu'il y a trois allées et venues à chaque tourdeTarbre
à cames. Le temps d'arrêt dépend de la distance de la came A
à son mentonnet a à l'instant où la came G échappe en e.

U 1 . Pignon et cadre à denture intérieure continue. Le pignon
est disposé comme celui du mécanisme décrit sous le nu-
méro 97. L'arbre qui le porte repose donc sur deux supports
qui lui permettent, en tournant toujours dans le même sens,
d'osciller très-peu dans un plan perpendiculaire à la direction
de la tige guidée à laquelle le pignon doit imprimer un mouve-
ment alternatif. Dans le cas de la figure, la tige étant horizon-
tale^ l'axe du pignon oscille dans un plan vertical perpendicu-
laire à celui de cette figure. La tige est liée à un cadre denté
intérieurement suivant deux droites raccordées avec demi-cir-
conférences. A ce même cadre, mais en arrière de l'engrenage,
se trouve solidement attachée une barre rectiligne contre la-
quelle s'appuie, tantôt en dessus, tantôt en dessous, le bout cy-
lindrique ou tourillon de Tarbre du pignon qui est ainsi forcé
d'engrener avec les dents du cadre. Cela étant, supposé que le
pignon tourne de gauche à droite par-dessus, s'il occupe la po-
sition indiquée par la figure, son axe géométrique est alors
immobile, et ce pignon, par sa rotation, oblige la crémaillère
inférieure de se mouvoir vers la gauche Jusqu'à ce que Textré-

S66 CINfiHÀTIQUB. 8BCT. II; CHAP. H.

mité^ à droite^ de cette crémaillère^ arrive dans le plan vertical
de Taxe du pignon. A partir de cet instant^ le cercle primitif du
pignon^ dans son mouvement considéré relativement au cadre,
roulera sur le cercle primitif de Tengrenage demi- circulaire de
droite de ce cadre ; et comme celui-ci ne peut se mouvoir qu'ho-
rizontalement^ tandis que le centre du pignon ne peut se dé-
placer que verticalement, le pignon sera forcé de s'élever et
viendra bientôt engrener avec la crémaillère supérieure qu'il
obligera de se transporter de gauche à droite. Pour permettre
au tourillon du pignon de passer alternativement au dessus et
au-dessous de la barre directrice, celle-ci a deux échancrures
circulaires ayant mêmes centres que les demi-cercles dentés du
cadre.

200. Commanicatloii par bielle on par une eorde. — •

142 et lis. Manivelle ou excentricité circulaire ^ bielle et tige
guidée. — lU. Manivelle, double bielle et joug guidé lié à une
tige. Ces mécanismes ont une analogie évidente avec ceux
des numéros 88 et 89, art. 194.

1 1 5. Deux roues dentées égales, deux bielles égales et un joug
menant une tige. Les deux bielles égales sont articulées à égales
distances des axes respectifs des deux roues dentées. Si la lon-
gueur du joug, mesurée entre ses deux articulations, est égale
à la distance des deux axes de rotation, la loi du mouvement
de ce joug et de sa tige est la même que dans le cas précédent,
mais ici le joug n'a pas besoin d'être guidé.

116. Manivelle tournant uniformémeut et balancier à coulisse
et à bielle dont les courses sont de durées inégales. Autour de
Taxe G (fig. 127) tourne une manivelle dont le bouton B dé-
crit la circonférence BC'B'C. Ce bouton glisse en même temps
dans une coulisse rectiligne BB' faisant partie d'un balancier
qui oscille autour de Taxe A. Au point D ce balancier est arti-
culé avec une bielle DE dont le point E est assujetti à se
mouvoir sur la droite £'£". D'après cela» en menant les tan-

MÉCAiinaBs. 5"" classe, i" gekrb. 267

gentes AC et AC", on a les deux positions extrêmes de la
ligne milieu du balancier et de sa coulisse. Le mouvement
étant supposé dans le sens de la flèche, l'oscillation de AC' en
AC" a lieu pendant le parcours du bouton sur l'arc C'B'C", et
Toscillation de AC" en XC pendant qu'il parcourt Tare C"BC'.
Quant à la bielle, en faisant AD'=:AD"=AD, puis D'E'=
D"E''=i:DE, longueur de cette bielle, on a les positions ex-
trêmes E' et E" de l'articulation E. Ainsi E'E" est la lon-
gueur de la course de la pièce guidée, et les durées des osciU
lations de E' en E" et de E" en E' sont proporlionnelles aux
arcs C'B'C" et C"BC'.

Ce mécanisme convient, par exemple, lorsque la pièce guidée
porte un outil qui a une plus grande résistance à vaincre dans
un sens que dans Fautre.

117. Manivelle et poulie de renvoi. Dans ce mécanisme, que
la figure fait immédiatement comprendre^ une corde fait fonc-
tion de bielle. La théorie de cette disposition se rattache à celle
du numéro 144. Ainsi, à chaque instant, le rapport des vitesses
angulaires de la poulie et de la manivelle égale celui du rayon
de la poulie à la plus courte distance de la corde à Taxe de la
manivelle. La longueur de la course alternative de la partie
pendante de la corde est égale au double du rayon de la mani-
velle.

SOI. Comnraiilcatioii par engrenage intermédiaire. —

118. Boue à mouvement épicydoidal de Lahire. En O est Taxe
de rotation d'un arbre tournant. Une grande roue dentée à
dents intérieures est immobile, ayant son plan moyen perpen-
diculaire à cet axe et son centre sur cette même droite. Sur
l'arbre tournant est calée une manivelle dont le bras OC est la
moitié du rayon primitif de la grande roue. Sur le bouton dont
Taxe est en C est assemblée à frottement doux une seconde
roue dentée dont le rayon primitif est égal à OC et qui engrène
avec la première^ de manière que le cercle primitif de la petite

268 CIKtMÂTIQDB. 8BCT. U, CHIP. H.

roue roule dans le cercle primitif de la grande. On sait (93) que
dans ce cas un point quelconque de la circonférence mobile
décrit un diamètre de la circonférence fixe. Pour utiliser cette
propriété on fixe^ en saillie sur une face latérale de la petite
roue, un second bouton dont Taxe passe en un point B de sa
circonférence primitive et Ton y articule une bielle qu'on assu-
jettit à passer en un autre point D , sur le prolongement de la
droite OB. L'étude de ce mécanisme, plus curieux que prati-
quement utile, se réduit à celle de la figure 128 dont toutes les
lignes sont dans un même plan. L'articulation B de la bielle
décrit le diamètre B'OB", et la distance B'B est parcourue
pendant que la manivelle OC décrit Tangle B'Ob. Donc le
point B de la tige est à chaque instant la projection sur le dia-
mètre B'B'' du point mobile b situé sur le prolongement de la
manivelle OC et parcourant la circonférence de la grande roue.
C'est la même loi de mouvement qu'on réalise plus simplement
aux numéros 102 et 103.

2« 6ENEB. TRANSUTIOH PAAAUÈLS 4 L'aXB DE LA aOTATIOV.

203. Communication Immédiate. — 119. Plateau incliné
tournant sur un pivot et tige à galet. La théorie de ce méca*
nisme est expliquée à l'article 109.

120. Roue à ondes et tige à galet. Si la tige est horizontale^ un
ressort oblige la roulette de rester en contact avec la roue; si
elle était verticale^ son poids pourrait suffire.

121. Rainure continue dans un cylindre tournant, et cheville
glissante. Cette disposition est analogue à celle du numéro 62
mentionnée à l'article 184. Pour maintenir la cheville glissante
dans la rainure qu'elle doit parcourir aux points de croisement,
on la munit à son extrémité d'une languette effilée et mobile
autour de Taxe de la cheville.

CHAPITRE III

OKGANES SEHVANT A ÉTABLIS, INTEBKOHPRE OU HOBIFIER
LES LIAISONS DE MOUVEMENT DANS LES MACHINES.

§1.

BVBIUTAGBS^ BfOTENS d'éTABUR ET DE FAIRE CESSER À YOLONTÉ
UNE UAISON DE MOUYEHENT.

205. Embrayage par manehon mobile de deux arbres en
prolonfl^emeiit l'nn de l'antre. — 122. Embrayage à dents hé--
liçoîdes. Au bout d'un des arbres est calée invariablement une
pièce dite manchon d*embrayagey ayant du côté qui regarde
l'autre arbre un certain nombre de saillies égales; sur l'autre
arbre est monté un autre manchon pouvant glisser à frottement
doux le long de cet arbre, mais sans pouvoir tourner aulrement
qu'avec lui. Il a d'ailleurs des saillies égales aux premières et
par conséquent en même nombre. 11 présente de plus une gçrge
analogue à celle d'une poulie, où entrent les branches d'une
fourche dite fourche dembrayage^ formant un levier mobile au-
tour d'un axe tixe, et au moyen de laquelle on engage à volonté
les saillies du manchon glissant entre celles du manchon calé,
ce qui s'appelle embrayer; ou bien on les dégage, ce qui s'ap-
pelle désembrayer ou débrayer. Dans le premier cas les deux
arbres tournent ensemble; dans le second l'un peut tourner
tandis que l'autre reste immobile.

La forme des saillies ou dents des manchons d'embrayage
n'a rien d'absolu. Lorsque le sens de la rotation de l'arbre mo->

270 CINÉMATIQUE. SBCT. Il, CHAP. IIT.

teur est déterminé et toujours le même, la meilleure forme est
celle qu'indique la figure 4iâ du tableau synoptique. Les sur-
faces des dents destinées à se toucher sont des surfaces hé-
liçoïdes et des plans passant par Taxe de rotation -, leurs profils
sur les surfaces cylindriques qui les terminent sont des portions
d'hélices et des droites parallèles à Taxe. Il en résulte qu'à Tin-
stant où les manchons rapprochés par la fourche commencent
à se toucher, ils frottent Tun sur Pautre jusqu'à ce que les faces
planes se pressent mutuellement. Le frottement qui précède
cet instant peut commencer à mettre en mouvement l'arbre
mené et atténuer un peu le choc.

Si le sens de la rotation de Tarbre moteur est variable, les
dents doivent avoir la forme de créneaux rectangulaires; mais
dans ce cas il est incommode de faire Tembrayage pendant la
marche.

123. Embrayage à çânes de friction. Les deux manchons se
touchent par des surfaces coniques, l'une concave, l'autre con^
vexe. Moyennant une pression suffisante exercée par la fourche
d'embrayage, l'un des deux cônes entraîne Pautre. Si une ré-
sistance exceptionnelle ou un obstacle absolu vient à s'opposer
au mouvement de l'arbre mené, les cûnes glissent l'un dans
l'autre, et l'arbre moteur se ralentit peu à peu; on évite ainsi
les chocs et les ruptures.

124. Désembray âge brusque. Il importe quelquefois de pou-
voir, en cas d'accident, séparer rapidement les deux manchons
d'embrayage, malgré une grande résistance au glissement. Pour
cela, en dehors des deux surfaces cylindriques qui limitent les
dentures d'embrayage, on ajoute deux rebords, dont Tun, faisant
partie du manchon calé, a la forme simplement annulaire ou de
révolution, et l'autre laisse entre lui et le premier un intervalle
dont la largeur, dans une partie seulement de son pourtour, est
constante et un peu plus grande que la longueur des dents de
l'embrayage, tandis que, dans le reste du pourtour, Tintervalle
des deux rebords se réduit d'une manière continue jusqu'à

BMBRÀTÀGBS. 271

devenir nulle. A Finsfant où l'on veut désembrayer, un ouvrier
pousse dans l'intervalle une forte tige de fer, espèce de verrou
maintenu par des guides dans une direction perpendiculaire à
celle des arbres : la surface inclinée du second rebord rencon-
trant cette tige s'écarte de l'autre, ce qui produit PeflFet désiré.
125. Embrayage à vis. Dans les machines très-puissantes, les
manchons d embrayage peuvent être trop lourds pour être ma-
nœuvres au moyen d'une simple fourche. Dans ce cas, les bou-
tons qui s'engagent dans la gorge du manchon glissant sont mis
en mouvement par une combinaison de leviers, de bielles et de
vis dont la figure 125 offre un exemple.

204. Embrayante de deux arbres & rones dentées. —

126. Par manchon glissant. Deux roues dentées sont continuel-
lement engrenées; mais l'une a est calée solidement sur son
arbre, tandis que Tautre b peut tourner sur le sien sans Tcn-
Iraîner; c'est ce qu^on exprime en disant que cette roue est
folle sur son arbre. Ce même arbre porte un manchon d'em-
brayage pouvant y glisser longitudinalement, mais ne pouvant
tourner qu'avec lui. Ce manchon est armé de dents ou saillies
qui, lorsqu'il est suffisamment rapproché de la roue, s'engagent
dans les intervalles des bras de celle-ci, et alors les deux arbres
fonctionnent comme si la roue b était calée sur le sien.

Ce mécanisme peut être employé de deux manières : si le
moteur agit sur Tarbre à manchon, cet arbre tourne continuel-
lement^ les deux roues dentées tournent quand le manchon est
embrayé, sans quoi elles restent immobiles et, par conséquent
aussi, l'arbre de la roue a s'arrête. Si, au contraire, c'est sur ce
dernier arbre qu'agit le moteur, il tourne continuellement ainsi
que les deux roues dentées; mais Tarbre de la roue b ne tourne
que lorsque le manchon est embrayé.

La figure 126 indique deux arbres parallèles; mais cette con-
dition n'est pas nécessaire.

127. Embrayage d'un engrenage par le glissement en long d'un

272 GIRteATIQUB. 8BCT. H, CHAP. ID.

des deux arbres. L'arbre glissant a porte deux gorges dans Tune
desquelles s'engage un levier d'arrêt h pour fixer la position de
cet arbre. Dans le cas de la figure on voit deux roues dentées
désembrayées. Pour embrayer on soulèverait le levier d'arrêt,
on pousserait Tarbre a à gauche et Ton ferait retomber le le-
vier d'arrêt dans la seconde gorge. Les deux arbres peuvent
n'être pas parallèles. Le désembrayage se fail aisément pendant
la marche^ mais non l'embrayage.

Au lieu de faire glisser l'arbre, on fait quelquefois glisser la
roue sur l'arbre ; mais cette opération ne se fait pas ordinaire-
ment pendant la marche.

20tt. Embrayage par rouleaux on eànes de frietion. —

128. Embrayage de deux arbres parallèles. Un arbre horizontal
tournant autour d'un axe fixe A porte un rouleau cylindrique;
un autre arbre, sur lequel est fixé un autre rouleau B^ a un de
ses tourillons porté par une poutrelle mobile autour d'un axe €•
Cette poutrelle fait un petit angle avec la verticale, de sorte que
sous l'action de la pesanteur elle repose sur un appui fixe D;
et alors les deux rouleaux ne se touchant pas, le second arbre
est sans mouvement. Mais si^ par un moyen quelconque, comme
par exemple une corde, on relève la poutrelle et l'on force les
rouleaux de se presser mutuellement, il y a communication de
mouvement de l'un à Tautre.

Si les deux axes de rotation n'était pas parallèles, au lieu de
rouleaux cylindriques de friction, on emploierait des cônes.

129. Embrayage, par rouleau de pression, d^un arbre tournant
et d'une tige guidée. Un rouleau A tourne continuellement autour
d'un axe fixe horizontal ; une tige verticale BB le touche^ mais
n'est entraînée dans son mouvement que lorsqu'elle est sufii-
samment pressée contre lui. A cet efiet un autre rouleau, dit
rouleau de pression, est lié à un levier ou à un système de leviers
mobiles autour d'axes fixes G, G', sur lequel agit un ouvrier
pour transmettre la pression nécessaire. La tige s'élève jusqu'à

EMBRÀTÀGB DBS COURROIBS SANS FIN. 273

ce que l'ouvrier Iftche le levier^ aussitôt cette pression cesse, et
le poids de la tige la fait retomber.

S06. Embrayage des eovrpoles sans fin. — iSO. Par poulie
folk. Un arbre qui n*est pas représenté dans la figure tourne
continuellement et porte un tambour embrassé par une courroie
sans fin. Un autre arbre parallèle au premier porte deux poulies,
Tune calée a, Tautre folle b. Une fourche d'embrayage^ pou-
vant osciller autour d'un axe fixe G , sert c^ mettre à volonté la
courroie sur la poulie folle ou sur la poulie calée. Dans le pre-
mier cas, le second arbre et la poulie calée restent immobiles,
tandis que la poulie folle tourne : la courroie est désembrayée.
Dans le second cas, le mouvement est transmis à la poulie calée
et à son arbre, et la poulie folle, qui n'éprouve presque aucune
résistance, tourne aussi entraînée par le faible frottement de
son arbre.

Remarques. — 1° La fourche d'embrayage placée près d'une
poulie doit (d72) agir sur la partie de la courroie qui se meut
vers la poulie, et non sur celle qui en sort.

^ La poulie calée ne perd pas brusquement la vitesse de
la courroie au même instant où celle-ci est embrayée. La cour-
roie commence par glisser, et Ton peut même faire arriver la
poulie à sa vitesse définitive par une gradation lente, en pous-
sant peu à peu la fourche d'embrayage. On emploie quelquefois
dans cette intention une fourche d'embrayage à vis indiquée
ci-après à la figure 138.

131. Embrayage (Tune courroie sans fin par un tendeur. Une
courroie sans fin ne peut transmettre le mouvement d'une poulie
aune autre qu'autant qu'elle est suffisamment tendue. La figure
montre un moyen de produire et de faire cesser à volonté cette
tension. Une poulie de tension a sa chape à une extrémité d'une
des branches d'un levier coudé tournant sur un axe fixe a; à

374 CIN6BATIQDB, »CT. a, CBA^- W»

Tautre branche est attachée uDe corde qui^ suivant qu'elle est
tirée ou lâchée, presse la poulie de tension contre la courroie
ou la laisse s'en détacher par l'effet de la pesanteur.

132. Embrayage d'une courroie fans fin par déplacement iun
palier. En écartant les axes des poulies on tend la courroie ;
en les rapprochant on la détend.

807. W^mhrmym^tm pur déellev. ^ 133. Déclic appUqué à
une poulie. Un arbre horizontal A tourne continuellement dans
le sens indiqué par la flèche. Il porte une poulie folle sur une
face de laquelle est fixé Taxe n d'un petit levier pressé par un
ressort et terniiné à un bout par un crochet ou loqueteau b.
Sur celui-ci s'appuie une pièce calée sur Tarbre, Dans cet étut
Tarbre en mouvement entraîne la poulie qui peut servir à sou-
lever un corps suspendu à une corde enroulée sur cette poulie.
Mais bientôt la queue du levier vient rencontrer un obstacle ^.
Le crochet b s'éloignant du centre, la pièce calée sur Tarbre
échappe et laisse retomber le corps suspendu. Immédiatement
la queue du levier ayant quitté Tobstacle, le loqueteau est ra*
mené par le ressort à sa première position ; la pièce calée revient
le rencontrer, et Tembrayage est rétabli au delà de Tobstacle.
La poulie peut ainsi faire environ un tour alternativement dans
les deux sens*

1 34, Déclic appliqué à un mouton. Deux pièces verticales dites
jumelles servent de guides à un corps d'un poids très-grand
appelé mouton, qui doit alternativement être élevé puis retoror
ber librement pour produire un choc. A cet effet UO autre oorps
également guidé par les jumelles est interposé entre le mouton
et la cA)rde qui doit Télever en passant sur une poulie. Cette
pièce intermédiaire porte deux leviers articulés analogues aux
deux branches d'une tenaille, deux ressorts, en écartant leurs
bras supérieurs, rapprochent leurs mâchoires inférieures, qui,
étant introduites dans un anneau fixé au mouton , obligent
celui-ci de suivre le mouvement ascendant de la corde. Quand

MODIFIGATIONi D|â LUISONS Dl tfOUVKHENT. 275

il atteint le haut de sa course, les bras supérieurs de la tenaille
auxquels on a donné une courbure convenable pénètrent dans
un orifice fixe qui les force de se rapprocher ; par conséquent
les mâchoires s'écartent et laissent échapper l'anneau du mou-«
ton qui tombe.

§2.

MOYENS DE MODIFIER UNE LIAISON PE MOUVEMENTS.

208. Cliaiigeiiievt de vltease angnlaire par roues dentées,
et manehon d'embrayante. — 135. Axes parallèles, — 186.
Axes concourants, — 137. Cas particulier du mécanisme pré*
cèdent.

Deux arbres dont les axes de rotation sont dans un même
plan portent deux paires de roues dentées. Les deux roues A
et B qui appartiennent à un de ces arbres y sont calées ; les
deux autres, engrenant constamment avec les deux premières,
sont folles sur le second arbre, et dans leur intervalle joue un
manchon d^embrayage analogue à celui de la figure 136; si ce
n'est qu'il est double, c'est-à-dire qu'il y a des dents ou saillies
sur ses deux bases opposées. Suivant qu'il est engagé à droite
ou à gauche, c'est Tune ou l'autre des deux paires de roues qui
fonctionne comme si elle était seule.

Si, comme au numéro 133, les deux axes de rotation sont
{mrallèles ou se rencontrent hors de l'intervalle des deux roues
folles^ le déplacement du manchon change seulement le rapport
des vitesses angulaires sans en altérer le sens ; tandis que si
les axes de rotation se rencontrent dans Tintervalle des deux
roues folles, comme au numéro 136, le transport du manchon
de l'une à Tautre change le sens de la rotation d'un des arbres^
le sens de l'autre restant le même.

Le mécanisme n° 137 n'est qu'un cas particulier du précé-

276 cmtaATiQUB. sbgt. ii, chàp. ni.

dent : c'est celui où les deux roues calées se confondent ou
se réduisent à une seule. Dans ce cas, le rapport des deux
rotations reste constant, et le sens de Tune d'elles change seu-
lement.

Conformément il la remarque faite sur le numéro 1S6, les
dispositions dont il est ici question peuvent être employées de
deux manières^ suivant que le moteur oblige de tourner conti-
nuellement l'arbre à manchon ou Tarbre des roues calées.

209. Changement de iritease anipnlalre par le déplaee-
ment d'une eonrrole sans fin sur diverses poulies égales. -—

138. Axes parallèles. -— iZ^. Axes concourants. Dans la dispo-
sition n° 138^ un même arbre A porte quatre poulies d'égal
diamètre et voisines les unes des autres. La première à droite
est folie ; la deuxième a est calée immédiatement sur l'arbre ;
la troisième b est calée sur un canon ou tube cylindrique tour-
nant librement sur ce même arbre ; la quatrième e est calée
sur un deuxième canon qui est moins long que le premier et qui
tourne librement sur celui-ci. Sur ce môme canon et à côté de
la quatrième poulie est calée une roue dentée e' dont la figure
représente seulement une coupe; plus loin à gauche est fixée
au bout du premier canon une deuxième roue dentée b'^ plus
petite que la première ; plus loin encore est calée sur Tarbre
même une troisième roue dentée plus petite que la seconde.
Sur un second arbre B parallèle au premier sont fixées trois
autres roues dentées e", b", a", qui engrènent constamment
avec les trois précédemment indiquées, et dont les diamètres
varient par conséquent en sens inverse. Une courroie sans fin,
mise en mouvement par un tambour non représenté dans la
figure, est embrayée tour à tour sur les quatre poulies et fait
ainsi varier la vitesse de Tarbre B , celles du tambour et de la
poulie embrayée restant la même. Le calcul du rapport variable
des vitesses en fonction des rapports des rayons des roues den-
tées n'offre point de difficulté.

MODIFICATIONS DES UÀISOI^S DE KOUTEHENT. 277

Si les arbres parallèles A et B étaient éloignés l'un de
Tautre, on substituerait aux roues dentées des poulies constam-
ment embrassées par trois courroies sans fin. Dans les deux cas,
l'arbre B arrive du repos à sa plus grande vitesse, en passant
par deux états intermédiaires.

Dans la disposition du numéro 139, un arbre A supposé
horizontal porte trois poulies accolées d'égal diamètre, Tune
au milieu qui est folle, une autre à droite a calée sur Tarbre,
la troisième à gauche b calée sur un canon tournant librement
sur cet arbre. Sur ce canon est fixée une roue dentée conique b'
indiquée en coupe, et à une certaine distance à gauche, est fixée
sur Farbreméme une autre roue dentée conique a'. Ces deux
roues engrènent respectivement avec deux autres a" et b" fixées
sur nn arbre B perpendiculaire au premier A. Pour se rendre
compte del'effetdu déplacement de la courroie^ qu'on lasuppose
d'abord sur la poulie a, et lui imprimant le mouvement dans le
sens indiqué par la flèche i. L'arbre A et la roue a' participent
à cette rotation, et Parbre B tourne dans le sens de la flèche 2,
et la roue b' suivant la flèche 3. Lorsque, au contraire, la cour-
roie mène la poulie b, tous les mouvements changent de sens^
et il y a entre ces deux états un temps d'arrêt pendant lequel
la courroie embrasse la poulie folle. En changeant de sens la
rotation de Tarbre B peut aussi changer de grandeur; il suflSt
pour cela que le rapport des rayons des roues a' et a'^ difière
de celui des rayons des roues b' et b".

Les remarques de l'article 212 s'appliquent à tous les chan-
gements de vitesse obtenus au moyen du déplacement d'une
courroie sans fin.

210. Changement de vitesse anipilaire par tambours de
rayons variables on par poulies étagées. — 140. Courroie
sans fin sur deux tambours de rayons variables. Sur deux axes pa-
rallèles tournent deux solides de révolution ou longues poulies
embrassées par une courroie sans fin. Les diamètres variant en

278 CIMÊHÀTIQCE. SBCT. It, CBAt». m.

sens inverses sont tels, que, quel que soit le plan perpendiculaire
aux axes dans lequel soit placée la ligne-milieu de la courroie,
celle-ci, étant d'une longueur invariable, soit toujours tendue
également et suffisamment pour que la rotation d'un des tam-
bours entraine celle de l'autre sans glissement. Un double guide-
courroie muni, si Ton veut, de rouleaux et porté par une tige
guidée parallèle aux axes^ détermine à volonté la position de la
courroie et par suite le rapport des vitesses angulaires des deux
tambours. Ce rapport variable est inverse du rapport des rayons
des cercles actuellement embrassés, la courroie étant supposée
inextensible. Le guide-courroie, analogue à la fourche d'em-
brayage ordinaire, en diffère en ce qu'il doit agir incessamment,
sans quoi la Courroie, se portant vers le gros bout de chaque
tambour, s'y placerait obliquement avec une très-grande tension.
Si la courroie est croisée, la condition d'égale tension ou de
longueur invariable de cette courroie exige seulement que la
somme des rayons correspondants soit constante. Soient en effet
(fig. 129) a la distance Ce des axes parallèles, R et r les rayons
des cercles actuellement embrassés, / la longueur AB ou A'B'
des parties rectilignes de la courroie sans fin, a Tangle ACc ou
BcC exprimé par le rapport de Tare quMI comprend au rayon,
enfin 2l la longueur totale de la courroie. On a évidemment

jL=:r/+Jl(ic — a)-+-r(ic — âi)j «cofl assalU-»* et Izi^iAûtio.,

d'où il suit que a et L sont invariables quand la somme R + r
reste constante»

Lorsque la courroie n'est pas croisée cette relation n'existe
plus. On a

Lz=zl+R{i: — a) + ra, /=:asina et il— r=acosa;

trois équations qui déterminent les six quantités a, L, /, U, r
et a quand trois d'entre elles sont connues, ou que l'une de ces
données est remplacée par une quatrième relation.

MODIFICATIONS DBS UAISONS Dfi MOUVEMENT. 279

Si, par exemple, on adopte Thypothèse limite r = o, et qu'on

suppose « = 1 et a=-7u, on trouve

il = cos a = 0,3827, / = sin a = 0,9239,
et

jL==Z4.|ic 11 = 1,6753.

Supposons, autre hypothèse extrême, que les rayons il et r
soient égaux , et conservons la même distance des axes et la même
longueur de la courroie. Soient donc a=l et L=l,6783.

On a alors

d^où

as:^, /=si et L = i+TCil,,

il, = -^ = 0,2149.

Ainsi^ entre les deux cas extrêmes qui viennent d'être con-
sidérés, la somme des rayons varie de 0,3827 à 0^4298, et n'est
par conséquent pas, à beaucoup près, constante.

En conservant les valeurs précédentes de a et de l/, et en at-

3
tribuant à Tangle a diverses valeurs^ de ^t kt, on calcu«

lera très-aisément autant de couples de valeurs de il et de r.
Lorsque la courroie est croisée et que par conséquent la
somme R+r doit être constante^ le rapport des vitesses angu-
laires devient une fonction simple de l'un des rayons. Soient
w et «f^ ces vitesses correspondantes aux rayons r et il : si
Ton pose

c = r-fil;

280 CmftiUTIQDB. SBCT. n, GHAP. m.

on a

w _^ c — r ^^ c

'^~ r ~r

Dans cette même hypothèse les deux tambours peuvent être
coniques ; ces deux troncs de cônes à axes parallèles ont même
angle au sommet^ et sont posés en sens inverses, de manière
que leurs génératrices les plus éloignées aa' et bb' sont paral-
lèles, de même que les deux plus rapprochées aa et bb. Alors r
est proportionnel à la distance de la courroie au sommet du
cône auquel appartient ce rayon r.

Lorsqu'on veut que le rapport — dépende , suivant une

autre loi^ de la position de la courroie^ les profils méridiens de

tambours doivent être curvilignes, les deux courbes les plus

rapprochées aa et bb restant égales et parallèles pour satisfaire

à condition R + r = const,

w
Si, par exemple, on veut que — soit proportionnel à la

distance x de la courroie à un plan fixe perpendiculaire aux
axes, on posera

c X

i = - d'où ac=zr (x+a);

r a

par conséquent le profil du tambour ayant la rotation w est une
hyperbole équilatère dont Taxe de ce tambour est une asymptote.
441. Deux tambours dont l'un est cylindrique. Le tambour co-
nique monté à fi'ottement doux sur un arbre carré ou sur un
arbre rond à languette, est lié à une gorge dans laquelle s'en-
gage une fourche qui pousse le tambour à droite ou à gauche,
selon qu'on veut diminuer ou augmenter le rapport de la vitesse
angulaire du cône à celle du cylindre. La figure indique la po-
sition de deux poulies de renvoi P, dont les arbres glissent dans

MODIFICATIONS DBS LIAISONS DE HOUVBMENT. 381

des coulisses parallèles à Taxe du cylindre ; elles déterminent
les deux plans où se meuvent les parties rectilignes de la cour-
roie sans fin 9 et font en même temps fonction de poulie de
tension = .

142. Poulies étagées. Les deux mécanismes précédents per-
mettent de faire varier, d'une manière continue et pendant la
marche, le rapport des vitesses angulaires. Lorsque cette con-
dition n'est pas imposée^ on emploie plusieurs paires de pou-
lies disposées pour étre^ à volonté^ embrassées par une même
courroie. L'inconvénient est le temps d'arrêt nécessaire pour
changer sans danger la position de la courroie ; mais l'avantage
est que la courroie une fois placée ne tend pas à changer de po-
sition, et que Faction continuelle d'un guide-courroie n^est plus
indispensable.

21 1 . Rapport Tariable des vitesses angulaires d'nii eAne on
d'nnplateanetrcnlalre et d'nne ronlette. — I kZ£6neet roulette.
Un tronc de cône A (fig. 4 33) tourne autour d'une axe fixe;
son arbre porte une roue ou une poulie dont le rayon est r; la
vitesse angulaire commune au cône et à la roue est tu. Une
roulette dont le rayon est a touche le cône au point T et tourne
avec une vitesse angulaire w' autour d'un axe géométrique aa
situé dans un même plan avec l'axe du cône, et parallèle à sa
génératrice la plus voisine. Il en résulte que le contact du cône
et de la roulette subsiste lorsque l'arbre de celle-ci se déplace
longitudinalement. Autour de ce même arbre tourne une roue
ou poulie dont le rayon est r', et qui a la même rotation w'^
sans déplacement longitudinal.

Le rapport des vitesses angulaires w et tv' dépend de la
position variable de la roulette. Soit y^ sa distance TS au som-
met du tronc de cône, et soit y l'angle de la génératrice et de
Taxe. La vitesse linéaire commune de la roulette et du cône^
en leur point de contact T, est tvs et ti/a; ainsi

tuymY = ti/a.

282 CINÉMÀnQUE. 8£CT. II, CHÀP. Itl.

Pour avoir la relation des chemins àx et dx' parcourus
pendant le temps àt^ par deux points pris sur les circonférences
dont les rayons sont r et r', il suflSt d'écrire dx=zwrdt et
dx' = wV dt , d'où l'on conclut

T'y iinydxrsi ra dx'

et en intégrant

de sorte que ai Ton considère les espaces x parcourus à partir
d'une position déterminée^ par un point quelconque de la cir-
conférence de rayon r, et si Ton assujettit la distance y à être
à chaque instant égale à une fonction r(x) de la variable x,
l'espace xf parcouru depuis l'Instant initial par un point de la
circonférence de rayon /, étant affecté du coeflScienl constant

ra r

-y—, — , est numériquement égal à l'intégrale j i{x)dx, prise

depuis zéro jusqu'à Tinstant final.

144. Plateau tournant et roulette. Ce mécanisme peut être
considéré comme un cas particulier du précédent, tin plateau
circulaire A, supposé horizontal, tourné autour d'un aite ver-
tical, ainsi qu'une roue ou poulie dont le rayon est r. Leur
vitesse angulaire commune est w. La roulette dont le rayon
est a s'appuie sur le plateau et tourne autour d'un axe géomé-
trique fixe, horizontal et concourant avec l'axe vertical. La
vitesse angulaire de la roulette et d'une roue dont le rayon
est r' est désignée par w\ La distance y de la roulette à l'axe
vertical est variable, tandis que la roue r' n'a qu'un mouvement
simple de rotation.

La vitesse linéaire commune de la roulette et du plateau en
leur point de contact T donne l'équation

wy = u/a y

MODIFIGATlOl^fl DES LIAISONS DE MOtJVfiMENT. S83

et si dx et ûx' sont les chemins parcourus pendant le tenops dt
sur les circonférences des roues r et r', on a dx=zwrAt et
Ax' = ivV dt , d'où Ton conclut :

et, en intégrant.

r^ydxz=iradx* y

jy^=^x' ^

formule analogue à la précédente, et donnant lieu à la même
interprétation.

Telle est la théorie fort simple du planimètre d'Ernst et du
dynamomètre compteur de MM. Poncelet et Morin.

212. Changement de vitesse par iris sans fin. — 145. Mou^
vement hélicoïdal dont la translation change à volonté de sens. Un
arbre^ qui dans la figure est supposé horizontal, tourne conti-
nuellement dans un même sens ; il porte une roue dentée calée
qui engrène constamment avec une autre roue montée à rainure
et languette sur un arbre vertical ; la languette est fixée dans
Toeil circulaire de la roue, et la rainure est creusée dans Tarbre^
de manière que celui-ci tourne continuellement, mais peut glis-
ser en montant ou en descendant, tandis que la seconde roue,
maintenue par un support fixe, reste toujours à la même hau-
teur. Le même arbre vertical est taillé à sa partie inférieuree en
vis qui engrène sans lin avec deux roues dentées à axes hori-
zontaux. Celles-ci tantôt tournent librement sur leurs coussi-
nets, et tantôt deviennent momentanément fixes parce que Tune
des deux est enrayée par l'ouvrier qui emploie la machine.
Dans le premier cas^ si le foret fixé à Textrémité inférieure
appuie sur une pièce de métal ou de bois à percer, Tarbre
tourne en descendant à mesure que le trou se creuse : la vis et
les deux roues folles où elle est engrenée ne produisent alors

284 COftaATIQOB. 8BCT. Il, GHAP. ni.

aucun effet. Mais dans le second cas ces roues, devenant fixes,
font la fonction d'un écrou immobile; lavis remonte, entraioant
l'arbre vertical dans son mouvement hélicoïdal jusqu'à ce qu'elle
soit entièrement hors de l'écrou.

NOTE

SUB LES ÉPIGTGLOÏDBS PLANES

(Mentionnée h la pas» 104).

On a vu (deuxième note annexée à Tarticle 88, pages 98 et
99) que

Lorsqu'une courbe BAF (fig. 40) mobile dans son plan roule
sans glisser sur une autre courbe B'AF' fixe dans le même plan et
entraine dans son mouvement une troisième courbe edaff invaria-
blement liée avec elle et dans le même plan, si l'on considère la qua-
trième courbe e'd'af qui est l'enveloppe fixe des positions succès^
sives de la troisièmCy la normale commune aA^ en un instant
quelconque, à la troisième courbe et à son enveloppe, passe au point
de contact actuel A des deux premières courbes, et le rayon de cour-
bure AX ou p de Venveloppe, suivant cette normale^ satisfait à
f équation

14 I \ . 4 \

li]

dam laquelle

R et B! sont les rayons de courbure des deux premières courbes
pour le point de contact A,

r est le rayon de courbure de la courbe entraînée edaf , pour le
point a^

n est la distance aA ,

<f est t angle aAC des deux normales Aa et AC*

non SUR LIS épictcxoïdbs planes.
2« Les arcs PX et HS ou AD sont semblables. Done

arc PX = arc AD . ;r— = arc AL s— .

D'ailleurs on a

C'N
arc PN=i arc AL . — - .
n'

Or, d'après les expressions [3] de XL et de C'N, on a

XL
2A

C'X

donc les arcs PX et PX sont de même longueur.

Donc la développée XXO est une épicycloïde décrite par le
point X du cercle PXA roulant sur le cercle XP. Les rayons

du cercle mobile et du cercle fixe sont dans le rapport de - NL

à C'X ou de jR à R\ d'après les relations [3] ; donc la dévelop-
pée d'une épicycloïde est une courbe semblable à celle-ci; et
leur rapport de similitude est celui de G'X à R'^ c'est-à-dire de
R à R' + 3R.

(Le fond de cette note est emprunté à Texceltent ouvrage intitulé Élé-
ments de calcul in/lmléimalf par H. Ddham bl, 1856.)

PIN.

BOUND

JUH 9 193»

UiViV v^F ,,.iCH.
UBRARY

" WlviRSITYOFMICHIQAN

3 901506440 2905

^-^

PI. IV.

C B. J

^<r

' W '

ri.v

•\

•

i.......\lM

_^ -'"

<;.

-■

r dt Ounktnfnt àXFaru

Pl.VL

102 f^g

-Q- J

-^ ■

v'-r
7.

i IM

/; r-iN 105. /^^/

■7^

■ \m II* M" I, I

T- '^ '

'■

VII.

.43. Paris

LU.

m<t3*ri,.

V j
I:

^ •J*

PI. IX,

■^5 9

fSB

''■ rr^

"^i's

m ^—

i«3

IJLSI.

"PI

r T-

!ïâ

=*
=»

(f^

'ÏT^ , r. Je pmAerçiti:. ^\ 75 'y>

f6g

igSt

ô, "aris.

to6

VoS

Internet Archive Audio

Featured

Top

Images

Featured

Top

Software

Featured

Top

Texts

Featured

Top

Video

Featured

Top

Mobile Apps

Browser Extensions

Archive-It Subscription

Save Page Now

Full text of "Traité de cinématique"

See other formats